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4.3用一元一次方程解决实际问题（动态问题）
1．如图，在数轴上，点表示最大的负整数，点表示的数的立方等于8，点在正半轴，且到点的距离是10．
(1)点表示的数是 ，点表示的数是 ，点表示的数是 ；
(2)点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，到达点后速度立即减小为原来的一半并继续向右运动，点从点出发，以每秒3个单位的速度向左运动，到达点后立即按原速度折返继续运动，设运动时间是秒（）．
i）当时，求点和点之间的距离；
ii）是否存在这样的值，使得点到点距离是点到点距离的2倍？若存在，请求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由．
2．如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒．
(1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示）
(2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t．
3．【知识拓展】
学习绝对值的定义后我们知道，的意义是数轴上表示数a的点与原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作数轴上表示数a与0两点之间的距离．这个结论还可以推广为的意义是数轴上表示数a与数b两点之间的距离．
对于数轴上的点P，Q，我们把点P与点Q两点之间的距离记作．例如，若表示数a的点是点P，表示数b的点是点Q，则．
【知识应用】
（1）若，则x的值为______．
【拓展延伸】
（2）如图，在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是8，若点B以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点C以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为t（）秒．
①当时，求t的值；
②当时，求t的值．

4．如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中分别为单项式的系数和次数，为的中点．
(1)填空：___________，___________，___________；
(2)如图，若点分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为．若的值始终保持不变，求的值；
(3)如图，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发，始终以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点．点出发的同时，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若两点在点处相遇，请直接写出点表示的数．
5．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上点所示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示．
(1)请你在数轴上表示出，，三点的位置；
(2)若数轴上有一点，且，则点表示的数为_____；若将点向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）
(3)若点以每秒的速度向左移动，同时、点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而改变？请说明理由．
6．如图1，点A、B是数轴上的两点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a、b满足，若点C是线段的某一点，点C表示的数是c，现以点C为折点，将数轴向右对折，如图2，若点落在线段上，并且，则：
(1) ； ； ；
(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时，另一个动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度向右运动．当点P在点B左侧时，经过几秒满足？
(3)在（2）条件下，动点M也同时从点B出发，以每秒4个单位的速度向左运动，与动点P相遇后立即返回；以每秒3个单位的速度向右运动，与动点Q相遇后停止运动，则整个运动过程结束．在运动过程中，设点M的运动时间记为t（秒），当时，请直接写出满足条件的t的值．
7．如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C
表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数．
(1)___________，___________，___________；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数___________的点重合；
(3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
8．【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点．
【特例感知】
（1）如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点．
①【B，A】的幸运点表示的数是______；
A． B．0 C．1 D．2
②试说明A是【C，E】的幸运点．
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4．
①【M，N】的幸运点表示的整数为______；
②若数轴上存在一点Q，点N是【M，Q】的幸运点，点Q所表示的数为______．
【拓展应用】
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．直接写出当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
9．在数轴上点分别表示（a，b，c，d为常数），其中是最大的负整数，且满足．
(1)根据题意可知：__________，__________，__________；
(2)在数轴上标注点；
(3)若数轴上点P到点的距离相等，同时，点P到点的距离也相等，则__________；（点不重合）
(4)点M是数轴上的一个动点，它表示的数是m．
①当点M运动到B，C两点之间时，求的值；
②当点M运动到某一点，满足时，求m的值．
10．已知长方形，如图所示放置在数轴上，点与表示的点重合，与表示2的点重合，宽（表示线段的长度），点是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积．
(1)___________．
(2)若点表示的数为，则___________．
(3)若，则点表示的数为多少？
(4)若点与表示的点重合，将长方形沿着数轴向左移动，当点表示的数为多少时，，直接写出结果．
11．如图，已知点在数轴上表示的数为，其中满足，点，点之间的距离记为．
(1)点表示的数为______，点表示的数为______，______；
(2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点从原点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度先沿负方向匀速运动，到达原点后立即按每秒5个单位长度的速度返回，三点同时出发，设运动的时间为，其中．
①当时，点在数轴上所表示数为______；
②当时，点在数轴上所表示的数为______（用含t的代数式表示）；
③当点到点的距离是点到点距离的两倍时，求点在数轴上所表示的数．
12．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，
[阅读]表示6与2的差的绝对值，也可理解为6与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示6与的差的绝对值，也可理解为6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
[探索]
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
（2），则 ；
[操作]
在纸上画了一条数轴进行以下操作：对折纸面，使1与重台，，则折痕落在数轴上的值为．
（3）若表示3的点和表示的点重合，则折痕落在数轴上的数是 ；此时，与表示10的点重合的点表示的数是_____；这时如果A，B （A在B的左侧）两点之间的距离为2024且A， B两点经过对折后重合，则点A表示的数是 ；
[拓展]
（4）如图，已知分别为数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是50．现有一只蚂蚁P以点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设t秒后两只蚂蚁相距10个单位长度、求此时点P表示的数是多少？
13．在数轴上设有两个固定点、，分别对应的数为与．动点、、同时在数轴上运动，速度保持不变，点的速度为每秒个单位长度；点的速度为每秒个单位长度；点的速度为每秒个单位长度．
(1)点、分别从点、同时出发，且都向正方向运动．
①设运动秒后，点、所在的数分别为______、______（用含的代数式表示）；
②当点、之间的距离恰好为个单位长度时，直接写出此时的值（只写数值）．
(2)点、、同时开始运动，运动方式如下：
点从点出发，向正方向运动；点从点出发，向负方向运动；点从原点（数轴上点）出发，先向负方向运动，第一次与点重合后立即向正方向运动，第二次与点重合后立即向负方向运动，随后再与点、交替重合，……，直至点、、三点同时重合时停止运动．
在整个过程中，三点的速度保持不变，点、的运动方向始终不变．
①当运动停止时，点所在的数为______（只写数值）；
②在整个运动过程中，点所走的总路程为______个单位长度（只写数值）．
14．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．
这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则，两点之间的距离表示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为．
【问题解决】
(1)表示数轴上数x与 （填数字）之间的距离；
(2)若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则 （用含的代数式表示）；
【关联运用】
(3)运用一：若，求的值；
(4)运用二：已知动点、、分别从数轴、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒．原点为点，线段，，的中点分别为，，，若，且的值为常数，求出和的值．
15．【阅读理解】若数轴上两点所表示的数分别为a和b，则有：
①两点的中点表示的数为；
②两点之间的距离；若，则可简化为；若，则可简化为；
【解决问题】数轴上两点所表示的数分别为a和b，且．
（1）直接写出：________；________；________．
（2）点C在数轴上对应的数是c，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
【数学思考】
（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由．
试卷第8页，共8页
参考答案
1．(1)，2，9
(2)i）1；ii)或
【详解】（1）解：最大的负整数是，，
点表示的数是，点表示的数是2，
点在正半轴，且到点的距离是10，
点表示的数是，
故答案为：，2，9；
（2）解：i）由（1）知，点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是9，
，，
由题意知，点P到达点C所用时间为：，此后速度为每秒1个单位长度，
点Q到达点A所用时间为：，此后以每秒3个单位的速度向右运动，
当时，点表示的数为：，
点表示的数为：，
；
ii）分三种情况：
当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P在点B左侧，
，，
令，得：，
则或
解得或（舍去）；
当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P在点B与C之间，
，，
令，得：，
则或
解得或（舍去）；
当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点P在点C右侧，
，，
令，得：，无解；
综上可知，或．
2．(1)，
(2)运动时间为5秒或秒
【详解】（1）解：A点表示的数为：；
Q表示的数为：．
故答案为：，．
（2）解：∵点A表示的数为，即，
∴，
当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是，
，
解得（大于3，舍去）或（舍去），
当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是，
，
解得或（舍去），
当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是，
，
解得（舍去）或（舍去），
当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是，
，
解得（舍去）或，
综上所述，运动时间为5秒或秒．
3．（1）2或4；（2）①t的值为9或17；②t的值为4．
【详解】解：（1）∵的意义为数轴上表示数与3的两点间的距离是，
∴或4；
故答案为：2或4；
①运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，
由题意得，
整理得，，
解得：或，
∴t的值为9或17；
②运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，
由题意得，
解得：或（舍去），
∴t的值为4．
4．(1)，，
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵分别为单项式的系数和次数，
∴，，
∴点对应的数是，点对应的数是，
∵为的中点，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：由题意可得，经过秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
∴，，
∴，
∵的值始终保持不变，
∴，
解得；
（3）解：∵点在数轴上对应的数分别是，
∴，，，，
∴点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒；
点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒，
∴两点在段相遇，即点在线段上，
设点表示的数，
由题意得，，
解得，
∴点表示的数为．
5．(1)见解析；
(2)或3；；
(3)的值不会随着的变化而变化
【详解】（1）A：，即，A表示，
B：，即，B表示，
C：，即，C表示4，
A、B、C三点的位置如图所示：
（2）设D表示的数为a，
，
，解得：或，
点D表示的数为或3；
将点A向右移动，则移动后的点表示的数为；
故答案为：或3；；
（3）的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：平移后，cm ，
，
，
的值恒为3，不会随着t的变化而变化．
6．(1)，10，2；
(2)经过满足；
(3)或或
【详解】（1）解：∵|，
∴，，
∴，，
∵，
∴点表示的数为：，
∴，
故答案为：，10，2；
（2）解：设运动时间为
由题意可知，动点表示的数为：，动点表示的数为：，
当点P在点B左侧时，则，
解得，此时点P在点B左侧，
∵，，，
∴，
解得，
即经过满足；
（3）解：设点M的运动时间记为t（秒），
由题意可知，动点在与动点相遇之前表示的数为，
则当动点与动点相遇时，，
解得，此时动点表示的数为，
当时，，，
若，则，
∵，
∴
解得；
若，则，
∵，
∴
解得；
动点在与动点相遇之后表示的数为，
当动点与动点相遇时，，
解得，
当时，，，
∵，
∴
解得；
综上可知，当时，满足条件的t的值为1或或．
7．(1)，，5
(2)3
(3)的值不会随着时间的变化而改变，其值为28
【详解】（1）解：∵a，c满足与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，，
∵b是最大的负整数，
∴．
故答案为：，，5．
（2）解：当与5重合时，折叠点是，
∴与点B重合的点表示的数位：．
故答案为：3．
（3）解：的值不会随着时间t的变化而改变，
t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∴，，
∴．
8．（1）①B；②A是【C，E】的幸运点；（2）①7；②6或2；（3）5或15或或
【详解】（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍，
即，，
故答案为：B；
②由数轴可知，，，
，
是【C，E】的幸运点；
（2）①设【M，N】的幸运点为P，P表示的数为p，
，
，
或，
或，
幸运点表示的数为整数，
故答案为：7；
②设点Q表示的数为q，
点N是【M，Q】的幸运点，
，
或，
或2，
故答案为：6或2；
（3）由题意可得，，，，
①当P是【A，B】的幸运点时，，
，
；
②当P是【B，A】的幸运点时，，
，
；
③当A是【B，P】的幸运点时，，
，
；
④当B是【A，P】的幸运点时，，
，
；
为5或15或或时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点．
9．(1)，，5；
(2)见详解
(3)4
(4)①6；②m的值是或7．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∵是最大的负整数，
∴，
故答案为：，，5；
（2）解：在数轴上表示如下：
（3）解：，，，
∴点P表示的数为1.5，
，，
∴点D表示的数为，
故答案为∶4
（4）解：①∵，，点M运动到B，C两点之间，
∴，
②∵，
点M在的左侧时，则，
解得：，
当点M在5的右侧时，，
解得：．
综上：m的值是或7．
10．(1)3
(2)6
(3)点所表示的数为8或
(4)或
【详解】（1）解：根据题意得，，
故答案为：3；
（2）解：如图，连接，
∵是长方形，
∴，
∵与表示2的点重合，点表示的数为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6；
（3）解：如图，连接，
∵长方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵C与2表示的点重合，
∴或，
∴点P表示的数为8或；
（4）解：设当点表示的数为时，，
此时点表示的数为，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
即点表示的数为或时，．
11．(1)，，
(2)①；②；③或或
【详解】（1）解：，且，
，
解得，，
，
故答案为：，，；
（2）解：点表示的数为，
，
动点从点出发，以每秒8个单位长度的速度先沿负方向匀速运动，
当点到达原点时，经过时间为，
设运动的时间为，其中，
当时，点在数轴上所表示的数为；
到达原点后立即按每秒5个单位长度的速度返回，
当时，点在数轴上所表示数为
①，
点在数轴上所表示数为，
故答案为：；
②当时，点在数轴上所表示的数为，
故答案为：；
③点到点的距离是点到点距离的两倍，
，
∵点在数轴上所表示的数为，点在数轴上所表示的数为，
当时，点在数轴上所表示数为，
∴，，
∴，解得或4，
∴点在数轴上所表示数为或0；
当时，点在数轴上所表示数为，
∴，，
∴，解得（舍去）或，
∴点在数轴上所表示数为；
综上所述，点在数轴上所表示的数为或或．
12．（1）；（2）或；（3），，；（4）点表示或．
【详解】解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是：．
（2）∵，
∴，
∴或，
解得：或．
（3）若表示3的点和表示的点重合，则折痕落在数轴上的数是；
此时，与表示10的点重合的点表示的数是-1-11=-12；
这时如果A，B （A在B的左侧）两点之间的距离为2024且A， B两点经过对折后重合，
则点A表示的数是．
（4）由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数是：，点Q表示的数是：，
则，
∵两只蚂蚁相距10个单位长度，
∴，
解得：或，
解得：或，
∴点表示或．
故点表示或．
13．(1)①，②或
(2)①②10
【详解】（1）解：①∵数轴上有两个点C，D，它们表示的数分别是，7．点、分别从点、同时出发，且都向正方向运动，点的速度为每秒个单位长度；点的速度为每秒个单位长度．
∴运动t秒后，点X表示的数为，点Y表示的数为，
故答案为：，．
②∵X，Y两点相距4个单位长度，
∴或，
解得或；
（2）解：①∵当点X，Z，Y重合时，运动停止．且点X表示的数为，点Y表示的数为，
∴，
解得；，
∴，
∴点X所在的数为；
故答案为：；
②∵点Z的速度是每秒6个单位长度，
∴在整个过程中，点Z运动的路程为个单位长度．
故答案为：10．
14．(1)1
(2)
(3)4或
(4)，
【详解】（1）解：表示数轴上数x与1之间的距离．
故答案为：1．
（2）．
故答案为：．
（3）当时，
，解得：．
当时，
，不符合题意．
当时，
，解得．
综上所述，的值为或4．
（4）已知动点、、分别从数轴、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒．原点为点，线段，，的中点分别为，，，若，且的值为常数，求出和的值．
设运动时间为，则点可表示为：，则点可表示为：，点可表示为：，
的中点为：，的中点为：，的中点为：．
，．
．
的值与的取值无关，
，解得．
．
．
15．
（1）；8；10
（2）存在；点P对应的数为0或16．
（3）在运动过程中，的值不变，理由见解析
【详解】解：【解决问题】
（1）∵，，，
∴，，
解得，；
∴数轴上两点所表示的数分别为和8，
∴．
故答案为：；8；10．
（2）存在，点P对应的数为0或16．
∵多项式是三次四项式，
∴，解得，
∴点C在数轴上对应的数是，
设点P对应的数是p，
∵，
当点P在点A与点B之间时，
，，，
∴，解得；
当点P在点B的右侧时，
，，，
∴，解得；
∴存在点P，使，点P对应的数为0或16．
【数学思考】
（3）在运动过程中，的值不变．理由如下：
设运动时间为t，
∵点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，
∴点E在数轴上表示的数为，
∵点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，
∴点M在数轴上表示的数为，
∵点N从点B出发以每秒10个单位的速度向右运动，
∴点N在数轴上表示的数为，
∵点分别为的中点，
∴点P在数轴上表示的数为，
点Q在数轴上表示的数为，
∴，，，
∴，
∴在运动过程中，的值不变．

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