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2026届中考数学一轮复习 第四章图形的初步认识与三角形：三角形的分类及性质 知识点训练
【知识点1】三角形的分类
1、在中，下列条件能说明是直角三角形的是（ ）
A.，
B.
C.
D.
2、下列说法正确的是（　　）
A.所有的等腰三角形都是锐角三角形
B.等边三角形属于等腰三角形
C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D.一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
3、一个三角形的一个内角是40°，其余两个内角度数的比是3：2，这个三角形是（　　）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
4、如图，在锐角三角形中，P是边上的动点，连接．①当P为的中点时，与的面积相等；②线段可以把分成两个钝角三角形．关于①、②，下列判断正确的是（　　）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②都正确 D.①②都不正确
5、图表示三角形分类，则Q表示的是（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
6、适合条件2∠A＝2∠B＝∠C的三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
7、若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是　　
A.M表示等边三角形
B.M表示锐角三角形
C.P表示等腰三角形
D.N表示三边都不相等的三角形
8、三角形按边可分为（　　）
A.等腰三角形，直角三角形，锐角三角形
B.直角三角形，不等边三角形
C.等腰三角形，不等边三角形
D.等腰三角形，等边三角形
9、将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　）
A.都是直角三角形
B.都是钝角三角形
C.都是锐角三角形
D.是一个直角三角形和一个钝角三角形
10、如图所示的三角形共有 　 　个．
11、在△ABC中，∠A ：∠B ：∠C ＝1∶1∶2 ，则△ABC为 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
12、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第9个图形中，互不重叠的三角形共有
　 　个．
13、一个等腰三角形的周长为9,三条边长都为整数,则等腰三角形的腰长为　　　　.
14、中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由．
15、已知a，b，c为△ABC的三边长,b，c满足(b－2)2+|c－3|＝0,且a为方程|a－4|＝2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.
【知识点2】三角形三边关系
1、下列各组边长能组成三角形的是（　　）
A.7，8，15 B.5，5，11 C.3，4，5 D.2，9，12
2、如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝15m，PB＝11m，那么A，B间的距离不可能是（　　）
A.5m B.18m C.20m D.27m
3、若某三角形的两边长分别为5和9，则该三角形第三边的长可能是（　　）
A.4 B.5 C.14 D.15
4、如图,用四个螺丝钉将四条不可弯曲的木条钉成一个木框,不计螺丝钉大小,其中相邻两螺丝钉间的距离依次为2，3，4，6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝钉间的距离的最大值为(　　)
A.6　　　　 B.7　　　　 C.8　　　　 D.10
5、若学生甲、乙两家到学校的直线距离分别是5 km和3 km.那么学生甲、乙两家的直线距离不可能是（　　）
A.1 km B.2 km C.3 km D.8 km
6、已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A.5 B.6 C.11 D.16
7、下列四组数均为线段的长度，可以构成三角形的是（　　）
A.2，3，5 B.1，5，7 C.2，6，8 D.3，4，5
8、若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足|a-2|+（b-1）2=0，则第三边长c的值可以是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
9、如图，已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为(　　)
A.8 B.2 C.16 D.4
10、如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是________.
11、用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，则另两边的长度分别是　　　　　　　cm．
12、如果不等边三角形的三边长分别是2、7、x﹣1，那么整数x的取值是 　　．
13、已知△ABC的三条边长均为整数，其中两边长分别是2和5，第三边长为奇数，则此三角形的周长为 　　．
14、已知△ABC的三条边长为3x，x﹣1，7，则x的取值范围是 　 　．
15、在△ABC中，设边BC＝a，AC＝b，AB＝n，其中a，b（a＜b）是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根．
（1）求a，b的值．
（2）若a，b，n这三个数的平均数，仍小于n，求n的取值范围．
16、如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为xcm．
（1）求第三边x的范围；
（2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
【知识点3】三角形内角和定理
1、在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）
A.50° B.60° C.70° D.80°
2、如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（　　）
A.120° B.118° C.116° D. 114°
3、如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度．
A.90 B.60 C.50 D.40
4、如图所示，能利用图中作法：过点A作BC的平行线，证明三角形内角和是180°的原理是(　　)
A.两直线平行，同旁内角互补
B.两直线平行，内错角相等
C.内错角相等，两直线平行
D.两直线平行，同位角相等
5、如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2=130°，则∠A=(　　)
A.50° B.60° C.65° D.70°
6、在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝55°，则△ABC为（　　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定
7、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是（　　）
A.30° B.40° C.50° D.60°
8、如图，在中，是角平分线，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9、如图，锐角中，，要作的高线，下列说法正确的是（ ）
甲的作法： 乙的作法： 丙的作法
A.只有甲对
B.只有乙和丙对
C.只有甲和丙对
D.甲，乙，丙都对
10、若△ABC三个角的大小满足条件∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠B的大小为（　　）
A.30° B.60° C.90° D.120°
11、如图，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A＝72°，则∠D﹣∠E＝　　°．
12、将一副直角三角板按如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的大小为　　　　　.
13、三角形的内角度数的比是1：2：6，这个三角形是 　　三角形．
14、已知如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______.
15、如图，△ABC中，∠B=2∠C，AE平分∠BAC．
（1）若AD⊥BC于D，∠C=35°，求∠DAE的大小；
（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C=2∠FEC．
16、如图，在△ABC中，∠BAC＝68°，∠B＝36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数．
17、如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且
(1)若，请直接写出的度数；
(2)已知，，求的周长．
18、（1）如图①，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①中△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1+∠2____∠B+∠C（填“>”“<”“＝”），当∠A＝40°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝________;
（3）图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，则x°+y°＝360°－（∠B+∠C+∠1+∠2）＝360°－________＝________，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为________．
【知识点4】三角形的外角的性质
1、如图，∠CDB＝155°，∠C＝115°，则∠A的度数是（　　）
A.30° B.35° C.40° D.50°
2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为(　　)
A.30° B.45° C.50° D.65°
3、如图所示，∠α的度数是（　 　）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
4、如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（　　）
A.40° B.45° C.50° D.55°
5、如图，点C在直线l1上，点A，D在直线l2上，∠CAD的平分线AB交直线l1 于点B，且CA＝CB．若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A.20° B.30° C.40° D.60°
6、如图，在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
7、如图，将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（　　）
A.75° B.95° C.100° D.105°
8、如图所示，共有等腰三角形（　　）
A.4个 B.5个 C.3个 D.2个
9、如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于(　　)
A.30° B.35° C.40° D.42°
10、如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BDC＝　 　度，∠BOC＝　 　度．
11、如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝　 　°．
12、如图所示，，，，，，则 ．
13、如图所示，点A、B、C是O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO、CO，并延长线段BO交线段AC于点D．若∠A＝60°，∠OCD＝40°，则∠ODC＝　 　度．
14、如图，是的外角，若，，则的度数为 ．
15、如图，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，CE⊥BD交BD的延长线于点E．
求证：∠DCE＝∠CAD．
16、如图，在△ABC中，∠ABC=82°，∠C=58°，BD⊥AC于点D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB.
17、探究：
如图①，在四边形ABDC中，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；
应用：
如图②，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX= 度；
拓展：
如图③，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=100°，∠BDC=150°，则∠BEC=＿＿＿＿＿度．
18、如图1所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．
（1）试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系．
（2）如图2所示，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，你在（1）中探索得到的结论是否还成立？并说明理由.
【知识点5】三角形中的重要线段
1、如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A. B. C. D.
2、如图，在三角形中，，为的中点，延长交于．为上的一点，于．下列判断正确的有（ ）
（1）是三角形的角平分线．
（2）是三角形边上的中线．
（3）为三角形边上的高．
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
3、画△ABC的边AC边的高，正确的是　　
A.
B.
C.
D.
4、如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A. B. 3 C. 4 D. 6
5、如图，△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，E是AC的中点，BC＝3BD，BE与AD相交于F，S△ABD＝2，S△BFD＝0.5，则四边形FDCE的面积为（　　）
A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 6
6、如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点，过点作于点，延长交于点．下面说法错误的是（ ）
A.是的角平分线
B.是的高
C.是的高
D.是的中线
7、如图，AE⊥BC交BC的延长线于点E，BF⊥AC交AC的延长线于点F，CD⊥AB于点D，则在△ABC中，AC边上的高是（　　）
A.AE B.CD C.BF D.AF
8、如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为20，则四边形ADEF的面积为（　　）
A.10 B.9 C.8.5 D.7.5
9、如图,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N,若MN＝3 米,则AB等于(　　)
A.4 米　 B.6 米　 C.8 米　 D.10 米
10、如图所示，中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则的面积是（ ）
A.25 B.30 C.35 D.40
11、在中，，，，分别是的中点，则的周长为______．
12、如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD的面积是_______.
13、如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　 　．
14、如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______．
15、在锐角△ABC中，AD，BE分别为△ABC的BC边上的中线和∠ABC的平分线，AD=BE，且AD⊥BE，则=　　　　　.
16、已知：．
（1）尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
17、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
18、如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm.试求：
(1)AD的长；
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
19、如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD＝CE时，求证：DEFG是矩形．
20、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
【知识点6】三角形中内、外角与角平分线的规律总结
1、如图，在△ABC中，∠A＝65°，点O是△ABC两内角平分线的交点，则∠BOC等于(　　)
A.130° B.115° C.57.5° D.122.5°
2、如图所示，点E到△ABC三边的距离相等，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若BM+CN＝2023，则线段NM的长为（　　）
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
3、如图，在△ABC中， ∠A＝80°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1； ∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……； ∠A7BC与∠A7CD的平分线相交于点A8，得∠A8，则∠A8的度数为（　　）
A. B. C. D.
4、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）
A.40° B.45° C.50° D.60°
5、如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角的平分线,如果∠ABP＝20°,∠ACP＝50°,则∠A+∠P等于(　　)
A.70° B.80° C.90° D.100°
6、如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An，点E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC的平分线与∠ACE的平分线交于点M，设∠BAC＝α．下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C.∠M+∠A1的值为定值
D.∠M﹣∠A1的值为定值
7、如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD，CD相交于点D．若∠A＝80°，则∠D等于（　　）
A.30° B.40° C.50° D.55°
8、如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，给出下列结论：其中错误的是（　　）
A.∠1＝2∠2
B.∠BOC＝3∠2
C.
D.∠BOC＝90°+∠2
9、如图，AC⊥BD，AF平分∠BAC，DF平分∠EDB，∠BED＝100°，则∠F的度数为　　．
10、如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABC；④∠BDC∠BAC．其中正确的结论有 　　（填序号）．
11、如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．(用含α的式子表示)
12、探究一：
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝64°，BP，CP分别是两个内角∠ABC，∠ACB的角平分线，则∠P＝　　度．
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝70°，BP，CP分别是两个外角∠CBD，∠BCE的角平分线，则∠P＝　　度．
探究二：
如图3，在△ABC中，BP是三角形内角∠ABC的角平分线，CP是外角∠ACD的角平分线．请说明∠P和∠A之间的数量关系？并证明你的结论．
13、阅读下面的材料，并解决问题．
已知在中，，图1－图3的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数．
(1)如图1，______；如图2，______；如图3，______；
(2)如图4，，的三等分线交于点，，连接，求．
14、如图1，已知BD是△ABC的内角∠ABC的平分线，CD是△ABC外角∠ACE的平分线，且BD与CD相交于点D．
（1）若∠A＝50°，则∠D的度数是 　 　．
（2）若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠D的度数，并写出推导过程．
（3）在（2）的条件下，如图2，若BD1，BD2 BDn分别是∠ABC，∠D1BC…的角平分线，CD1，CD2， CDn分别是外角∠ACE，∠D1CE，…∠Dn﹣1CE的平分线，请直接写出∠Dn的度数．（用含a的式子表示）
15、认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究一：如图1，在中，已知是与的平分线和的交点，通过分析发现
，理由如下：
和分别是和的角平分线
，
（1）探究2：如图2中，已知是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？并说明理由．
（2）探究3：如图3，已知是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）结论：　　．
（3）拓展：在四边形中，已知是与的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）结论：　 　．
16、如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB∶∠CNB＝3∶2，求∠CAB的度数．
17、如图①，在中，与的平分线相交于点P．

(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段、交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
【知识点7】三角形的稳定性
1、如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（　　）
A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短 C.同角的余角相等 D.三角形具有稳定性
2、空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　）
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
3、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的根数为（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
4、如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是（　　）
A.两点之间的所有连线中线段最短
B.三角形具有稳定性
C.经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D.在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
2026届中考数学一轮复习 第四章图形的初步认识与三角形：三角形的分类及性质 知识点训练（参考答案）
【知识点1】三角形的分类
1、在中，下列条件能说明是直角三角形的是（ ）
A.，
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：A、∵，，
∴，
是锐角三角形，故此选项不符合题意．
B、∵，，
∴，
是等边三角形，故此选项不符合题意．
C、，，
，
是直角三角形，故此选项符合题意．
D、∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
是钝角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2、下列说法正确的是（　　）
A.所有的等腰三角形都是锐角三角形
B.等边三角形属于等腰三角形
C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D.一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
【答案】B
【解析】A、错误．内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形．
B、正确．等边三角形属于等腰三角形．
C、错误．内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形．
D、错误．内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形．
故选：B．
3、一个三角形的一个内角是40°，其余两个内角度数的比是3：2，这个三角形是（　　）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
【答案】B
【解析】（180°﹣40°）84°，
最大的角是84°，是一个锐角，
所以这个三角形是锐角三角形．
故选：B．
4、如图，在锐角三角形中，P是边上的动点，连接．①当P为的中点时，与的面积相等；②线段可以把分成两个钝角三角形．关于①、②，下列判断正确的是（　　）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②都正确 D.①②都不正确
【答案】A
【解析】
①过点C作于点D．
∵P为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴①正确．
②∵是锐角三角形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴当时，；
当时，，
∴与不能同时大于，
∴线段不可以把分成两个钝角三角形，
∴②不正确．
综上，只有①正确．
故选：A．
5、图表示三角形分类，则Q表示的是（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【答案】A
【解析】
∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形．
∴Q表示的是等边三角形．
故选：A．
6、适合条件2∠A＝2∠B＝∠C的三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【答案】A
【解析】设∠A＝x，则∠B＝x，∠C＝2x.
又∠A+∠B+∠C＝180°，
则x+x+2x＝180°，x＝45°，则2x＝90°.
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
7、若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是　　
A.M表示等边三角形
B.M表示锐角三角形
C.P表示等腰三角形
D.N表示三边都不相等的三角形
【答案】C
【解析】三角形根据边分类如下：
，
由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形．
故选：C．
8、三角形按边可分为（　　）
A.等腰三角形，直角三角形，锐角三角形
B.直角三角形，不等边三角形
C.等腰三角形，不等边三角形
D.等腰三角形，等边三角形
【答案】C
【解析】三角形按边分类分为不等边三角形和等腰三角形．故选C．
9、将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　）
A.都是直角三角形
B.都是钝角三角形
C.都是锐角三角形
D.是一个直角三角形和一个钝角三角形
【答案】C
【解析】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：C．
10、如图所示的三角形共有 　 　个．
【答案】3．
【解析】如图所示的三角形有△ABD，△ABC，△BCD共3个，
故选：3．
11、在△ABC中，∠A ：∠B ：∠C ＝1∶1∶2 ，则△ABC为 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
【答案】直角
【解析】 ∵三角形的内角和为180°，且在△ABC中，∠A ：∠B ：∠C ＝1∶1∶2，
∴，
，
，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
12、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第9个图形中，互不重叠的三角形共有
　 　个．
【答案】28
【解析】根据题意，结合图形，显然后一个图总比前一个图多3个三角形．则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有4+3（n﹣1）＝3n+1．
当n＝9时，3×9+1＝28．
13、一个等腰三角形的周长为9,三条边长都为整数,则等腰三角形的腰长为　　　　.
【答案】3或4
【解析】设腰长为x,则底边长为9－2x.∵9－2x－x∵三边长均为整数,∴x可取的值为3或4.
14、中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由．
【答案】∵是的倍，比大，
故，，
即，
∵，
即，
解得：，
故，
，
所以为钝角三角形．
15、已知a，b，c为△ABC的三边长,b，c满足(b－2)2+|c－3|＝0,且a为方程|a－4|＝2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.
【答案】解：∵(b－2)2+|c－3|＝0,∴b－2＝0,c－3＝0,解得b＝2,c＝3,
∵a为方程|a－4|＝2的解,∴a－4＝±2,解得a＝6或2,
∵a，b，c为△ABC的三边长,b+c<6,∴a＝6不合题意,舍去,∴a＝2,
∴△ABC的周长为2+2+3＝7,△ABC是等腰三角形.
【知识点2】三角形三边关系
1、下列各组边长能组成三角形的是（　　）
A.7，8，15 B.5，5，11 C.3，4，5 D.2，9，12
【答案】C
【解析】A、7+8＝15，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、5+5＝10＜11，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、3+4＝7＞5，能组成三角形，故C符合题意；
D、2+9＝11＜12，不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
2、如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝15m，PB＝11m，那么A，B间的距离不可能是（　　）
A.5m B.18m C.20m D.27m
【答案】D
【解析】由三角形三边关系定理得到：AP﹣BP＜AB＜AP+BP，
∴15﹣11＜AB＜15+11，
∴4＜AB＜26，
∴A，B间的距离不可能是27m．
故选：D．
3、若某三角形的两边长分别为5和9，则该三角形第三边的长可能是（　　）
A.4 B.5 C.14 D.15
【答案】B
【解析】设该三角形第三边的长为a，
由三角形的三边关系得：9﹣5＜a＜5+9，即4＜a＜14，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
4、如图,用四个螺丝钉将四条不可弯曲的木条钉成一个木框,不计螺丝钉大小,其中相邻两螺丝钉间的距离依次为2，3，4，6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝钉间的距离的最大值为(　　)
A.6　　　　 B.7　　　　 C.8　　　　 D.10
【答案】B
【解析】已知相邻两螺丝钉间的距离依次为2，3，4，6,故可将4根木条的长看作2，3，4，6.①选5(2+3＝5)，4，6作为三边长,5－4<6<5+4,能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为6;②选7(3+4＝7)，6，2作为三边长,6－2<7<6+2,能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为7;③选10(4+6＝10)，2，3作为三边长,2+3<10,不能构成三角形,此种情况不成立;
④选8(6+2＝8)，3，4作为三边长,3+4<8,不能构成三角形,此种情况不成立.综上所述,任意两个螺丝钉间的距离的最大值为7.
5、若学生甲、乙两家到学校的直线距离分别是5 km和3 km.那么学生甲、乙两家的直线距离不可能是（　　）
A.1 km B.2 km C.3 km D.8 km
【答案】A
【解析】
当甲、乙两家和学校在一条直线上时，甲、乙两家的直线距离为2 km或8 km，
当甲、乙两家和学校不在一条直线上时，
设甲、乙两家的直线距离为x km，
根据三角形的三边关系得5-3即2所以甲、乙两家的直线距离可能为3 km.
故甲、乙两家的直线距离不可能是1 km.
6、已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A.5 B.6 C.11 D.16
【答案】C
【解析】设此三角形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
7、下列四组数均为线段的长度，可以构成三角形的是（　　）
A.2，3，5 B.1，5，7 C.2，6，8 D.3，4，5
【答案】D
【解析】A、2+3＝5，长度是2、3、5的三条线段不能构成三角形，故A不符合题意；
B、1+5＜7，长度是1、5、7的三条线段不能构成三角形，故B不符合题意；
C、2+6＝8，长度是2、6、8的三条线段不能构成三角形，故C不符合题意；
D、3+4＞5，长度是3、4、5的三条线段能构成三角形，故D符合题意．
故选：D．
8、若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足|a-2|+（b-1）2=0，则第三边长c的值可以是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
∵a，b满足|a-2|+（b-1）2=0，
∴a-2=0，b-1=0，
∴a=2，b=1.
∵a，b，c为三角形的三边长，
∴2-1∴第三边长c的值可以是2.
9、如图，已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为(　　)
A.8 B.2 C.16 D.4
【答案】A
【解析】∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴DE，DF，EF都是△ABC的中位线，
∴DF＝AC，DE＝BC，EF＝AB，
∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝(BC＋AC＋AB)＝×16＝8.
10、如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是________.
【答案】三角形具有稳定性
【解析】制造多个三角形，增加桥梁稳定性.
11、用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5cm，则另两边的长度分别是　　　　　　　cm．
【答案】7.5和7.5
【解析】当腰为5cm时，底边长为20-5-5=10(cm)，
而5+5=10，不符合三角形三边的关系，故舍去；
当底边长为5cm，腰长为20-5)=7.5(cm)，
综上所述，能围成有底边长是5cm，腰长为7.5cm的等腰三角形，
故答案为：7.5和7.5．
12、如果不等边三角形的三边长分别是2、7、x﹣1，那么整数x的取值是 　　．
【答案】7，8，9．
【解析】∵不等边三角形的三边长分别是2、7、x﹣1，
∴7﹣2＜x﹣1＜7+2，
解得6＜x＜10，
∴整数x的取值是7，8，9．
故答案为：7，8，9．
13、已知△ABC的三条边长均为整数，其中两边长分别是2和5，第三边长为奇数，则此三角形的周长为 　　．
【答案】12．
【解析】∵一个三角形的两边长分别为2和5，
∴5﹣2＜第三边长＜5+2，
解得：3＜第三边长＜7，
∵第三边长为奇数，
∴第三边长为5，
∴三角形的周长为2+5+5＝12，
故答案为：12．
14、已知△ABC的三条边长为3x，x﹣1，7，则x的取值范围是 　 　．
【答案】2＜x＜3．
【解析】根据题意得到：，
∴2＜x＜3．
故答案为：2＜x＜3．
15、在△ABC中，设边BC＝a，AC＝b，AB＝n，其中a，b（a＜b）是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个实数根．
（1）求a，b的值．
（2）若a，b，n这三个数的平均数，仍小于n，求n的取值范围．
【答案】解：（1）化简得，（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∵a＜b，
∴a＝3，b＝4；
（2）在△ABC中，a+b＞n，即n＜7，
∵a，b，n这三个数的平均数，仍小于n，
∴，
解得，
故n的取值范围为．
16、如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为xcm．
（1）求第三边x的范围；
（2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
【答案】解：（1）∵三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，
∴9-2即7（2）由（1）知，7∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为9cm，
∴三角形的周长为20cm．
【知识点3】三角形内角和定理
1、在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【答案】A
【解析】∵∠A＝50°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣80°＝50°．
故选：A．
2、如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（　　）
A.120° B.118° C.116° D. 114°
【答案】D
【解析】如图所示，连接AD，
由题意可得∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，∠BAC＝180°﹣67°﹣56°＝57°，
则∠EAF＝∠EAB+∠DAB+∠DAC+∠FAC＝2（∠DAB+∠DAC）＝2∠BAC＝2×57°＝114°.
故选：D．
3、如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度．
A.90 B.60 C.50 D.40
【答案】C
【解析】在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故选：C．
4、如图所示，能利用图中作法：过点A作BC的平行线，证明三角形内角和是180°的原理是(　　)
A.两直线平行，同旁内角互补
B.两直线平行，内错角相等
C.内错角相等，两直线平行
D.两直线平行，同位角相等
【答案】B
【解析】根据题意得EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵∠EAB＋∠BAC＋∠CAF＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.
5、如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2=130°，则∠A=(　　)
A.50° B.60° C.65° D.70°
【答案】C
【解析】如图，
∵把△ABC的一角折叠，
∴∠3=∠4，∠5=∠6，
∵∠1+∠3+∠4=180°，∠2+∠5+∠6=180°，
∴∠1+∠2+2∠4+2∠6=360°，
∵∠1+∠2=130°，
∴2（∠4+∠6）=360°-130°=230°，
∴∠4+∠6=115°，
∴∠A=180°-（∠4+∠6）=180°-115°=65°，
故选：C．
6、在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝55°，则△ABC为（　　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定
【答案】A
【解析】∵∠A＝45°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣55°＝80°，
故△ABC是锐角三角形，
故选：A．
7、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是（　　）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】C
【解析】∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠BOD＝80°，∠B＝∠D＝50°，
∴∠BOA＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA＝80°﹣30°＝50°．
8、如图，在中，是角平分线，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵是角平分线，且，
∴，
∵，，
∴．
故选C．
9、如图，锐角中，，要作的高线，下列说法正确的是（ ）
甲的作法： 乙的作法： 丙的作法
A.只有甲对
B.只有乙和丙对
C.只有甲和丙对
D.甲，乙，丙都对
【答案】D
【解析】
∵甲的作法是做的垂直平分线
∴
∵
∴
则甲对；
∵乙的作法：作的垂直平分线，且以为直径作圆
∴
∴
则乙对；
丙的作法是作
∴
则丙对；
故选：D．
10、若△ABC三个角的大小满足条件∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠B的大小为（　　）
A.30° B.60° C.90° D.120°
【答案】B
【解析】∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，
根据三角形内角和定理得x+2x+3x＝180，
解得：x＝30，
∴∠B＝2x°＝60°，
故选：B．
11、如图，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A＝72°，则∠D﹣∠E＝　　°．
【答案】36．
【解析】∵∠A＝72°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣72°＝108°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）108°＝72°，
∠DBC+∠DCB（∠ABC+∠ACB）108°＝36°，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣36°＝144°；
∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣72°＝108°，
∴∠D﹣∠E＝144°﹣108°＝36°．
故答案为：36．
12、将一副直角三角板按如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的大小为　　　　　.
【答案】
75°
【解析】
如图，∵∠2=60°，∠3=45°，
∴∠1=180°-∠2-∠3=75°.
13、三角形的内角度数的比是1：2：6，这个三角形是 　　三角形．
【答案】钝角．
【解析】∵一个三角形的三个内角的度数和为180°，三角形的内角度数的比是1：2：6，
∴三角形的三个内角度数分别为：
，，，
∴这个三角形为钝角三角形．
故答案是：钝角．
14、已知如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______.
【答案】36°
【解析】设∠A＝∠ABD＝x°,∠ABC＝∠C＝∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°,
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°,∴x+2x+2x＝180,解得x＝36,∴∠A＝36°.
15、如图，△ABC中，∠B=2∠C，AE平分∠BAC．
（1）若AD⊥BC于D，∠C=35°，求∠DAE的大小；
（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C=2∠FEC．
【答案】（1）解：∵∠C=35°，∠B=2∠C，
∴∠B=70°，
∴∠BAC=75°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=37.5°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=55°，
∴∠DAE=55°-37.5°=17.5°；
（2）证明：过点A作AD⊥BC于点D，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AED+∠FEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠FEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=（180°-3∠C）=90°-∠C，
∵∠DAE=∠DAC-∠EAC，
∴∠DAE=∠DAC-（90°-∠C）=90°-∠C-90°+∠C=∠C，
∴∠FEC=∠C，
∴∠C=2∠FEC．
方法二：延长FE交AB的延长线于点M，可得∠C=2∠FEC．
16、如图，在△ABC中，∠BAC＝68°，∠B＝36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数．
【答案】解：∵∠BAC＝68°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD68°＝34°．
∵∠B＝36°，
∴∠ADB＝180°﹣34°﹣36°＝110°．
17、如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且
(1)若，请直接写出的度数；
(2)已知，，求的周长．
【答案】（1）解：∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
的周长是．
18、（1）如图①，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①中△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1+∠2____∠B+∠C（填“>”“<”“＝”），当∠A＝40°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝________;
（3）图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，则x°+y°＝360°－（∠B+∠C+∠1+∠2）＝360°－________＝________，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为________．
【答案】解：（1）．
理由如下：在△ADE和△ABC中，由三角形内角和定理，得，
，
所以．
（2）由折叠知识及（1）得．
当时，，所以．
（3）由（2）得当时，，
所以，
所以，
猜想．
【知识点4】三角形的外角的性质
1、如图，∠CDB＝155°，∠C＝115°，则∠A的度数是（　　）
A.30° B.35° C.40° D.50°
【答案】C
【解析】由题意可知：∠CDB＝∠C+∠A，
∵∠CDB＝155°，∠C＝115°，
∴∠A＝155°﹣115°＝40°，
故选：C．
2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为(　　)
A.30° B.45° C.50° D.65°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠APC为△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．
3、如图所示，∠α的度数是（　 　）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
【答案】A
【解析】如图，
∠1＝30°+20°＝40°+∠α，则∠α＝10°.
4、如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（　　）
A.40° B.45° C.50° D.55°
【答案】C
【解析】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD∠ACD＝50°，
故选：C．
5、如图，点C在直线l1上，点A，D在直线l2上，∠CAD的平分线AB交直线l1 于点B，且CA＝CB．若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A.20° B.30° C.40° D.60°
【答案】C
【解析】∵∠CAD的平分线AB交直线l1 于点B，∠1＝20°，
∴∠BAC＝∠1＝20°，
∴CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝20°，
∴∠2＝∠ABC+∠BAC＝40°，
故选：C．
6、如图，在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B.
7、如图，将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（　　）
A.75° B.95° C.100° D.105°
【答案】D
【解析】∵∠ACO＝45°﹣30°＝15°，
∴∠AOB＝∠A+∠ACO＝90°+15°＝105°．
故选：D．
8、如图所示，共有等腰三角形（　　）
A.4个 B.5个 C.3个 D.2个
【答案】B
【解析】根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，
根据三角形的外角的性质，得
∠AOB＝∠COD＝72°．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．
故选：B．
9、如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于(　　)
A.30° B.35° C.40° D.42°
【答案】C
【解析】∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD＝∠C+∠A；
∵∠A＝30°，∠APD＝70°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝40°；
∴∠B＝∠C＝40°．
故选：C．
10、如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BDC＝　 　度，∠BOC＝　 　度．
【答案】78 110
【解析】∵∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABO＝78°，
∴∠BOC＝∠BDC+∠ACO＝110°．
11、如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝　 　°．
【答案】66
【解析】如图，连接OC，OD，
∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴OB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝68°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝22°，
∴∠BOD＝2∠BAF＝44°，
∵＝2，
∴∠COA＝2∠BOD＝88°，
∴∠CDA＝，
∵∠DEB是△AED的一个外角，
∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝66°.
12、如图所示，，，，，，则 ．
【答案】/度
【解析】∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13、如图所示，点A、B、C是O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO、CO，并延长线段BO交线段AC于点D．若∠A＝60°，∠OCD＝40°，则∠ODC＝　 　度．
【答案】80
【解析】在⊙O中，∠BOC＝2∠A＝2×60°＝120°，
∴∠ODC＝∠BOC﹣∠OCD＝120°﹣40°＝80°．
14、如图，是的外角，若，，则的度数为 ．
【答案】75
【解析】 根据题意得：，
，，
，
故答案为：75．
【解析】 根据题意得：，
，，
，
故答案为：75．
15、如图，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，CE⊥BD交BD的延长线于点E．
求证：∠DCE＝∠CAD．
【答案】证明：如图，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴，，，
在△ABC中，
，
∴，
∵∠EDC是△BCD的一个外角，
∴，
∴，
∵CE⊥BE，
∴，
∴，
∴∠DCE＝∠CAD.
16、如图，在△ABC中，∠ABC=82°，∠C=58°，BD⊥AC于点D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB.
【答案】
解　∵∠CAB=180°-∠ABC-∠C，
而∠ABC=82°，∠C=58°，
∴∠CAB=40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DAF=20°，
∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=90°，
∴∠AFB=∠ADB+∠DAF=90°+20°=110°.
17、探究：
如图①，在四边形ABDC中，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；
应用：
如图②，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX= 度；
拓展：
如图③，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=100°，∠BDC=150°，则∠BEC=＿＿＿＿＿度．
【答案】解：探究：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，理由如下：
如图，连接AD并延长至点 F，
由三角形外角的性质可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；
应用：由探究的结论可知∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=50°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=40°，
故答案为：40；
拓展：由探究可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠ABE+∠ACE=∠BEC，
∵∠BAC=100°，∠BDC=150°，
∴∠ABD+∠ACD=50°，
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠ABE=∠ABD，∠ACE=∠ACD，
∴∠ABE+∠ACE=∠ABD+∠ACD=（∠ABD+∠ACD）=25°，
∴∠BEC=100°+25°=125°，
故答案为：125．
18、如图1所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．
（1）试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系．
（2）如图2所示，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，你在（1）中探索得到的结论是否还成立？并说明理由.
【答案】解：（1）∵，∴．
∵，
∴．
∴.
又∵，∴．
∴．
（2）当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，（1）中探索所得的结论仍成立，理由同（1）．
【知识点5】三角形中的重要线段
1、如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵点D，E分别为的中点，
∴为的中位线，
∴.
故选：C．
2、如图，在三角形中，，为的中点，延长交于．为上的一点，于．下列判断正确的有（ ）
（1）是三角形的角平分线．
（2）是三角形边上的中线．
（3）为三角形边上的高．
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【答案】A
【解析】①根据三角形的角平分线的概念，知是三角形的角平分线，是三角形的角平分线，故此判断错误；
②根据三角形的中线的概念，知是三角形边上的中线，故此判断错误；
③根据三角形的高的概念，此判断正确．
故选：A．
3、画△ABC的边AC边的高，正确的是　　
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A．此图形中AD是BC边上的高，不符合题意；
B．此图形中CD不是AC边上的高，不符合题意；
C．此图形中BD不是AC边上的高，不符合题意；
D．此图形中BD是AC边上的高，符合题意；
故选：D．
4、如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A. B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∵是中线，
∴.
5、如图，△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，E是AC的中点，BC＝3BD，BE与AD相交于F，S△ABD＝2，S△BFD＝0.5，则四边形FDCE的面积为（　　）
A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】∵BC＝3BD，S△ABD＝2，
∴S△ABC＝3S△ABD＝6，
∵E是AC的中点,即CE＝AC，
∴S△BCE＝S△ABC＝3，
∴S四边形FDCE＝S△BCE S△BFD＝2.5.
故选：B.
6、如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点，过点作于点，延长交于点．下面说法错误的是（ ）
A.是的角平分线
B.是的高
C.是的高
D.是的中线
【答案】D
【解析】
A、，
是的角平分线，本选项说法正确，不符合题意；
B、，
是的边上的高线，本选项说法正确，不符合题意；
C、，，
是的角平分线和高线，本选项说法正确，不符合题意；
D、为的中点，
是的边上的中线，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
7、如图，AE⊥BC交BC的延长线于点E，BF⊥AC交AC的延长线于点F，CD⊥AB于点D，则在△ABC中，AC边上的高是（　　）
A.AE B.CD C.BF D.AF
【答案】C
【解析】∵BF⊥AC交AC的延长线于点F，
∴在△ABC中，AC边上的高是BF，
故选：C．
8、如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为20，则四边形ADEF的面积为（　　）
A.10 B.9 C.8.5 D.7.5
【答案】D
【解析】∵点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴S四边形ADEF＝S△AFD+S△DEF＝7.5，
故选：D．
9、如图,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N,若MN＝3 米,则AB等于(　　)
A.4 米　 B.6 米　 C.8 米　 D.10 米
【答案】B
10、如图所示，中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则的面积是（ ）
A.25 B.30 C.35 D.40
【答案】B
【解析】如图，
∵，同高，
，
，
是的中点，
∴同理可知，
又，，
，
．
故选：B．
11、在中，，，，分别是的中点，则的周长为______．
【答案】9
【解析】∵，，，分别是的中点，
∴，
∴的周长.
12、如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD的面积是_______.
【答案】2
13、如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　 　．
【答案】9°．
【解析】∵∠B＝46°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD∠BAC＝35°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝44°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝44°﹣35°＝9°，
故答案为：9°．
14、如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______．
【答案】24
【解析】∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴.
15、在锐角△ABC中，AD，BE分别为△ABC的BC边上的中线和∠ABC的平分线，AD=BE，且AD⊥BE，则=　　　　　.
【答案】
【解析】
如图，过点D作DF∥BE，交AC于点F，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，即CD=BD=BC，
∵DF∥BE，
∴∠CFD=∠CEB，∠CDF=∠CBE，
∴△CFD∽△CEB，
∴===，
∴CF=EF，
∵AD⊥BE，DF∥BE，
∴FD⊥AD，即∠ADF=90°，
∵BE=AD，
∴AD=2FD，
设FD=x，则AD=2x，BE=2x，
由勾股定理得AF==x，
∵BE为△ABC的角平分线，
∴∠ABM=∠DBM，
又∵∠DMB=∠AMB=90°，BM=BM，
∴△ABM≌△DBM（ASA），
∴AM=DM，即AM=AD，AB=BD，
∵DF∥BE，
∴∠AEM=∠AFD，∠AME=∠ADF，
∴△AEM∽△AFD，
∴===，
∴AE=EF，EM=x，AM=AD=x，∴BM=BE-EM=x，由勾股定理得AB==x，
∴BD=AB=x，
∴BC=2BD=x，
∵CF=EF=AE，
∴AC=AF=x，
∴==.
16、已知：．
（1）尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
【答案】解：（1）如图所示.
（2）∵是的重心，根据中位线定理和相似三角形对应边成比例，
可得,
∴,
∵的面积等于，
∴,
又∵是的中点，
∴,
故答案为：．
17、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)证明　∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB.
(2)解　CD＝ED.理由如下，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
∵由(1)得∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED.
18、如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm.试求：
(1)AD的长；
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】解　(1)∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，
∵AD是边BC上的高，
∴AB·AC＝BC·AD，
∴AD＝＝＝4.8(cm)，
∴AD的长度为4.8 cm.
(2)方法一　∵△ABC是直角三角形，
∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm，
∴S△ABC＝AB·AC＝×6×8＝24(cm2)，
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
∴BE·AD＝EC·AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△ABE＝S△ABC＝12(cm2)，
∴△ABE的面积是12 cm2.
方法二　∵BE＝BC＝5(cm)，
由(1)知AD＝4.8(cm)，
∴S△ABE＝BE·AD＝×5×4.8＝12(cm2)，
∴△ABE的面积是12 cm2.
(3)∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm)，
∴△ACE和△ABE的周长的差是2 cm.
19、如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD＝CE时，求证：DEFG是矩形．
【答案】证明：（1）∵BD和CE是△ABC的中线，
∴点E和点D分别为AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE．
同理可得，FG∥BC，FG，
∴DE∥FG，DE＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）∵△ABC的中线BD，CE交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴BO＝2OD，CO＝2OE．
又∵点F，G分别是OB，OC的中点，
∴OF＝FB，OG＝GC，
∴DF．
∵BD＝CE，
∴DF＝EG．
又由（1）可知四边形DEFG是平行四边形，
∴平行四边形DEFG是矩形．
20、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠EAD的度数．
【答案】解：由三角形的内角和可知：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AD⊥BC，AE平分∠BAC，
∴，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝70°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝20°．
【知识点6】三角形中内、外角与角平分线的规律总结
1、如图，在△ABC中，∠A＝65°，点O是△ABC两内角平分线的交点，则∠BOC等于(　　)
A.130° B.115° C.57.5° D.122.5°
【答案】D
【解析】∵∠A＝65°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－65°＝115°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠CBO＋∠BCO＝(∠ABC＋∠ACB)＝×115°＝57.5°，
∴∠BOC＝180°－(∠CBO＋∠BCO)＝180°－57.5°＝122.5°.
2、如图所示，点E到△ABC三边的距离相等，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N．若BM+CN＝2023，则线段NM的长为（　　）
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
【答案】C
【解析】∵点E到△ABC三边的距离相等，
∴BE，CE为△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵MN∥BC，
∴∠2＝∠5＝∠1，∠6＝∠3＝∠4，
∴BM＝ME，CN＝EN，
∴NM＝ME+EN＝BM+CN＝2023；
故选：C．
3、如图，在△ABC中， ∠A＝80°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1； ∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……； ∠A7BC与∠A7CD的平分线相交于点A8，得∠A8，则∠A8的度数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
由三角形的外角性质∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∴（∠A+∠ABC）＝∠A1+∠A1BC＝∠A1+∠ABC，
整理得∠A1＝∠A＝×80°＝40°，
同理可得∠A2＝∠A1＝×40°＝20°；
……
其规律为∠An＝∠A＝．
当n＝8时，A8＝∠A＝＝.
故选C.
4、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）
A.40° B.45° C.50° D.60°
【答案】C
【解析】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选：C．
5、如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角的平分线,如果∠ABP＝20°,∠ACP＝50°,则∠A+∠P等于(　　)
A.70° B.80° C.90° D.100°
【答案】C
【解析】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角的平分线,∠ABP＝20°,∠ACP＝50°,
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°,∠ACM＝2∠ACP＝100°,
∴∠A＝∠ACM－∠ABC＝60°,∠ACB＝180°－∠ACM＝80°,
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°,
∵∠PBC＝∠ABP＝20°,∴∠P＝180°－∠PBC－∠BCP＝30°,∴∠A+∠P＝90°.
6、如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An，点E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC的平分线与∠ACE的平分线交于点M，设∠BAC＝α．下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C.∠M+∠A1的值为定值
D.∠M﹣∠A1的值为定值
【答案】C
【解析】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）∠ABC+∠A1，
∴∠A1∠BAC，
又∵∠BAC＝α，
∴∠A1；
同理可得∠A2∠A1，
∠A3∠A2，
……
∴∠An，故A、B错误；
∵EM平分∠AEC，CM平分∠ACE，
∴∠MEC∠AEC，∠MCE∠ACE，
∵∠M＝180°﹣（∠MEC+∠MCE），
∴∠M＝180°（∠AEC+∠ACE），
∵∠BAC＝∠AEC+∠ACE，
∴∠M＝180°∠BAC，
而∠A1∠BAC，
∴∠M+∠A1＝180°∠BAC∠BAC＝180°，
∴∠M+∠A1的值为定值，其值是180°，故C正确，D错误，
故选：C．
7、如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD，CD相交于点D．若∠A＝80°，则∠D等于（　　）
A.30° B.40° C.50° D.55°
【答案】B
【解析】∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．
∴∠DBC＝2∠D．
∵∠A＝80°，
∴．
故选：B．
8、如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，给出下列结论：其中错误的是（　　）
A.∠1＝2∠2
B.∠BOC＝3∠2
C.
D.∠BOC＝90°+∠2
【答案】B
【解析】A．∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴，，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
则，
∴∠1＝2∠2，故A正确，不符合题意；
B．C．D：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
则，，
则∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）90°+∠2，
故选项C、D不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
9、如图，AC⊥BD，AF平分∠BAC，DF平分∠EDB，∠BED＝100°，则∠F的度数为　　．
【答案】85°
【解析】如图，延长AF交BD于H，
∵∠BED＝100°，
∴∠ABD+∠BDE＝80°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴2∠ABD+∠BDE+∠BAC＝170°，
∵AF，DF分别平分∠BAC，∠BDE，
∴∠BAC＝2∠BAH，∠BDE＝2∠FDB，
∵∠AFD＝∠AHD+∠FDB，∠AHD＝∠ABC+∠BAH，
∴∠AFD＝∠ABC+∠BAH+∠BDF＝∠ABC+∠BAC+∠BDE＝85°．
10、如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABC；④∠BDC∠BAC．其中正确的结论有 　　（填序号）．
【答案】①②④
【解析】∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC∠EAC，∠DCA∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°（∠EAC+∠ACF）
＝180°（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°（180°+∠ABC）
＝90°∠ABC，∴③错误；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，∴④正确；
故答案为：①②④
11、如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．(用含α的式子表示)
【答案】
【解析】∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
，
…
∴，
故答案为：．
12、探究一：
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝64°，BP，CP分别是两个内角∠ABC，∠ACB的角平分线，则∠P＝　　度．
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝70°，BP，CP分别是两个外角∠CBD，∠BCE的角平分线，则∠P＝　　度．
探究二：
如图3，在△ABC中，BP是三角形内角∠ABC的角平分线，CP是外角∠ACD的角平分线．请说明∠P和∠A之间的数量关系？并证明你的结论．
【答案】解：探究一：（1）∵在△ABC中，∠A＝64°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝116°，
∵BP，CP分别是两个内角∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：122；
（2）∵在△ABC中，∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∴∠CBD+∠BCE＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝250°，
∵BP，CP分别是两个外角∠CBD，∠BCE的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：55；
探究二：∠A＝2∠P，证明如下：
∵在△ABC中，BP是三角形内角∠ABC的角平分线，CP是外角∠ACD的角平分线，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACD＝2∠PCD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴2∠PCD＝∠A+2∠PBC，2∠PCD＝2∠PBC+2∠P，
∴∠A＝2∠P．
13、阅读下面的材料，并解决问题．
已知在中，，图1－图3的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数．
(1)如图1，______；如图2，______；如图3，______；
(2)如图4，，的三等分线交于点，，连接，求．
【答案】（1）解：如图1，

∵平分，平分
∴，
∴
∴；
如图2，
∵平分，平分
∴，
∵
∴
∵
∴；
如图3，

∵平分，平分
∴，
∴
∴；
故答案为：，，．
（2）如图4，

∵，的三等分线交于点，
∴，，平分，平分，
则平分，
∴
∴
∴．
14、如图1，已知BD是△ABC的内角∠ABC的平分线，CD是△ABC外角∠ACE的平分线，且BD与CD相交于点D．
（1）若∠A＝50°，则∠D的度数是 　 　．
（2）若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠D的度数，并写出推导过程．
（3）在（2）的条件下，如图2，若BD1，BD2 BDn分别是∠ABC，∠D1BC…的角平分线，CD1，CD2， CDn分别是外角∠ACE，∠D1CE，…∠Dn﹣1CE的平分线，请直接写出∠Dn的度数．（用含a的式子表示）
【答案】解：（1）∵BD是△ABC的内角∠ABC的平分线，CD是△ABC外角∠ACE的平分线，
∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE，
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D，
即2∠DCE＝∠ABC+∠A，
∴2（∠DBC+∠D）＝∠ABC+∠A，
∴∠ABC+2∠D＝∠ABC+∠A，
∴∠D∠A，
当∠A＝50°时，∠D50°＝25°；
故答案为：25°；
（2）∵BD是△ABC的内角∠ABC的平分线，CD是△ABC外角∠ACE的平分线，
∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE，
∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D，
即2∠DCE＝∠ABC+∠A，
∴2（∠DBC+∠D）＝∠ABC+∠A，
∴∠ABC+2∠D＝∠ABC+∠A，
∴∠D∠A，
当∠A＝α时，∠Dα．
（3）由（1）得∠D1α，
同理可得∠D2∠D1＝（）2α，
∠D3∠D2＝（）3α，
所以∠Dn的度数为（）nα．
15、认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究一：如图1，在中，已知是与的平分线和的交点，通过分析发现
，理由如下：
和分别是和的角平分线
，
（1）探究2：如图2中，已知是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？并说明理由．
（2）探究3：如图3，已知是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）结论：　　．
（3）拓展：在四边形中，已知是与的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）结论：　 　．
【答案】
解：（1）探究2结论：．
理由如下：和分别是和的角平分线，
，，
又是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
即；
（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，，，
在中，，
，
，
；
（3），
在中，．
16、如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB∶∠CNB＝3∶2，求∠CAB的度数．
【答案】解：由题意得∠NCM＝∠NBM＝90°，∠CMB+∠CNB＝360°－90°－90°＝180°，
又∠CMB∶∠CNB＝3∶2，∴∠CMB＝108°，∴∠MCB+∠MBC＝180°－108°＝72°，
∴∠ACB+∠ABC＝144°，∴∠CAB＝180°－144°＝36°.
另解：∵点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，
∴∠CMB＝90°+∠CAB，∠CNB＝90°－∠CAB，
∴（90°+∠CAB）∶（90°－∠CAB）＝3∶2，解得∠CAB＝36°.
17、如图①，在中，与的平分线相交于点P．

(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段、交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
【答案】 （1）解：．
，
∵点P是和的平分线的交点，
；
（2）∵外角，的角平分线交于点Q，
，
，
，
，
；
（3）延长至F，

为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即；
，
，
．
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，的度数是或或．
【知识点7】三角形的稳定性
1、如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（　　）
A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短 C.同角的余角相等 D.三角形具有稳定性
【答案】D
2、空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　）
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
【答案】A
【解析】
钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性.
3、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的根数为（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】
如图所示，
要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1根木条.
4、如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是（　　）
A.两点之间的所有连线中线段最短
B.三角形具有稳定性
C.经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D.在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
【答案】B

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