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15.1.1　轴对称及其性质
1．经历从现实情境中抽象出轴对称图形、轴对称概念的过程，理解相关概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系；能发现生活中的轴对称图形，体会图形有规律变化产生的美，发展空间观念和几何直观．
2．经历类比研究平移的方法，研究轴对称及其性质，理解线段的垂直平分线的概念，体会由具体到抽象研究几何对象的方法，感悟类比思想在研究数学问题中的作用．
轴对称图形，轴对称的概念及性质．
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．
新课导入
对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，人们都可以找到对称的例子（如图）．你们能举出一些类似的例子吗？
【师生活动】教师组织学生分享交流（下图为部分示例）．
【问题】在七年级的学习中，我们已经研究过“平移”，和平移一样，轴对称也是一种基本的图形变化，在研究内容、研究过程、研究方法上，我们都可以借鉴学习平移的思路．想一想，应该如何开展对轴对称的研究呢？
【师生活动】教师引导学生类比研究平移的思路与方法，构建前后一致的“图形变化”的研究路径：引入对象（现实情境）—抽象概念—研究性质—探讨画法—量化表达（坐标表示）—应用拓展．
【设计意图】在章起始课中，一方面通过生活中常见的轴对称现象，引出新知，让学生感受数学和生活的紧密联系；另一方面通过类比平移，整体构建本章的知识框架和研究方法，逐步渗透研究几何问题的一般思路．
新知探究
【问题1】图中是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案 （折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的．观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
【师生活动】学生认真观察后，发现这些图形都是对称的，图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．
【追问1】你能够模拟剪窗花的过程，自己剪出一些具有这样特征的图形吗？使用桌子上的剪刀和彩纸，试一试吧．
【师生活动】学生动手操作，教师巡视指导，展示有特点的学生作品．师生共同总结出轴对称图形的特点．
【新知】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，我们也说这个图形关于这条直线对称．
【提醒】这里指的“直线两旁的部分”都是同一个图形的，不是两个图形．
【追问2】认识了轴对称图形的概念之后，我们再来回顾一下，刚才欣赏的图片、同学们举的例子是不是都属于轴对称图形？如果是，它们的对称轴是什么？
【师生活动】教师组织学生分享交流，进一步理解轴对称图形的概念．
【设计意图】在观察和操作的基础上，让学生感知轴对称图形的具体特征，为顺利抽象并理解轴对称图形的概念作铺垫．
课堂练习
如图所示的下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关练习，教师给出答案并讲解．
【答案】
【提醒】一个轴对称图形可能有不止一条对称轴．
【设计意图】通过练习加深学生对轴对称图形概念的理解．
新知探究
【问题2】下面的每对图形有什么共同特点？
【师生活动】学生观察思考学习任务单上的问题，小组交流，发现这些图形的共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合．
【新知】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称．这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
【追问1】请你标出图中点A，B，C的对称点A'，B'，C'．
【师生活动】学生在学习任务单上标出对称点．
【追问2】你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？
【师生活动】学生思考后回答，教师点评．
【设计意图】让学生在观察具体实例中，类比轴对称图形概念的学习过程，发现两个图形成轴对称的特征，进而概括出两个图形成轴对称的概念．让学生通过举例，对轴对称的本质特征进行再认识．
课堂练习
如图所示的下列图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点．
【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，画出对称轴和对称点．教师进行讲解，并指出第（2）题中的两个图案之间的图形运动是平移变换．
【答案】
【设计意图】通过练习加深学生对两个图形成轴对称的概念的理解．
新知探究
【问题3】你能说说轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系吗？
【师生活动】学生独立思考后，进行小组交流，完成学习任务单上的相关任务．学生代表发言，教师根据学生回答的情况进行指导，如果学生理解上有困难，可以适时追问下面的问题：
（1）把成轴对称的两个图形看成一个图形，它是轴对称图形吗？
（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形是否能完全重合？这两个图形成轴对称吗？
师生共同归纳得出：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．
【答案】
【设计意图】通过对比讲解，让学生明确轴对称图形和两个图形成轴对称的本质是一致的，但同时二者也是有区别的，加深学生对知识的理解．
【追问】认识了轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系之后，相信同学们对轴对称的相关概念一定有了进一步的认识和理解，按照前面确定的“图形变化”的研究路径，接下来，我们要研究轴对称的性质了，想一想，应该怎样研究呢？
【师生活动】师生共同探讨交流，明确研究方法与路径：其一，从定义出发研究性质；其二，类比平移，研究变化过程中不变的关系与不变量，尤其是探究变化前后决定变化的要素与图形组成元素之间的关系．
【设计意图】进一步明晰概念，同时，通过引导学生思考和交流，明确研究路径，体会几何对象的研究过程，积累相应数学活动的经验．
【问题4】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点．线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？其他对称点呢？
【师生活动】学生尝试回答，并相互补充，最后得出：AA′与MN垂直，BB′，CC′ 也与MN垂直，同时MN平分AA′，BB′和CC′．对其他对称点，也有这样的关系．总结后完成学习任务单上的相关任务．
【追问1】你能说明其中的道理吗？
【师生活动】学生独立思考，小组合作交流，学生代表汇报，师生共同交流．教师注意提醒学生关注以下两个问题：（1）从两个图形成轴对称的定义出发，因为A与A′是对称点，所以将△ABC和△A′B′C′沿直线MN折叠后，点A与A′重合；（2）点A与A′重合说明了①AP＝A′P，即MN平分AA′；②∠MPA，∠MPA′的边所在的直线分别重合，进而得出这两个角相等，即AA′与MN垂直．
同理，MN也平分BB′，CC′；BB′，CC′与MN也垂直．
【追问2】你能用数学语言概括前面的结论吗？
【师生活动】学生尝试概括，并相互补充，得出成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．教师引导学生进一步将该性质用简洁的方式表示出来．
【新知】轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分．
【设计意图】通过在一般图形上找出特殊点，从特例出发，让学生经历发现结论，概括结论，验证结论的过程，体会理解概念在探索性质中的重要作用，培养学生的抽象概括能力，提高学生对成轴对称的两个图形的性质的认识．
【问题5】轴对称图形中也有类似的性质吗？
【师生活动】教师引导学生将这个五边形沿直线l分成两个图形，这样就可以把一个轴对称图形转化成成轴对称的两个图形，再由轴对称的性质可以得到：直线l与线段AA′，BB′垂直，直线l平分线段AA′，BB′．学生完成学习任务单上的相关任务．
【追问】你能用数学语言概括前面的结论吗？
【师生活动】学生尝试概括，并相互补充，得出轴对称图形的性质：对称轴垂直平分对称点所连线段．
【新知】经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线．无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线．
【设计意图】让学生类比探索成轴对称的两个图形的性质的方法，进一步探究轴对称图形的性质，体会类比的思想在研究数学问题中的重要作用．
课堂练习
如图，线段AB与A′B′关于直线l对称，AA′交直线l于点O，连接BO，B′O．
（1）图中相等线段有 ，线段AA′的垂直平分线是 ．
（2）△OAB和△OA′B′ 关于直线l ，△OAB △OA′B′ ，∠ABO＝ ，∠A′OB′ ＝ ．
【师生活动】学生在学习任务单上独立完成相关练习，全班交流．
【答案】解：（1）AB＝A'B'，AO＝A'O，BO＝B'O；直线l．
（2）对称；≌；∠A'B'O ；∠AOB．
【设计意图】通过巩固练习，帮助学生进一步加强对轴对称的概念和性质的认识及理解．
课堂小结
【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并记录在学习任务单上．
1．轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是什么？
2．成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎样探究这些性质的？
【思维导图参考】
【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯．
课后任务
完成教材第69～71页习题15.1第1、2、3、11题．

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