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5.2排列问题
一．选择题（共6小题）
1．2025年10月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源“家底”，标志着生物多样性保护进入科学化、精细化新阶段．某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周后合影留念，2名指导老师和5名学生排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（　　）
A．5040种 B．1440种 C．720种 D．360种
2．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　）
A．36种 B．72种 C．144种 D．288种
3．甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（　　）
A．6 B．12 C．24 D．36
4．已知n∈N*，若，则n＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
5．某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（　　）
A．12 B．18 C．24 D．32
6．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（　　）个．
A．180 B．240 C．300 D．360
二．多选题（共3小题）
（多选）7．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（　　）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
（多选）8．3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（　　）
A．任意站成一排，有120种排法
B．学生不相邻，有24种排法
C．教师相邻，有48种排法
D．教师不站在两边，有72种排法
（多选）9．现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（　　）
A．不同的安排方法共有34种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种
三．填空题（共4小题）
10．甲、乙、丙、丁4人排成一列．且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法共有 　 　 种．
11．从2到7这6个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是　 　 ．
12．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有　 　 种．（用数字作答）
13．随着杭州亚运会的举办，吉祥物“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮踪”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为 　 　 ．（用数字作答）
四．解答题（共2小题）
14．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．
（1）共有多少种不同的报名方法？
（2）若甲、乙报同一项目，丙不报A项目，则有多少种不同的报名方法？
15．现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
（2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
（3）2名老师之间必要有男女学生各1人．
5.2排列问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．2025年10月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源“家底”，标志着生物多样性保护进入科学化、精细化新阶段．某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周后合影留念，2名指导老师和5名学生排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（　　）
A．5040种 B．1440种 C．720种 D．360种
【考点】部分元素相邻的排列问题．
【专题】对应思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】利用捆绑法即可求解．
【解答】解：先将2位老师看作一个整体与5名学生全排，有种，
2位老师排列有种情况，
所以2位老师相邻时不同的排法共有720×2＝1440种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，相邻问题采用捆绑法，属于基础题．
2．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　）
A．36种 B．72种 C．144种 D．288种
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解．
【解答】解：将6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻，
可以分两步完成：
第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法；
第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法．
根据分步乘法计数原理，不同的站法共有12×12＝144种．
故选：C．
【点评】本题考查了排列组合及简单计数问题，重点考查了捆绑法及插空法，属基础题．
3．甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（　　）
A．6 B．12 C．24 D．36
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据位置优先，先安排第一个位置，再排其他位置，利用分步乘法计数原理即可求解．
【解答】解：已知甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，
先安排第一个位置有2种排法，再排后面的3个位置有种排法，
根据分步乘法计数原理共有：种排法．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
4．已知n∈N*，若，则n＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【考点】排列及排列数公式．
【专题】方程思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据排列组合公式列方程求参数n．
【解答】解：依题意可知，n的值不小于2，
所以，由此解得n＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查排列数和组合数的计算，属于基础题．
5．某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（　　）
A．12 B．18 C．24 D．32
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】运动思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意可计算所有的安排情况，再减去甲一个人在短跑场或甲和另一人在短跑场两种情况即可．
【解答】解：已知甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，
则将四人分为1，1，2三组，有6组，再分到三个场地，共有636种方法，
若甲一个人在短跑场，则有6种情况，
若甲和另一人在短跑场，则有6种情况，
则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为36﹣6﹣6＝24种．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
6．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（　　）个．
A．180 B．240 C．300 D．360
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】利用特殊位置优先处理及相同元素定位计算得到答案．
【解答】解：先排数字9得出有种，
因为有两个1，
所以总数有种．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数原理，属基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（　　）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】由排列及排列数的计算即可判断A；由分步计数乘法原理及组合即可判断B；由古典概型概率公式即可判断C；由对立事件的概率即可判断D．
【解答】解：小明与其父母共3人计划在假期出游，每人在东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山中选一个地方，
对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，
故A正确；
对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，
故B错误；
对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，
又所有的方法数为53＝125，
所以恰有1人选泰山的概率是，
故C正确；
对于D，父母都不选择去泰山的概率为，
所以小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率，
故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了古典概型概率公式，属中档题．
（多选）8．3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（　　）
A．任意站成一排，有120种排法
B．学生不相邻，有24种排法
C．教师相邻，有48种排法
D．教师不站在两边，有72种排法
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】整体思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D．
【解答】解：任意站成一排，有种排法，A正确；
先排老师，然后插空，即种排法，B错误；
教师相邻用捆绑，即种排法，C正确；
教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查排列的应用，属于基础题．
（多选）9．现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（　　）
A．不同的安排方法共有34种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】ACD
【分析】对A，利用分步乘法原理判断；对B，首先从3项工作中选1项无人参加，再将4人安排到两项工作，计算可判断；对C，分组只有（1、1、2）这种情况，分甲乙同组与甲乙不同组两种情况，即可判断；对D，先分组只有（1、1、2）这种情况，再分配计算判断．
【解答】解：现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，
对于A，安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有34种安排方法，故A正确；
对于B，恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有，
再将4人安排到两项工作有（24﹣2）种，故一共有种安排方法，故B错误；
对于C，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，
若甲、乙同组，则有种，
若甲、乙不同组，则种分组方法，又甲乙不能去参加A项工作，
则安排不含甲乙的一组参加工作A，剩下的两组安排参加B、C两项工作，则种，
综上，一共有4+10＝14种安排方法，故C正确；
对于D，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配，
则不同的安排方法有种，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．甲、乙、丙、丁4人排成一列．且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法共有 　12　 种．
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】12．
【分析】结合分步乘法计数原理求解即可．
【解答】解：甲、乙、丙、丁4人排成一列．且甲、乙均不在第一个位置，
则不同的排法共有12种．
故答案为：12．
【点评】本题考查了分步乘法计数原理，属基础题．
11．从2到7这6个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是　20　 ．
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】20．
【分析】根据题意利用组合数求解即可．
【解答】解：从2到7这6个数字中任取3个不同的数，由于要求三位数的百位到个位数字依次增大，
因此，每一组取出的3个数，按从小到大排列只有1种排列方式．
因此，满足条件的三位数的个数等价于从6个数字中选3个的组合数，
即．
故答案为：20．
【点评】本题考查组合的应用，属于基础题．
12．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有　144　 种．（用数字作答）
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】144．
【分析】根据排列组合相关知识可解．
【解答】解：若甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻，
则将甲班2位同学看作整体，有2种排法，
再与丙班2位同学进行全排列有种排法，
最后将乙班2位同学插入4个空中，有12种排法，
则共有2×6×12＝144种排法．
故答案为：144．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
13．随着杭州亚运会的举办，吉祥物“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮踪”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为 　144　 ．（用数字作答）
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】144．
【分析】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的一个空位中，结合排列数的计算公式，即可求解．
【解答】解：先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的一个空位中，
所以不同的排队方法种数为（种）．
故答案为：144．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．
（1）共有多少种不同的报名方法？
（2）若甲、乙报同一项目，丙不报A项目，则有多少种不同的报名方法？
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）81；
（2）18．
【分析】（1）结合分步乘法计数原理求解即可；
（2）结合分步乘法计数原理求解即可．；
【解答】解：（1）已知甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目，
则共有3×3×3×3＝81种不同的报名方法；
（2）甲、乙报同一项目，丙不报A项目，
则有2×3×3＝18种不同的报名方法．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题．
15．现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
（2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
（3）2名老师之间必要有男女学生各1人．
【考点】部分元素不相邻的排列问题．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）96；（2）1728；（3）3840．
【分析】（1）按照特殊元素先排的原则即可；（2）互不相邻问题，利用插空法；（3）利用捆绑法即可．
【解答】解：（1）由题意可得共种不同的站法．
（2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，
最后排剩余的3名男学生有种站法，所以共有种不同的站法．
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，两老师的站法有 种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种，
所以共有种不同的站法．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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