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培优01 将军饮马问题
题型1 直线与定点
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。 方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M，在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’，与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 模型三（两点在同侧）：在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 模型四（两点在异侧）：在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 模型五 在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值。 方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线L相交于点P，|PA-PB|最小值为0。
重难点一 两定一动型（异侧，求线段和的最小值）
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在一条笔直的公路两侧，分别有、两个村庄，现在要在公路上修建一座火力发电厂，向、两个村庄供电，为使所用电线最短，发电厂应建在何处？并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短的实际应用，根据“两点之间，线段最短”可知，线段与直线的交点位置即为点C的位置．
【详解】解：根据“两点之间，线段最短”可知，连接交直线于点，则点即为发电厂的位置．
2．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，在平面上有四个点，根据下列语句画图．
(1)①作射线；②作线段；
(2)在（1）的基础上，请在线段上画出一点，使点到两点的距离之和最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了复杂作图，掌握直线、射线、线段的特点及点与直线的关系是解题的关键．
（1）①根据射线的特点作图；②根据线段的特点作图；
（2）根据“两点之间，线段最短”作图．
【详解】（1）解：①射线即为所求；
②线段即为所求；
（2）点P即为所求．
3．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由．
【答案】情景一：原因是两点之间线段最短；情景二：图见解析，理由是两点之间线段最短
【分析】本题考查数学定理的实际应用．
本题两个情景均可用“两点之间线段最短”这一定理解答．
【详解】解：情景一：从教室到图书馆,总有少数同学不走人行道而横穿草坪,根据两点之间线段最短可知可少走几步路.
情景二：连接线段与的交点为P，如下图所示，理由是两点之间线段最短．
．
重难点二 两定一动型（同侧，求线段和的最小值）
4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读材料：
如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小．
“智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长．
如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可．
(1)请完成图3中的证明；
(2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________；
(3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证；
（2）由题意知，是等边的对称轴，如图1，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可；
（3）由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据，即，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，，
∴，，
∴，，
∴当三点共线时，值最小，
∴点的位置即为所求；
（2）解：∵等边，是的平分线，
∴是等边的对称轴，
如图1，作关于的对称点，连接，，
∴为的中点，为的平分线，
∴，
由题意知，的最小值是，
故答案为：4；
（3）解：∵平分，
∴是的对称轴，
如图2，作关于的对称点，连接，作于，
由题意知，当三点共线时，，
当重合时，的值最小，为，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．
5．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂线段最短以及对称轴作图，结合等腰三角形性质和对称性求解时关键．作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出即可得出答案．
【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，如图，
∵，，，
∴，
∵E关于的对称点M，
∴，
∴，
根据垂线段最短得出：，
即，
即的最小值是．
6．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，垂直平分，点为直线上任意一点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称中最短路线的问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是找出点P的位置．
根据题意可知，点B关于直线的对称点为点，故当点P与点D重合时，有最小值，求出的长度即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴点B与点C关于直线对称，
设交于点D，如图，
当点P与点D重合时，的值最小，最小值为等于的长，
∴的最小值是．
故答案为： ．
7．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知在中，，，，，点P为边上的动点，点D为边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，两点这间线段最短，通过作对称点把折线转化为线段问题，利用两点之间线段最短来解答本题．
作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，根据得到当点D，P，三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用等面积法求解即可．
【详解】解：作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，
∵
∴点B，C，三点共线，且
∴，
∴
∴当点D，P，三点共线时，有最小值，即的长度
∵
∴
∴．
∴的最小值为．
故答案为：．
重难点三 两定一动型（异侧，求线段差的最大值）
8．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查利用轴对称解决线段差值的最大值，等边三角形的判定和性质，作点关于的对称点，连接，进而得到，进而得到当三点共线时，的最大值为的长，证明为等边三角形，进而得到的长，即可．解题的关键是通过轴对称构造特殊三角形．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的最大值为的长，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的最大值为；
故答案为：．
9．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若，点P是直线上的动点，求的最大值．
【答案】(1)30°
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据含角直角三角形的性质得到，进而求解即可；
（3）作C点关于直线的对称点，根据角平分线的定义可判断在直线上，连接的直线就是，则当P点和A点重合时，最大，即可求解．
【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明∶ ∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解∶ 作C点关于直线的对称点，
∵平分．
∴在直线上，
∴连接的直线就是，
∴当P点和A点重合时，最大，
此时的最大值为，
∵，
∴的最大值为2．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质和含角直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
题型2 角与定点
模型一：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。 数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得 PMN周长最小。 方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P' P''的长。 模型二 如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。 数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。 方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。 模型三：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。 模型四：已知点P在直线AB、BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法：如右图，作点P关于直线AB的对称点P'，过点P'作P'N⊥BC，垂足为点N，P'N与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'N的长。
重难点一 利用垂线段最短解决线段和问题
10．（20-21八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，∠AOC=∠BOC=10°，OC=20，在OA上找一点M，在OB上一点N，则CM+MN的最小值是 ．
【答案】10
【分析】作交于点D，且，得；根据两点之间线段最短的性质，得当点P、M、N在一条直线上时，CM+MN最短；通过证明，得 ,，从而得到；过点P作交OB于点H，根据点到直线垂线段最短的性质，得CM+MN最小值=PH；再通过特殊角度直角三角形性质，通过计算即可得到答案．
【详解】如图，作交于点D，且
∴
∴当点P、M、N在一条直线上时，CM+MN最短，此时，CM+MN=PN
∵
∴
∴
∴
∴ ,
∴
过点P作交OB于点H
∵PH是点P到OB的最短距离
∴当点N和点H重合时，PN取最小值，即：CM+MN=PN=PH
∵，且
∴
∴CM+MN的最小值是：10
故答案为：10．
【点睛】本题考查了垂直平分线、两点之间线段最短、全等三角形、点到直线垂线段最短、含 角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握垂直平分线、两点之间线段最短、全等三角形、点到直线垂线段最短的性质，从而完成求解．
12．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短、含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是牢记并灵活运用相关概念．先利用轴对称作出点关于直线的对称点，再利用垂线段最短得到它的最小值等于线段的长，最后利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，作直线，
∴，，，
∴
过点作，垂足为点，
则当点、、，共线，与重合时，的值最小，等于，
∴，
∴的最小值为3
故选：A．
13．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点E在等边的边上，，射线于点C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的和最小时，，则的长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】D
【分析】题目主要考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质及含30度角的直角三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
作点E关于直线的对称点G，过点G作，垂足为P，交于点F，交于点H，此时的值最小，根据等边三角形的性质和判定得出、为等边三角形，，，再由等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，作点E关于直线的对称点G，过点G作，垂足为P，交于点F，交于点H，
根据轴对称的性质得：，
∴当时，的和最小．
∵等边，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选D．
重难点二 求周长最小值（角内一点）
14．（2025·山东威海·二模）如图，在中，，点D是边上的动点，点D关于的对称点分别为E，F，连接．点D在从点B向点C运动过程中，的周长（ ）
A．一直在变小 B．保持不变
C．先变大再变小 D．先变小再变大
【答案】D
【分析】本题考查求三角形周长最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质．根据轴对称的性质得，，，，等量代换得，，得是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当时，取最小值，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：

∵点D关于的对称点分别为E，F，
∴是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的周长为：，
∴当最小即取最小值时，的周长最小，
∴当，取最小值，
∴点D在从点B向点C运动过程中，的周长先变小再变大，
故选：D．
15．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，已知，是内部的一点，且，，分别是，上的动点，则的周长最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键；
作点关于、的对称点，分别作点关于的对称点，关于的对称点；连接， ，，根据题意求得的度数，进而证明是等边三角形，从而求解；
【详解】解：作点关于、的对称点，分别作点关于的对称点，关于的对称点；连接， ，，
根据轴对称的性质可知: ，，
此时的周长；
即当、为上述所作的交点时, 的周长取得最小值，最小值为的长度；
因为点与关于对称，点与关于对称，所以是的垂直平分线，是的垂直平分线；
根据轴对称的性质可知：，，
已知，则；
由轴对称的性质可知：，
在中，，，
所以是等边三角形；
根据等边三角形的性质，三边相等，所以，即周长的最小值为；
故选：A
16．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可．
【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，
∴的周长，
∴此时的周长最小值为的长，
则：，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的周长最小值为，
故选：A．
17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明．
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴ ， ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】
如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
【答案】分析问题：见解析；解决问题：见解析
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题：
（1）先由轴对称的性质得到，，则，，再由两点之间线段最短即可证明结论；
（2）如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求．
【详解】解：分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴，，
∴，，
由两点之间线段最短可知，，
∴，
∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方；
解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求．
易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求．
18．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______；
(2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值；
(3)如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值．
【答案】(1)图见解析，两点之间线段最短
(2)见解析
(3)6
【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
（1）依据是两点之间线段最短得出答案；
（2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求；
（3）分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果．
【详解】（1）连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短；
（2）如图，点即为所求．
（3）如图2，
作法：（Ⅰ）作关于的对称点，
（Ⅱ）作点关于的对称点，
（Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N，
则的周长最小，
连接、，
∵点C和点Q关于对称，
∴，，
同理可得，
，，
∴，
，
∴为等边三角形，
∴，
∴的周长．
19．（22-23八年级上·陕西延安·期末）问题提出
某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小．
解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为．
(1)如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为______．
问题解决
(2)如图，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
【答案】(1)；
(2)整个过程所行的路程为．
【分析】（1）如图，连接，由题意可知，当时取得最小值，结合等边三角形性质可求得；
（2）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解．
【详解】（1）解：如图，由题意可知：
点B关于直线的对称点为，
连接，设与直线的交点为P，
则，
即当时取得最小值，
是等边三角形，
，
故答案为：；
（2）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径．
由题意，得，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
∴整个过程所行的路程为．
【点睛】本题考查了最短路径的实际应用；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段．
重难点三 求周长最小值（角内两点）
20．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质，对称轴是对应点连线的垂直平分线以及根据两点之间线段最短，可知最短．
【详解】解：如图，M、N即为所求，
21．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查轴对称－最短路线问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关链．
作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，
则，
，
的最小值为，
由轴对称的性质得，，，，
，
∵，
为等边三角形，
，
即的值最小为3；
故答案为：3．
重难点四 将军饮马与角度计算问题
22．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，
连接，，，其中交于，交于，
此时的周长最小值等于的长，
由轴对称性质可知：，，，，
，
，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
23．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，先由题意可得，由轴对称的性质结合等边对等角可得，，由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理可得，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在四边形中，，，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得：，，
∴，，
∵，，，
∴，
由可得：，
故选：A．
24．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点，，使的周长最小，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．
，
，
，，且，，
故选：C．
25．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小．
【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点．
因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得．
所以 ．
以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ．
【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小．
（1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若，求的度数．
【答案】，，两点之间线段最短；（1）见解析；（2）80°
【分析】[分析问题]利用轴对称的性质，两点之间线段最短解决问题；
[解决问题]①作点D关于的对称点，关于的对称点，连接分别交于点P，交于点Q，连接，即可；
②求出可得结论．
【详解】解：[分析问题]：如图2中，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点．
因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得．
所以．
上问题的解决过程中运用的数学基本事实是：两点之间线段最短；
[解决问题]：①如图3中，即为所求；
根据轴对称可知：，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小；
②∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
题型3 造桥选址问题
模型一：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？ 方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，最短距离为A'B+MN 模型二：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值。 方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A'，作B关于直线L的对称点B'，连接A'B'，交直线L于点N，将点N向左平移a个单位长度得点M，点M和点N即为所求，最短距离为A'B'+MN
26．（24-25七年级下·全国·单元测试）按照下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短；
(2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小；
(3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
(4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题；
（1）作点 关于的对称点，连接，交与点，则点即为所求；
（2）点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小．
（3）过作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出即可．
（4）过作使得，作点关于的对称点，连接与的交点即为，过作交为，点，即为所求．
【详解】（1）解：点位置如图①②所示．（任选一种即可）
（2）如图③所示，点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小．
（3）如图④，即为所求的桥．
根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b），
只要最短就行，
即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥．
（4）解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．点，的位置如图⑤所示．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点C关于l的对称点D，
∴，，
∴，，
∵为定值，
∴要求的最小值，只需求，
∴点B、F、D共线时，最小．
27．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由；
（2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）
将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）．
（3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键：
（1）根据两点之间线段最短，直接连接，与的交点即为点；
（2）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求．
（3）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求．
【详解】解：（I）如图，连接，与交于点，点即为所求；
理由：两点之间，线段最短．
（II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求．
（Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求．
28．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】
【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：
如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小．
画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求．
证明：和关于直线对称
直线垂直平分
________，
根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点．
【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．
【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米
【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．
【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得；
【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求；
【详解】，①，；
解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短；
29．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【答案】
【分析】作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，则，则，此时P点到A与B的距离和最小，过作，延长与交于点M，则，得到，再得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，即可得到答案．
【详解】解：作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，
∴，
∴，此时P点到A与B的距离和最小，
过作，延长与交于点M，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点P与C点的距离是，
故答案为：
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，还考查了等腰直角三角形的判定和性质，按照要求正确作图是解题的关键．
题型4 与将军饮马模型有关的画图问题
30．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图形的变换可以解决很多生活中问题．
如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的．
(1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）．
(2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；
（1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；
（2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：如图，
31．（20-21八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在所给的网格图中，完成下列各题
(1)画出格点关于直线的对称的；
(2)在上画出点P，使最小；
(3)在上画出点Q，使最大．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了画轴对称图形、最短路径问题，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键．
（1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接、、所得的三角形即为所求；
（2）根据轴对称的性质可得，连接交直线于点P，则点P即为所求．
（3）根据，即可得到的最大值为的长，延长交于点Q，则点Q即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，点P即为所求；
（3）解：如图所示，点Q即为所求．
32．（25-26七年级上·全国·课后作业）河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程．
【答案】见解析
【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合建一个长度为s米的绿化带，故作线段，使，且点在点B的左侧．再根据C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．则取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取，即可作答．
【详解】解：作图方法如下：如图，作线段，使，且点在点B的左侧．取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取，
∴
则即为所求作的绿化带的位置．
33．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流．
(1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）．
(2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接，
由轴对称的性质得，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
∴如图所示，点的位置即为所求；
（2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为，
将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2：
则，
由平移的性质得，，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小，
∴如图所示，点的位置即为所求．
1中小学教育资源及组卷应用平台
培优01 将军饮马问题
题型1 直线与定点
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。 方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M，在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’，与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 模型三（两点在同侧）：在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 模型四（两点在异侧）：在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 模型五 在直线L上求一点P，求|PA-PB|的最小值。 方法：如右图，作线段AB的垂直平分线与直线L相交于点P，|PA-PB|最小值为0。
重难点一 两定一动型（异侧，求线段和的最小值）
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在一条笔直的公路两侧，分别有、两个村庄，现在要在公路上修建一座火力发电厂，向、两个村庄供电，为使所用电线最短，发电厂应建在何处？并说明理由．
2．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，在平面上有四个点，根据下列语句画图．
(1)①作射线；②作线段；
(2)在（1）的基础上，请在线段上画出一点，使点到两点的距离之和最短．
3．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由．
重难点二 两定一动型（同侧，求线段和的最小值）
4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读材料：
如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小．
“智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长．
如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可．
(1)请完成图3中的证明；
(2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________；
(3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________．
5．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ．
6．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，垂直平分，点为直线上任意一点，则的最小值是 ．
7．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知在中，，，，，点P为边上的动点，点D为边上的动点，则的最小值为 ．
重难点三 两定一动型（异侧，求线段差的最大值）
8．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ．
9．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若，点P是直线上的动点，求的最大值．
题型2 角与定点
模型一：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。 数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得 PMN周长最小。 方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P' P''的长。 模型二 如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。 数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。 方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。 模型三：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。 模型四：已知点P在直线AB、BC的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法：如右图，作点P关于直线AB的对称点P'，过点P'作P'N⊥BC，垂足为点N，P'N与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'N的长。
重难点一 利用垂线段最短解决线段和问题
10．（20-21八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，∠AOC=∠BOC=10°，OC=20，在OA上找一点M，在OB上一点N，则CM+MN的最小值是 ．
12．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．6
13．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点E在等边的边上，，射线于点C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的和最小时，，则的长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
重难点二 求周长最小值（角内一点）
14．（2025·山东威海·二模）如图，在中，，点D是边上的动点，点D关于的对称点分别为E，F，连接．点D在从点B向点C运动过程中，的周长（ ）
A．一直在变小 B．保持不变
C．先变大再变小 D．先变小再变大
15．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，已知，是内部的一点，且，，分别是，上的动点，则的周长最小值等于（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
17．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明．
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴ ， ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
18．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题
(1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______；
(2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值；
(3)如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值．
19．（22-23八年级上·陕西延安·期末）问题提出
某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小．
解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为．
(1)如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为______．
问题解决
(2)如图，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
重难点三 求周长最小值（角内两点）
20．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
21．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ．
重难点四 将军饮马与角度计算问题
22．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（ ）
A． B．
C． D．
23．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
24．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点，，使的周长最小，则（ ）

A． B． C． D．
25．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小．
【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点．
因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得．
所以 ．
以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ．
【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小．
（1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若，求的度数．
题型3 造桥选址问题
模型一：如图，一条宽度相同的河流两侧有A、B两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？ 方法：如右图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，最短距离为A'B+MN 模型二：线段MN在直线L上可移动，且MN=a，当MN移动到什么位置时，求AM+MN+NB最小值。 方法：如右图，将点A向右平移a个单位长度得点A'，作B关于直线L的对称点B'，连接A'B'，交直线L于点N，将点N向左平移a个单位长度得点M，点M和点N即为所求，最短距离为A'B'+MN
26．（24-25七年级下·全国·单元测试）按照下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短；
(2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小；
(3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
(4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置．
27．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由；
（2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）
将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）．
（3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）．
28．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】
【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：
如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小．
画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求．
证明：和关于直线对称
直线垂直平分
________，
根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点．
【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．
29．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
题型4 与将军饮马模型有关的画图问题
30．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图形的变换可以解决很多生活中问题．
如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的．
(1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）．
(2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）．
31．（20-21八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在所给的网格图中，完成下列各题
(1)画出格点关于直线的对称的；
(2)在上画出点P，使最小；
(3)在上画出点Q，使最大．
32．（25-26七年级上·全国·课后作业）河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程．
33．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流．
(1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）．
(2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．
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