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2025-2026学年江苏省宿迁市泗洪县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. 2x-y=5 B. x+=0 C. 5x2=1 D. y2-x+3=0
2.若⊙O内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径r可以是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB=68°，则∠ACB的度数为（　　）
A. 34°
B. 42°
C. 54°
D. 68°
4.某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A. B. C. x（x-1）=1560 D. x（x+1）=1560
5.如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（　　）
A. 30π
B. 60π
C. 65π
D. 90π
6.若（x2+y2）（x2+y2-1）-6=0，则x2+y2的值是（　　）
A. 2 B. 3 C. -2或3 D. 2或-3
7.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β.若AB=AC，AB∥CD，则有（　　）
A. 2α+3β=180°
B. 3α+4β=360°
C. 3α+2β=180°
D. 4α+3β=360°
8.设方程（x-a）（x-b）-x=0的两根是c、d，则方程（x-c）（x-d）+x=0的根是（　　）
A. a，b B. -a，-b C. c，d D. -c，-d
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.已知一元二次方程3x2-5x-1=0的二次项系数为3，则一次项系数为 .
10.若关于x的方程x2-6x+k-1=0有两个相等的实数根，则k的值为 .
11.如图，点I为△ABC的内心，若∠BAC=80°，则∠BAI的度数为 .
12.若α，β是方程x2+2x-5=0的两个实数根，则α+β-αβ的值为 .
13.如图，点A、B、C、D在⊙O上，且∠ACB=∠BDC=60°，BC=3.则△ABC的周长为 .
14.一个直角三角形的斜边长是2cm,两条直角边长的和是6cm,则这个直角三角形的面积为 .
15.如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）.通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=2m,点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2.（结果保留π）
16.如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形、正四边形的一边，BC是圆内接正n边形的一边，则n的值为 .
17.已知被开方数中含有未知数的方程是无理方程，无理方程又叫根式方程，则关于x的无理方程的解为 .
18.如图，等边△ABC的边长为2，点D是边AB上一动点（不与A、B重合），以AD为直径的⊙O与边AC交于点E，连接BE与⊙O交于点F，连接CF，当点D在边AB上移动时，CF的最小值为 .
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：.
20.(本小题8分)
解下列方程.
（1）x2-3x+1=0；
（2）x2+2x-3=0.
21.(本小题8分)
如图，在⊙O中，于D，CE⊥OB于E，求证：OD=OE.
22.(本小题8分)
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，⊙O半径长为5米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是多少？
23.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB.
（1）求证：DC为⊙O的切线.
（2）连接BC，若∠DAC=30°，，求⊙O的半径.
24.(本小题10分)
△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
25.(本小题10分)
如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜BC）.
（1）尺规作图：作直线l,使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）填空：在（1）的条件下，若BM=5，BC=6，则⊙O的半径为______.
26.(本小题10分)
某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元.
（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
27.(本小题12分)
我们已经学习了乘法公式（a±b）2=a2±2ab+b2的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式 x2+4x+5的最小值.解答如下：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，
（x+2）2≥0，∴当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2=0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题.
（1）知识再现：当x= ______时，代数式x2-4x+15的最小值是______；
（2）知识运用：若y=-x2+6x-15，当x= ______时，y有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
（3）知识拓展：若-x2+5x+y+10=0，求y+x的最小值.
28.(本小题12分)
在图1和图2中，⊙O是等边△ABC的外接圆.
【阅读】
如图1，连结AO，延长AO交弦BC于点M，交BC于点P，连结PB、PC.
求证：PA=PB+PC；
小明给出了自己的证明方法如下：
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形，
∴，，
∴∠BOP=∠BAP+∠ABO=60°，则△OBP为等边三角形，
同理可得：△OPC也为等边三角形，∴PA=AO+OP=PB+PC.
【理解】
（1）如图2，若P为上任意一点，连结PB、PC，则∠APC=______°，若⊙O的半径为1，则AB=______.
（2）在图2中，问题原型中的结论PA=PB+PC是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【应用】
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=120°，DB平分∠ADC，且DB+DC=2DA，若⊙O的半径为7，求四边形ABCD的面积.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】-5
10.【答案】10
11.【答案】40°
12.【答案】3
13.【答案】9
14.【答案】4cm2
15.【答案】
16.【答案】12
17.【答案】x=-2
18.【答案】2-2
19.【答案】．
20.【答案】（1）x1=，x2= （2）x1=1，x2=-3
21.【答案】∵，
∴∠AOC=∠BOC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90°．
在△CDO与△CEO中，
，
∴△CDO≌△CEO（AAS），
∴OD=OE．
22.【答案】2米．
23.【答案】（1）连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAD=2∠BAC，
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAD，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD于点D，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=180°-∠ADC=90°，
∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，
∴DC为⊙O的切线 （2）⊙O的半径长是2
24.【答案】解：（1）2 t cm,（5-t）cm.
（2）存在，理由如下：
由题意得：×2t×（5-t）=4，
解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），
∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，t=1．
25.【答案】（1）图形如图所示：
1.5
26.【答案】解：（1）设这个降价率为x,
依题意，得：40（1-x）2=32.4，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）．
答：这个降价率为10%．
（2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500-20y）千克，
依题意，得：（10+y）（500-20y）=6000，
整理，得：y2-15y+50=0，
解得：y1=10，y2=5．
∵要使顾客得到实惠，
∴y=5．
答：每千克应涨价5元．
27.【答案】（1）2，11；
（2）3，大，-6；
（3）∵-x2+5x+y+10=0，
∴x+y=x2-4x-10=（x-2）2-14，
∵（x-2）2≥0，
∴（x-2）2-14≥-14，
∴当x=2时，y+x的最小值为-14．
28.【答案】60; （2）结论PA=PB+PC成立，证明：
延长CP至点D，使PD=PB，连接BD，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC，
由（1）知：∠APC=120°，
∴∠DPB=60°，
∴△DBP为等边三角形，
∴∠D=60°，
∵∠APB=∠ACB=60°，
∴∠D=∠APB．
在△CBD和△ABP中，
，
∴△CBD≌△ABP（AAS），
∴CD=AP，
∵CD=PC+PD=PC+PB，
∴PA=PB+PC （3）
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