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教无涯 学无涯
——“点到直线的距离公式”的教学案例
上海市杨浦高级中学 张立华
金秋的十月，美丽的杨浦高级中学迎来了五十华诞，青青的草地，婀娜的杨柳，砖红的建筑，灿烂的笑容，青春的倩影为喜庆增添了无限的妩媚、吉祥。笔者有幸参加这次校庆课的展示活动，在课的准备过程中，在听取专家的意见时，在课堂里与学生实际互动中， “闪现”，“碰撞”出了一些挥之不去的“个例”，在我的脑海里小心地“珍藏”，我常想：能不能把这些“个例”编成富有探究价值的“案例”，并运用它开展课堂教学探究，达到抛砖引玉的作用，岂不美哉！现拾取几则，或许以飨读者。
一、课题背景
点到直线的距离公式在以往的教学过程中遇到的最大困难是：思路自然的则运算很繁，而运算较简单的解法则思路又很不自然，这样就造成了教学中通常采用“满堂灌”、“注入式”，学生的思维得不到应有的训练，学生的主体作用也不能充分体现出来。为避免这个问题，探讨 “点到直线的距离公式”的教学如何更合理，怎样把教学过程变成师生共同探索、发现公式的过程，怎样使推导过程自然而简练，是这一节课必须解决好的问题。
本节课是直线部分最后一个内容，有意识地涉及到两直线垂直、两直线的交点等知识，既帮助学生整理、复习已学知识的结构，也让学生在新授知识时，在原认知结构中找到生长点，自然地引出新问题，符合学生的认知规律，有利于学生形成合理、完善的认知结构，在这过程中展示了数学知识产生的思维过程，学生能够自觉地、主动地参与进来。
二、曲径通幽处
最初的“引入与展开”
问题1：已知点P(-1，2)，和直线l：x-5=0，求P点到直线l的距离.

问题2：已知点P(-1，2)，和直线l：y-10=0，求P点到直线l的距离.
问题1、2得到Ax+By+C=0 A、B中有一个为零的距离公式
问题3：已知点P(-1，2)，和直线l：2x+y-10=0，求P点到直线l的距离.
问题3得到Ax+By+C=0 A、B不为零
问题4：已知直线l：（Ax+By+C=0 A、B不为零）和直线外一点P(，求点P到l的距离d.
可用问题3的方法，但运算非常复杂.能否换一角度去解决这个问题.(启发学生从最基本的概念入手分析)
由问题1，问题2的构图想到：
变图1：可联想：利用平面几何中的射影定理，使PQ成为一直角三角形斜边上的高.通过解直角三角形使问题得到解决.
（变图1）
变图2：通常线段的长要利用三角形来求解.（如何构造一个含所求线段又易于求解的三角形是解决这个问题的关键.）（将上图简化）
利用问题3先让学生解决具体问题，再启发进行一般性的公式推导
（变图2）
变图3：突破口2的改进：我们知道，平面上点到直线的距离等于过这个点与已知直线平行的平行线直线的距离，这样就可以将所求线段平行移动之后放在最佳的位置.）
过P点作与l平行的直线l′，l与l′的距离即为所求(如图)。可利用两平行线与y轴交点间的线段构造三角形.
（变图3） （变图5）
变图4：先推导平行线间的距离公式，再推导点到直线的距离公式
变图5：（向量证明）事实上点到直线的距离就是求过点向已知直线所引垂线段的长（找垂足Q）
最初构思的特点：①由4个具体问题完成了从特殊化（直线与坐标轴平行情形）到一般化（Ax+By+C=0）的过渡，而且肯定一些方法在具体数据的情况下也是有效的 ② 图形的变式非常能启发学生深层次地思维，有师生互动的平台，能激趣与质疑 ③ 公式推导的主要方法都已经出现（略为改进的有二十多种方法）
专家指导：方法多是好的，能达到复习与运用旧知，又能完成公式推导的教学任务，但“向量方法的推导”是本节的亮点，如果按上面授课，课题应为“点到直线的距离公式的推导”。最好方法应有侧重。
如何“点亮”是关键，如何处理好众多的推导方法是要解决的首要问题，为此专家认为应采取：
削枝强干：①发挥我校的资源优势，学校期刊室与网络的优势，把学生平时养成的预习习惯给予利用，布置预习的题目：“求已知点P(-1，2)，和直线l：2x+y-10=0，求P点到直线的距离”、“已知直线l：Ax+By+C=0 （A、B不为零）和直线外一点P(，求点P到l的距离d ” ② 重点是考虑如何“平滑无痕”地过渡到向量方法的推导。
这样一来：既把学习的自主权交给学生，充分地相信学生，又节约了课堂上宝贵的时间，几种非向量推导法改为：
唯有源头活水来（学生上台讲）：学生思路和推导成果用液晶投影仪展示并归纳为：“①过已知点确定直线的垂线，②求线与线的交点，③转化为两点间的距离”引出需推导点到直线距离公式的必要性（前面的一些思路简单但运算非常复杂。）
在教学过程中应特别注意纠正学生回答问题时的“口误”，还要抓住时机肯定学生的“闪光点”，如何把向量方法的推导“点亮”是攻坚战
平滑无痕地过渡：若：=(a,b) ,=(
a (=|cos0 （与同向）
a (=|cos （与反向）
向量方法的推导必须要引出上面的两公式，在与专家的讨论过程中，都感觉到有几个“棱角”要“磨平”，特别是| cos0中，所求量是，如何过渡？专家指出这是“内积公式”，何尝不可以看着“方程”，那么只需寻找等式两边的“已知与未知”，用方程的观点过渡，不是很合理吗！真是云中拔雾，这样引出这个式子比较自然，而且前面一节内容“推导两直线的夹角公式”就是用的内积公式的“求角功能”，而它还有“求模功能”，且“模”、“长度”、“距离”是有关系的，大的问题得到解决。但总觉得还有一些问题，拿出来“底气不足”！到底是哪里不舒服呢？想与专家谈，又怕见面，见了面又无话可说，几次下来，专家似乎看出了我的心思，他说：“我时常习惯这样问自己，‘是什么？’、 ‘为什么？’、‘还有什么？’”一席话还真把几天的想法激活了，萦绕的问题迸发出一点小“灵感”。
为什么？还有什么？由直线方程可以得到法向量，方向向量，为什么要取法向量，而不取方向向量？因为，否则的话在方向向量上的投影是零，无法求距离，故只能取法向量。 还有什么呢？点积运算是两个向量，是当然入选，就这样引入学生也应该好思考了，因为Q是垂足，是距离。难道非取垂足Q点吗？实质上取直线上任何一点（都可以，因为距离a (= |cos
就是cos，是 在上的投影。把这些问题都想清楚了，上课的信心就足了。实际上上课时，这部分的确形成了一个高潮。
既使是这样，公式推导成功的最后一个关口：=C的整体代换也是学生理解上的一个难点，在这里我们是这样设计的：
借东风：a (=|cos0中全部分析完后，发现一个方程中有三个未知量，根本无法求，眼看推导就要失败。原来在这里的设计比较单调，不能激发学生的求知欲。而这里不亚于周郎火烧赤壁中“万事具备，只欠东风”的失落，恰当地提问：谁来“借东风”？活跃了气氛，又给学生留下了深刻印象。 公式推导出后运用的问题紧接而来，根据以往的经验是学生在老师设计好的训练体系中进行，由于平时我所教的班一直在进行变式教学，有一定的基础，在继续延伸专家“方程”思想的基础上，我们设想：
套用公式？还是活用方程？此公式中涉及到日的有三个几何量：①点②直线③距离，训练学生学会知二求三，把这个想法告诉专家时，专家认为是否将提法更明确一些，因为由“点、直线、求距离”是不会出现问题的，但由“直线、距离求点”，“点、距离求直线”时，学生会不会出现点的横纵坐标都不给，直线中的量全不给的情形呢？如果这样，点、直线是不定的。后来通过讨论，我们共同认为：不怕学生出错，而且在讨论过程中发现，横纵坐标都不给定，正好轨迹是两条平行线，非常平滑地引出了“平行线间的距离公式”，而且直线中的量全不给定的情形，正好是直线包络出“圆”，又正是紧接下一章要学的内容，既可以展示数学美，又承上启下，真是一箭双雕。用多媒体演示（如下），既形象又直观，给学生留下了非常深刻的印象。

在最初的构思中想用“点到直线的距离公式”解决实际问题：“最小二乘法”进行线性拟合直线方程。但点太多、计算复杂，又不便找到规律，而且又没有成形的东西，最后大家认为把点减到三个，问题为“一个工厂里有三个加工点，如何修一条路，三个加工点距离这条路的距离相等?”,在构思的过程中,认为这样的路不仅存在，而且有三条，而且是“最公平”的路，那么有没有“最优的路”，这样进一步设问，何为“最优”？把问题引向深入。本来是想用“最小二乘法”进行线性拟合直线方程，最后成形问题已经“面目全非”了。后来发现学校内就有鲜活的素材，于是：
修亭子？还是修路？
　　把学校的平面图我们用数码相机拍下，将“综合体育馆”、“学生公寓”、“荷花池”设计为三个点，学生有亲切感，在作图时，学生出现了作三角形“外心”作为问题的图解，这实际上找到了一个距三点距离相等的点，问题是修路，而学生却修了一个亭子！进一步启发下，学生很快获得图解。而实际上的路并不是“最公平的路”，我们天天走的这一条图中的“红路”有什么特点，实际量一量，进一步的提问将学生的思绪继续拓展。
三、反思
　　这次教学备课活动无疑给了我有益的启示：
善于运用数学的观点、思想、方法指导教学设计，中学数学建立在现代数学的思想基础上，用现代数学的观点、思想、方法、风格和语言进行中学数学教学，使学生的思维向现代数学的思维方向发展。。
通过对推导出的公式进行变式训练， “变”能引起学生的思维欲望和最佳思维定向。变式训练，是创造性思维教学的关键。数学教学中，适当运用变式，启发学生从多角度、多方向、多层次思考问题，鼓励学生不受现有知识有局限，不受传统观念的束缚，大胆假设，求新求异，开拓创造性思维。
问题寓于情景之中，要新异生动、教学要能触发学生积极思索的心向，让我们的备课与教学活动在围绕课题的前题下，进行讨论和争辩中产生出“火花”，拓宽学生的视野，同时，培养学生和我自己良好的思维习惯，
由于本课题处在知识交汇点的位置，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教学中体现了方程的观点，数形结合的数学思想，教材一般写的都符合“简洁性原则”，在教学中应充分挖掘，主动进行探索，切不可人云亦云。
培养高层次数学学习人才，教师是关键，是主导。如果教师本身不具备开放的教学思想，强烈的创造意识，勇敢的创新精神，较高的创新能力，即使拥有最优越的教学环境，最新颖的教材体系，也无法培养出大批合格人才，更谈不上是高层次的优秀人才了。所以，除了具有崇高的敬业精神，全面的知识结构，教师还必须具备先进的教学观念，要在开放性、科学性、民主性、灵活性、独特性原则的指引下，加强与同事的合作，加强与学生的合作。努力为学生创造良好的学习环境，积极引导学生学会学习与思考，学会实践与创造，在培养学生的同时，不断完善自己，增强自己的创造力。这样师生互为动力，在共同营造的宽松自由、活泼愉快的氛围中教学相长，追求新的创造。
感谢：
本次公开课得到了许多老师的帮助和指导，在此感谢特级教师康士凯导师的悉心指导，区教研员刘大秀老师和朱新程老师，特级教师崔永富老师，常生龙老师、张进兴老师、许蓓蓉老师、沈莉老师、巫江明老师、江海涛老师、于海阔老师、金益裕老师、兴梅老师、老师的帮助，难忘数学组所有老师的支持，难忘高二（16）班全体同学的精彩表现。
参考文献：
＂高中几何创新教学设计＂ 学苑音像出版社 北京师联教育科学研究所编

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