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15.1.2 线段的垂直平分线 同步训练
一、单选题
1．如图，在中，已知点D在上，，则点D在（ ）
A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上
C．的中点处 D．的平分线上
2．如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；
②作直线交于点，连接．
若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为（ ）
A．16 B．24 C．28 D．30
4．如图，在中，，直线是的对称轴，点到点的距离为，点到直线的距离是，的周长为，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．根据下列圆规作图痕迹，仅用无刻度直尺能找到三角形重心的图形是 ．（填序号）
9．如图，中，的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为，，则 ．
10．如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹，可得 ．
11．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ．
12．如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且，，，则周长的最小值为 ．

13．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点N，交于点M，P为直线上一点，连接，则周长的最小值是 ．
14．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、．若，，则的度数为 ．
三、解答题
15．如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：；垂直平分．
16．如图，在中，，．
(1)尺规作图：
①作边的垂直平分线交于点D；
②作的角平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，求的度数．
17．如图，与相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若平分，求证：垂直平分．
18．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求的长．
《15.1.2 线段的垂直平分线 同步训练 2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案
1．A
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
则点D在的垂直平分线上，
故选：A．
2．D
【分析】首先根据题目中的作图方法确定是线段的垂直平分线，得到，即；
接下来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得以及的度数；再根据三角形外角的性质以及可求得的度数，然后根据列式计算即可得到答案．本题考查线段垂直平分线的画法及应用、三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等．
【详解】解：∵由作图可知，垂直平分，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；由垂直平分线的性质可得，，的周长可转化为的长度.
【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴的周长为24.
故选：B.
4．C
【分析】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，根据折叠的性质得到，再由，的周长，从而可得．
【详解】解：∵直线是的对称轴，
，
∵，的周长，
∴，
则点到直线的距离是，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查尺规作图中垂线及三角形的周长，熟练掌握中垂线的尺规作图方法和中垂线性质是解决问题的关键．根据题中尺规作图可知是线段的中垂线，从而，则即可求解．
【详解】解：在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，连接，
是线段的中垂线，
，
，
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵腰的垂直平分线交于点F，
∴，
∴，
∵，且垂线段最短，
∴当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，
∵的长为，的面积是，
∴此时，
∴，
∴的最小值为，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知平分，垂直平分线段，再根据线段的垂直平分线的性质判断即可．
【详解】解：由作图可知平分，垂直平分线段，
∴，，
∴，
由已知条件无法得出、、．
故一定正确的是选项C，
故选：C．
8．③
【分析】本题考查三角形重心的定义（三条中线的交点）及尺规作图-中线的绘制，解题思路是判断哪个图形的作图痕迹能确定两条中线的交点；考查的知识点是三角形重心的定义、尺规作中线的方法，用到的思想是几何作图思想，方法是中线交点法，技巧是识别能确定边中点的作图痕迹，解题关键是明确重心是中线交点且中线需通过边的中点，易错点是混淆三角形 “四心” 的作图方法，据此解答即可．
【详解】解：图形的作图痕迹可确定一条角平分线，不符合题意；
图形的作图痕迹可确定两条角平分线，不符合题意；
图形的作图痕迹可确定两条边的中点，进而画出两条中线，其交点即为重心，符合题意；
图形的作图痕迹可确定一条边的中点和高线，进而画出一条中线和一边的高线，不符合题意；
故答案为．
9．6
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
由的垂直平分线交于点得， 从而得到，由的周长为，即，代入即可得解．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵的周长为，即，
∴．
故答案为：．
10．53
【分析】本题主要考查了尺规作图，直角三角形的两锐角互余．根据作图痕迹知，再利用直角三角形的两锐角互余求角度即可．
【详解】解：根据作图痕迹知，
∴，
∵，
∴，
故答案为：53．
11．3
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．
求出，由线段垂直平分线的性质推出．
【详解】解：，，
，
在的垂直平分线上，
．
故答案为：3．
12．13
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，连接，由线段垂直平分线的性质可得，再结合的周长即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：连接，如图，
，
由条件可知：，
∵的周长，
∴当点E在边上时，的周长最小为，
∵，，
∴周长的最小值为13．
故答案为：13．
13．12
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，轴对称，最短路线问题，将周长的最小值转化为是解题的关键．
连接，由是的垂直平分线，得，通过两点之间线段最短可知的最小值为，即可求解．
【详解】解：连接，
是的垂直平分线，
，
的周长，
又当三点共线时，有最小值，最小值为，
周长的最小值为．
故答案为：12．
14．/40度
【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，可知，则，而，则的度数可求．
【详解】解： 是 的垂直平分线， 边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：．
15．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定.
根据证明，可得，，即可得证垂直平分．
【详解】解：在和中，
，
∴；
∴，，
∴点、在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图和垂直平分线，角平分线的性质，正确理解记忆性质是解题的关键
（1）根据线段的垂直平分线和角平分线的作图方法，进行作图即可；
（2）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义，求出结果即可．
【详解】（1）解：如图，直线，射线即为所求．
（2）解：∵在中，，．
∴，
∵平分，
．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）证明，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得，证明出，得到，再由垂直平分线的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵平分，
∴
∵
∴
∴，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
18．(1)见解析；
(2)的长为．
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；
（）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．

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