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第零章 物理竞赛常用数学工具
0.1 矢量
高中物理强基计划
1
1.矢量和标量
（1） 标量： 仅用数值就可以描述的物理量 ， 如时间、质量、 路程、 能量、 电荷量。
（2）矢量： 既有大小也有方向 ，加法运算遵循平行四边形定则的物 理量。 如速度、 力、 电场强度。
2.矢量几何表示
3.矢量坐标表示
一、矢量的表示
a
→
2
若 = + b，
则 = x1 +x2, y1 +y2
C

C

n 平行四边形定则/三角形定则：已知 = x1, y1 , b = x2, y2 ，
二、矢量的运算
1.矢量的加减
3
与b的夹角为α,记 C = b，则
n 坐标表示： C = x1x2, y1y2
n 几何表示： C = abcos α
n 几何意义： 矢量a和其在矢量b上“投影”的乘积，矢量a在矢量b上的累积
（1）矢量点乘（内积/数量积）： 已知 = x1, y1 , b = x2, y2 ，
二、矢量的运算
2.矢量的乘法
4
×
2.矢量的乘法
（2）矢量叉乘（外积/向量积）： 已知 = x1, y1 , b = x2, y2 ， 与b的夹角为α,记 = × b ， 则
n 坐标表示： C = x1y2 x2y1 ， 方向满足从 到b的右手定则
n 几何表示： C = absin α
n 几何意义： 矢量a和b围成的平行四边形的面积 注意： × b ≠ b × , × b × ≠ b ×
C

C

C

二、矢量的运算
5
1.标量
（1） 一般标量
（2） 矢量点乘定义的标量 2.矢量
（1） 一般矢量
（2）矢量叉乘定义的矢量
三、物理量的分类
6
一、 矢量的表示
1.几何表示
2.坐标表示
二、矢量的运算 1.矢量的加减
2.矢量的点乘、叉乘 三、物理量的分类 1.标量
2.矢量
小结
7
第零章 物理竞赛常用数学工具
0.2 三角函数
2024.10.12
高中物理强基计划
8
（1）正弦 （2）余弦 （3）正切 （4）余切 （5）正割 （6）余割
tan θ =
一、 常见三角函数
1.三角函数
r = 1
9
一、 常见三角函数
2.三角函数的图像
10
3.反三角函数
（1） 反正弦 arcsin x
（2）反余弦 arccosx
（3）反正切 arctan θ
（4）反余切 arccot θ
一、 常见三角函数
二、三角函数的运算
2.同角诱导公式：奇变偶不变， 符号看象限
1.三角恒定式
12
二、三角函数的运算
3.和差角公式：
13
二、三角函数的运算
4.倍角和半角公式
14
二、三角函数的运算
5.和差化积与积化和差公式
15
二、三角函数的运算
6.辅助角公式
16
二、三角函数的运算
7.反三角函数
arctan x =- arctan x
17
b
C
三、解三角形
1.正弦定理和余弦定理
a C
B
A
18
一、常见的三角函数
1.三角函数
2.三角函数的图像
3.反三角函数
二、三角函数的运算
1.三角恒等式 2.同角诱导公式 3.和差角公式 4.倍角和半角公式 5.和差化积与积化和差公式 6.辅助角公式 7.反三角函数
三、 解三角形 1.正弦定理和余弦定理
小结
19
第零章 物理竞赛常用数学工具
0.3 微积分
2024.10.12
高中物理强基计划
20
1.（函数）极限的含义
（1）自变量趋近有限值时函数的极限
设函数f x 在点x0 的某一去心领域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε,都 δ > 0，使 f x a < ε在 x x0 ∈ 0, δ 时恒成立，那么常数a就叫做函数f x 当x → x0 时的极限，记做
（2）自变量趋近无穷值时函数的极限
设函数f x 当 x 大于某一正数时有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε,都 M > 0，使 f x a < ε在 x ∈ M, ∞ 时恒成立，那么常数a就叫做函数f x 当x → ∞时的极限，记做
一、极限
21
2.极限的运算
lim f x ± g x = limf x ± limg x
lim f x g x = limf x limg x
一、极限
22
3.无穷小
（1）定义：如果当x → x0 时（或x → ∞时），f x → 0 ，即
则称f x 为x → x0 时（或x → ∞时）的无穷小。
（2）无穷小的比较：如果 α = 0 ， β = 0，
若 = 0 ，那么β是比α较高阶的无穷小。
若 = ∞ , 那么β是比α较低阶的无穷小。
若 = c ≠ 0 ，那么β是与α同阶的无穷小。若c = 1，那么β是与α等价的无穷小，记做α~β。
可以证明， x → 0时，x~ sin x ~ tan x ~arcsinx~arctanx~ ln x + 1 ~ex 1
一、极限
23
1.导数
（1）导数的定义：设函数f x 在点x0 的某邻域u x0 内有定义，若极限
存在，则称f在x0处可导，并称该极限为函数f在x0处的导数，记为f′ x0 （2）导数的几何意义：函数的曲线上的切线斜率。
2.导函数：若函数f x 在区间I上处处可导，则可定义一个在I上的函数，称为
f在I上的导函数，简称导数，记为f′ ，y ′ 或 ，即
二、导数与微分
24
2.基本初等函数的导数
（1） C ′ = 0 （3） sin x ′ = cos x （5） tan x ′ = sec2 x （7） sec x ′ = sec xtanx （9） a x ′ = ax lna（a > 0， a ≠ 1） （11） （13） （15）
（2） x μ ′ = 0
（4） cos x ′ = sin x
（6） cot x ′ = csc2 x
（8） csc x ′ = csc x cot x
（10） ex ′ = ex
（12）
（14）
（15）
二、导数与微分
25
3.函数和、差、积、 商的求导法则
设u = u x ，v = v x 都可导，则
（1） u ± v ′ = u ′ ± v ′ . （2） Cu ′ = Cu′
（3） ′ = u ′ v + uv′
4.反函数的求导法则
设x = f y 在区间Iy 内单调、可导且f′ y ≠ 0，则它的反函数y = f 1 x 在
Ix = f Iy 内也可导，且
二、导数与微分
26
5.复合函数求导法则 （1）复合函数求导法则 设y = f u ，而u = g x 且f u 和g x 都可导，则复合函数y = f g x 的导数为 （2）对数求导法 如果有y = uv （u、 v都是x的函数） ，对原函数两边取对数，有 lny = vlnu
两边对x求导 ，有 ln u ，故完整内容 ，关注【九零物理】 27
二、导数与微分
一般地，函数y = f x 的导数y′ = f ′ x 仍然是x的函数，我们把y′ = f ′ x 的导数叫
做函数y = f x 的二阶导数，记做y′′ 或 ，即
y ′′ = ′ 或
28
6.隐函数求导法则
（1）隐函数
如果x和y的关系是由一个方程F x ，y = 0确定，我们称y是x的隐函数。 F x ，y =
0两边对x求导，得
7.高阶导数
二、导数与微分
8.参数方程确定的函数求导
一般地，若参数方程
有
、 称为相关变化率。
二、导数与微分
29
9.函数极值
若函数f x 在x0处具有二阶导数且f′ x0 = 0 ， f ′′ x0 ≠ 0则x0是f x 的一个极值 点。
若f′′ x0 < 0，则f x 在x0处有极大值；
若f′′ x0 > 0，则f x 在x0处有极小值；
连续函数的最值在极值点或区间端点取得。
二、导数与微分
30
10.洛必达法则
若函数f x 和g x 满足
（1） 亦适用）；
（2）在点a的某去心邻域内两者都可导，且g′ x ≠ 0；
（3）
则
二、导数与微分
31
11.泰勒展开式
f x ≈ f 0 + f′ 0 x + x 2 + x 3
常用泰勒展开式
（1） ex = 1 + x + x 2 + + xn + O x n+1
（2）ln 1 + x = x x 2 + x 3 + xn + O x n+1
（3） 1 + x α = 1 + αx + x 2 + + xn + O x n+1
（4） cos x = 1 x 2 + x4 + x 2n + O x 2n+2
（5） sin x = x 3! x 3 + 5! x 5 + 2n+1 ! x 2n+1 + O x 2n+3
二、导数与微分
1 1 1 n
32
12.微分
dy = y ′ dx
对多元函数 ， df =
（1）微元法
dx = vdt
dw = Fdx
二、导数与微分
33
12.微分
（2）近似计算
f x ≈ f x0 + f′ x0 x x0
取x0 = 0，有
f x ≈ f 0 + f′ 0 x
常用近似
x → 0时， 1 + x α ≈ 1 + αx
x → 0时， sin x ≈ tan x ≈ x ≈ ex 1 ≈ ln 1 + x
二、导数与微分
34
12.微分
（3）误差传递
若T = T X, y, z ，则相对误差
如 则9相对误差
二、导数与微分
35
1.不定积分的含义
如果在区间I内，函数F x 的导函数为f x ，即
F ′ x = f x 或 dF x = f x dx
那么F x 称为f x 在区间I内的原函数。
由于常数的导数为零，所以f x 的原函数不止一个， F x + C都是f x 的原函数。
函数f x 在区间I内带有常数项的原函数称为f x 在I的不定积分（简称积分），记为
显然， f x dx ′ = F x ′ = f x ，即积分运算是微分运算的逆运算。
三、不定积分
f x 称为被积函数，x称为积分变量。
36
（1） kdx = kx + C
（3） dx = ln
（7） sin xdx = cos x + C
（11） csc x cot x dx = csc x + C
（13） ax dx =
（4） dx = arctan x + C
（6） cos xdx = sin x + C
（10） sec xtanxdx = sec x + C
（12） exdx = ex + C
三、不定积分
常见不定积分
37
设y = f x 在区间 a, b 上非负、连续，由直线x = a、x = b、y = 0及曲线y = f x 所
围成的面积，记为A，有
其中f xi ≤ f ξi ≤ f xi+1
四、定积分
1.定积分的含义
38
1.定积分的含义
设函数f x 在 a, b 上有界，在 a, b 中插入若干个分点， a = x0 < x1 < … < xn = b ，把区间 a, b 分为n 个小区间， x0, x1 、 x1, x2 、 … 、 xn - 1 , xn ，各个小区间的长度依次为Δx1 = x1 - x0 、Δx2 = x2 - x1 、 … 、Δxn = xn - xn - 1 ，在每个小区间 xi - 1, xi 上任取一点ξi xi - 1 ≤ ξi ≤ xi ，作函数值f ξi 与小区 间长度Δxi 的乘积f ξi Δxi i = 1,2, … , n ，并作出和s = Σ 1 f ξi Δxi ，记λ = max Δx1, Δx2 , … ,Δxn ， 如果当λ → 0时，这和的极限总存在，且与闭区间 a, b 的分法及点ξi 的取法无关，那么称这个极限I为函
数f x 在区间 a, b 上的定积分，记做 f x dx，即
其中f x 叫做被积函数 ，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。
四、定积分
39
2.微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
如果函数F X 是连续函数f X 在区间 a, b 上的一个的原函数，那么
四、定积分
40
3.换元积分法
设函数f ∈ a, b ，如果函数x = φ t 满足：
（1） φ α = a， φ β = b且当t从α变到β时，对应的x从a变到b
（2） φ ′ ∈ a, b 则
换元积分记得换积分区间
四、定积分
41
4.分部积分法
设函数u = u x 、v = v x 在 a, b 上可导，
又 uv ′ dx = uv ，则
通常用于u = u x 的原函数不容易寻找的情形。
a
b
a
b
四、定积分
42
（1） kdx = kx + C
（3） dx = ln
（7） sin xdx = cos x + C
（11） csc x cot x dx = csc x + C
（13） ax dx =
（4） dx = arctan x + C
（6） cos xdx = sin x + C
（10） sec xtanxdx = sec x + C
（12） exdx = ex + C
四、定积分
常见积分
43
（一）含有ax + b的积分
3. dx = ax + b b ln ax + b + C
四、定积分 积分表
44
（一）含有ax + b的积分
（二）含有 ax + b的积分
四、定积分 积分表
45
（二）含有 ax + b的积分
四、定积分 积分表
46
（二）含有 ax + b的积分
（三）含有x2 ± a2 的积分
四、定积分 积分表
47
（四）含有ax2 + b（a > 0）的积分
24.
26. dx =
四、定积分
48
（四）含有ax2 + b（a > 0）的积分
（五）含有ax2 + bx + C（a > 0）的积分
30. dx = ln ax2 + bx + C dx
四、定积分
49
四、定积分
50
四、定积分
51
四、定积分
52
四、定积分
53
四、定积分
54
四、定积分
55
5.定积分的应用
（1）几何应用
求图形面积
求旋转体体积
四、定积分
求曲线弧长
56
5.定积分的应用
（2）物理应用
求变力做功
求转动惯量
求电场强度
四、定积分
57
5.定积分的应用
（2）物理应用
求电流有效值和平均值
求速率分布的三大特征速率
四、定积分
58
常微分方程（ODE）：未知函数是一元函数的微分方程。
偏微分方程（PDE）：未知函数是多元函数的微分方程。
微分方程的解：如果某个函数在区间I上有定义，且满足该微分方程。
微分方程的通解：微分方程的解通常含有若干常数，若常数的个数与微分方程的阶 数相同，则此解是该微分方程的通解。
微分方程的特解：由题目的初始条件确定了通解中常数后所得到的解称为特解。
1.微分方程
含有未知函数的导数的方程。
五、微分方程
59
2.常微分方程求解
（1）变量分离： g y dy = f x dx
即通解为G y = F x + C
五、微分方程
60
2.常微分方程求解
（2）齐次型
引入 则 + u u + x
得 u = x 转化为分离变量类型
五、微分方程
61
2.常微分方程求解
（3）可降阶型
y n = f x ：逐次积分
y ′′ = f x, y ′ ：令y′ = p x
y ′′ = f ：令y′ = p ，得y′′ =
五、微分方程
62
2.常微分方程求解
（4）一阶线性微分方程
导数是一阶，y的次数是 1（线性）。
如果Q X = 0（齐次方程 dX ，通解：y = ce P
如果Q X ≠ 0（非齐次方程），通解： y = ce P X dX + e P X dX Q X e P X dX dX
五、微分方程
63
令 = Ce dX ，则y = u e P 现求解u x 。 u x
应满足 则
= u ′ x e P X dX + u x e P X dX P x ，
P x y = P x u x e P X dX
五、微分方程
= Ce P X dX + e P X dX Q x e P X dX dx
得y = u x e P X dX = e P X dX
推导：（常数变易法）
Q x e P X dX dx + C2
64
2.常微分方程求解
（5）二阶线性微分方程
导数是二阶，y的次数是 1（线性）。若Q x = 0，称为齐次方程。若p x = p， Q x = q，则
y ′′ + py′ + qy = 0
称为二阶常系数齐次线性微分方程。通解：
特征方程r2 + pr + q = 0的两个根r1, r2
微分方程y′′ + py′ + qy = 0的通解
两个不相等的实根r1, r2
y = C1er1 x + C2er2 x
两个相等的实根r1 = r2
y = C1 + C2x er1 x
一对共轭复根r1,2 = α ± βi
y = e αx C1 cos βx + C2 sin βx
五、微分方程
65
一、极限
1.极限的含义 2.极限的运算 3.无穷小
二、导数与微分
1.导数 2.基本初等函数的导数 3.函数的和差积商的求导法则 4.反函数的求导法则 5.复合函数求导法则 6.隐函数的求导法则 7.高阶导数 8.参数方程确定的函数求导 9.函数的极值 10.洛必达法则 11.泰勒展开式 12.微分
三、不定积分
1.不定积分的含义 2.常见的不定积分
小结
66
四、定积分
1.定积分的含义 2.微积分基本定理 3.换元积分法 4.分部积分法 5.定积分的应用
五、微分方程
1.微分方程的含义
2.常微分方程的求解
（1）变量分离 （2）齐次型 （3）可降阶型 （4）一阶线性微分方程
（5）二阶线性微分方程
小结
67
68
第一章 运动学
1.1 质点运动的基本概念
2024.10.12
高中物理强基计划
69
1.机械运动
（1） 速度与加速度是否共线： 直线运动、 曲线运动
（2）物体上任意两点的连线是否始终平行： 平动、 转动
（3） 参考系的不同： 绝对运动和相对运动
一、机械运动、质点、参考系、坐标系
摆线运动/旋轮线/圆滚线
渐开线
70
2.质点
（1） 物体本身尺寸远小于运动空间的尺寸
（2）研究轨迹*
（3） 研究平动* 3.参考系
（1） 运动具有绝对性 （对人是否做功？）
（2）对运动的描述具有相对性。 合理选择参考系可以简化运动学 问题的求解。
一、机械运动、质点、参考系、坐标系
71
【例1.1-1】A 、B两船在海上航行，A船航向东北，船速为U；B船航向正北，船速为
2U；设正午时，A船在B船正北距离l处，如图所示。问：此后何时两船相距最近， 最近距离为多少？
, dmin =
【拓展】何时二者再次相距l？
A
B
北
东
·
·
72
4.坐标系： 定量描述物体相对于参考系的位置
（1） 直角坐标系 （2）自然坐标系 （3） 球坐标系 （4） 极坐标系
一、机械运动、质点、参考系、坐标系
(x, y, Z) (s) (r, θ, φ) (r, α)
73
3.轨迹方程： 不含t的运动方程F x, y, Z = 0
4.位移： 初位置指向末位置的有向线段 = B 5.路程： 质点运动轨迹的长度 S
（1 ） ≤ s（弦长≤弧长）： = AB ， s=
（2 ） ≥ r（第三边≥两边差 r = B
AB
1.位矢： 坐标原点指向质点所在位置的有向线段
直角坐标系中 = Op = x + y + Zk
2.运动方程： = t = x t + y t + Z t k
二、位矢和位移
74
瞬时速度大小=瞬时速率：
平均速度大小≠平均速率：
v
→
v
→
1.平均速度 2.平均速率 3.瞬时速度 4.瞬时速率
三、速度
= v
≠ v
75
【例1.1-3】湖岸MN为一条直线，有一小船自岸边的A点处沿与湖岸成15°角方向匀
速向湖中驶去。有一人自A点同时出发，他先沿岸跑一段再跃入水中游泳去追船。已 知其在岸上跑的速度v1 = 4m/s，在水中游的速度v2 = 2m/s，求船的速度至多为多 大，此人才能追上船？
M
A
N
76
【解法一】设船速为v ，经过t时间人追上船，且人在岸上的运动时间为t1。
有v2 t 2 + 16t12 2vt × 4t1 cos 15° = 4 t t1 2
整理得 + v 2 4 = 0
要想能追上船，则关于 要有实数解，则
解得v ≤ 2 2m/s或v ≥ 2 6 + 2 2 m/s(舍)
M
A
N
77
求导，可得θ = 60°时，v有最大值2 2m/s
B
【解法二】设在B点相遇，AB距离为r ，船速为v ，人在C点跳入水中,∠BCM = θ。
A C
有
M
N
78
T
【解法三】做射线NAT，且∠NAT = 30° , 设在B点相遇，沿不同路径到达B点。
可知BD垂直MT时时间最小，此时V有最大值2 2m/S
提醒：最值必有垂直关系
B
M
A C
N
D
79
1.物理意义：反映速度变化快慢
2.定义： 瞬时加速度
3.方向：与 同方，也与 同向
四、加速度
80
若已知x、 v、 a、 t中任意二者的关系和初始状态 ， 则四者中任意两两关
系可求。
1.若已知 ，则v =
2.若已知 ，则a = 、x = x0 +
3.若已知 ，则v = v0 + dt = v 、x = x0 + 4.若已知v = v 则 即 dx = dt ，得
五、一般直线运动的求解方法
81
【例1.1-4】1.5 一质点在oxy平面内运动,运动方程为x = 3t, y = 8 t2 ,式中x 、y以
米为单位,t以秒为单位。
(1)写出质点在时刻t的位矢和质点的运动轨迹;
(2)计算第二秒内质点的平均速度;
(3)计算质点在1秒末和2秒末的瞬时速度和瞬时加速度。在什么时候质点有最小的速 度
(4)在什么时刻t质点离原点最近 算出这一距离。
82
【思考】若下落时高度为H，求落地时的速度？若H足够大，求物体最终速度？
【例1.1-5】物体自空中静止下落，若受到阻力f = kv ，k为常数，求物体速度关于
时间的关系式？下落距离关于时间的关系式？
83
【例1.1-6】一只蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，其速度与离巢的距离成反比。已知蚂蚁
在离巢L1 ＝1m处的A点时速率为2cm/s。问蚂蚁由A点爬到距离巢中心L2 ＝2m处的B点，
需要多长时间？
故A点到B点的时间： t = × 1 × 100s = 75s
【解法二】易知v = ，k = 0.02m2 /s ，得 ，即 ldl = kdt
两边积分，得 l2 = kt ，得 t = tB tA = 75s
【解法一】 l图象中相应的面积大小可等于对应距离的运动时间 t。
84
【例1.1-6】
85
【例1.1-6】
【答案】
86
,
【例1.1-7】通信战士为了检修位于河中央的固定通信设施，乘动力小船赴目的地。
河的宽度为d,小船以相对河水恒定的速度u在河中航行。河水的流速与河岸的距离成 正比，河岸处的河水流速为0，河中央处的河水流速为v.为了用最短的时间到达目的 地小船从河岸处船头垂直指向正对岸出发。问：
（1）小船经多少时间到达目的地(设小船的长度远小于河的宽度)
（2）小船出发点距目的地上游的距离是多少
提示：小船在各个方向分别做什么运动？
87
【例1.1-8】木排停在河面上固定不动，到岸距离L = 60m,河水的流速与离岸的距离
成正比，在岸边时，河水流速为v0 = 0，在木排处河水流速为vL = 2m/s。小汽船离 岸驶向木排，船对水的速度为v = 2m/s，起航前应使船指向何方，才能使以后无需 校正船速就能靠上与起航处正对面的木排，靠上时船航行了多少时间？
【解法一】建立如图所示坐标系，对任意点P X, y
在“顶点” 只有y方向分速度。“顶点”处水流速：
v水 = 1m/s，有vsin θ = v水。得θ = 30°, t = 20
【答案】20 3s
3s。
88
P X, y
y
v
θ
X
【例1.1-8】木排停在河面上固定不动，到岸距离L = 60m,河水的流速与离岸的距离
成正比，在岸边时，河水流速为v0 = 0，在木排处河水流速为vL = 2m/s。小汽船离 岸驶向木排，船对水的速度为v = 2m/s，起航前应使船指向何方，才能使以后无需 校正船速就能靠上与起航处正对面的木排，靠上时船航行了多少时间？
【解法二】建立如图所示坐标系，对任意点P X, y
P X, y
y
v
θ
89
X
一、机械运动、质点、参考系、坐标系
二、位矢和位移 三、速度
四、加速度
五、一般直线运动的求解方法
小结——1.1质点运动的基本概念
90
第一章 运动学
1.2 运动的合成与分解
2024.10.12
高中物理强基计划
91
1.运动的独立性原理： 若一个物体同时参与几种运动， 则各运动都可看成
是独立进行的，互不影响，物体的实际运动（合运动）则视为几个相互 独立分运动矢量叠加的结果。
2.矢量叠加的法则： 平行四边形定则。
一、运动的合成与分解
92
1.绝对速度：物块相对于静止参考系（比如地面* ） 的速度
2.相对速度：物块相对于运动参考系（比如斜面） 的速度 ，沿斜面向下 3.牵连运动：运动参考系相对于静止参考系的速度 ，水平向左
物对地 = 物对A + A对地
斜面对地
物对斜面
雨竖直下落速度
为v1 ，人水平行 进速度为v2 ，如 何打伞才能尽量 避免淋雨？
二、相对运动

v物对地
93
设有两个相对运动的参考系S 系和S9系。设 S 系为不动的 ，而S9系为运动的。质点 P
相对S 系的运动称为绝对运动 ，相对 S9系的运动称为相对运动。
1.绝对速度：P 点相对S 系的速度。
2.相对速度：P 点相对S9系的速度。
3.牵连速度： S9系相对S 系的速度 .
二、相对运动
94
【例1.2-1】两辆汽车的挡风玻璃与水平方向的夹角分别为β1 = 30° , β2 = 15° , 冰
雹竖直下落，打到玻璃上，两司机都看到冰雹从玻璃上反弹后竖直向上运动，求两 车速度之比。
95
【答案】东偏南63.4°
【例1.2-1】
96
【答案】30min
【拓展】人在雨中打伞前进，速度慢和速度快，淋雨量有何区别？（无区别。相对 运动）
【例1.2-1】
97
【例1.2-2】飞机以320km/h的速度在地球表面附近飞行，下列哪种情况中，飞机上的
乘客可在较长时间内看见太阳不动地停在空中（已知地球半径R=6400km，cos 11° =
0.98 ，cos 79° = 0.19）（ ）。
A．在北纬79°,由东向西飞行
B．在北纬79°,由西向东飞行 C．在北纬11°,由东向西飞行 D．在北纬11°,由西向东飞行
【答案】A
【拓展】如何看到太阳向东运行？如何看到太阳从西边升起？从东边落下？
98
运动物体间存在一定的约束 ，则二者的位移、速度、加速度存在关系。
1.速度关联：
（1）绳（杆）约束： 由于绳（杆）长度不变 ，故绳（杆）上各点沿绳（杆）分速 度相等。
（2）接触约束： 由于接触物体不分离 ，故两物体沿接触面法线方向分速度相等。
若接触的两物体无相对滑动 ，则两物体沿接触面切向分速度相等。
三、运动关联
dl
θ
得v1 = v2 cos θ
ds
v2
v1
v1
99
【例1.2-3】
100
【例1.2-5】如图1-1-6所示装置，在绳的C端以速率V匀速收绳，从而拉动低处的物体
M水平前进，当绳BC段与水平恰成α角时，求物体M的速度？
B
C V
α
M
101
【答案】VM = ω sin α
【例1.2-5】
102
【例1.2-3】木棒A端靠在竖直墙壁上，B端在水平地面上。当木棒A端沿墙壁自由下滑
至棒与水平面成θ角的瞬间，求A、B两端的速率之比。
【解答】设棒长L ，A 、B到墙角的距离分别为x 、y，
在极短时间内分别变化 x 、 y，有
L2 = x + x 2 + y + y 2
解得 y = x = xtan θ , 则VB = VA tan θ
【答案】VB = VA tan θ
θ
103
A
B
【拓展】1.棒转动的角速度？
L cos θ = x
两边对时间微分，得Lsin θ 则
2.棒上各点的速度特点？棒上何处速度最小？
设PB = r,P相对于B做圆周运动，有vpB = wr =
得
可知，r = Lsin2 θ时，最小vp = v cos θ（最小速度等于沿杆速度！），位置如图所示
vpB
vp
P
P
vB
θ
B vB = v
104
A
【拓展】“最小vp = v cos θ ”
最小速度等于沿杆速度，说明此点在垂直杆方向无速度。
则以该点为参考系，棒上各点绕该点做圆周运动，各点的 的线速度为 为各点到P的距离）。
3.各点垂直棒方向的分速度为多少？
A
P
θ
B
B = v
v
105
（1）杆上各点沿杆方向的分速度大小？杆上与半圆相切点B的速率？
（2）杆的角速度？
（3）杆与半圆柱接触点C′ 的速度大小。
【例1.2-4】杆AC靠在固定的半圆柱上，半圆柱的半径为R，杆的A端沿水平面以速率V
做直线运动。当杆与水平面夹角为 θ 时，求：
【解答】（1）杆上各点沿杆速率相等，等于末端A点沿杆分速率
特别的，杆上与半圆相切点B的速率VB = V cos θ
B
θ
R
106
A
C
V
（1）杆上各点沿杆方向的分速度大小？杆上与半圆相切点B的速率？
（2）杆的角速度？
（3）杆与半圆柱接触点C′ 的速度大小。
【例1.2-4】杆AC靠在固定的半圆柱上，半圆柱的半径为R，杆的A端沿水平面以速率V
做直线运动。当杆与水平面夹角为 θ 时，求：
【解答】（2）（解法一）杆末端A点垂直杆方向的速度决定杆绕B点转动的角速度，有：
B
θ
R
107
A
C
V
（1）杆上各点沿杆方向的分速度大小？杆上与半圆相切点B的速率？
（2）杆的角速度？
（3）杆与半圆柱接触点C′ 的速度大小。
A
【解答】（2）（解法二）等价于杆A端固定不动，半圆柱以速率v水平向左运动，求杆
绕A点转动的角速度。由于二者始终接触，则垂直接触面方向二者分速率相等：
【例1.2-4】杆AC靠在固定的半圆柱上，半圆柱的半径为R，杆的A端沿水平面以速率V
做直线运动。当杆与水平面夹角为 θ 时，求：
B
V
R
θ
得
108
C
【解答】（2）（解法三）设极短时间dt内，杆运动到A′C′位置，有：
当dt → 0时， dθ → 0 ，有 （提醒f x f x dx = f ‘ x dx） 得 （解法 常规，解法二巧妙，解法三数学味太浓！）
A
做直线运动。当杆与水平面夹角为 θ 时，求：
（1）杆上各点沿杆方向的分速度大小？杆上与半圆相切点B的速率？
（2）杆的角速度？
（3）杆与半圆柱接触点C′ 的速度大小。
θ
B
【例1.2-4】杆AC靠在固定的半圆柱上，半圆柱的半径为R，杆的A端沿水平面以速率V
θ dθ
C’
A’
109
C
R
A
做直线运动。当杆与水平面夹角为 θ 时，求：
（1）杆上各点沿杆方向的分速度大小？杆上与半圆相切点B的速率？
（2）杆的角速度？
（3）杆与半圆柱接触点C′ 的速度大小。
【解答】（3）杆与半圆柱接触点C′ ，绕圆心做圆周运动，且角速度等于杆转动角速
度，有：
θ
B
【例1.2-4】杆AC靠在固定的半圆柱上，半圆柱的半径为R，杆的A端沿水平面以速率V
θ dθ
C’
A’
110
C
R
【拓展】接触点相对于A的运动速度V3 满足：
当dt → 0时， dθ → 0 ，有
得V3 = R （而VB = V cos θ , VC ‘ = 说明什么！）
111
A
做直线运动。当杆与水平面夹角为 θ 时，求：
（1）杆上各点沿杆方向的分速度大小？杆上与半圆相切点B的速率？
（2）杆的角速度？
（3）杆与半圆柱接触点C′ 的速度大小。
θ
B
【例1.2-4】杆AC靠在固定的半圆柱上，半圆柱的半径为R，杆的A端沿水平面以速率V
θ dθ
C’
A’
C
R
【例1.2-5】如图所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并固定在天花板上，绳的一端
栓在B点，另一端栓在套于AA1杆的珠子D上，另有一珠子C穿过绳及BB1 以速度v1匀速下 落，而珠子D以一定速度沿杆上升。当图中角度为α时，珠子D上升的速度v2为多大？
A B
D α
C
A1 B1
【答案】v2 = v1
112
【例1.2-5】如图1-38所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为 ,轨道
上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接。物体A在 下面轨道上以匀速率v运动。在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO段的中点 处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离。设绳长BO远大于滑轮的直径。求
（1）小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向；
（2）小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间。
【答案】t =
v 2 + 16g v
113
运动物体间存在一定的约束 ，则二者的位移、速度、加速度存在关系。
1.速度关联：
（3）线状交叉物：交叉点的速度 ，是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和。
若a 、b均以平行对方的速度移动，
速度大小分别为va 、vb，
P
若a不动，b以平行a的速度vb
移动，问交叉点P的速度vP？
三、运动关联
a
P
vb
’
P
P
vb a
’
P
P
问交叉点P的速度vP？
P = a + b
vb a
vP = vb
vb
va
θ
a
b
b
b
b
114
和v2 在该平面内运动，求
（1）交点O的速度大小。
（2）交点O相对于l1 的速度大小；
（1）等效于两杆分别以 、 的速度 沿平行于对方方向运动
（2） o对l 1 = o对地 l 1 对地 = oo’
【例1.2-4】平面内两细杆l1 和l2 夹角为θ (θ < 90°), 若他们各以垂直自身的速度v1
sin θ
v2
θ
O
v2 sin θ
’
O
O
【答案】 （1）
v12 + v22 + 2v1 v2 cos θ
（2） +
+
l1 v1 l2
1 = oA =
v1 v2
v1
A
θ O
sin θ
l 1
115
运动物体间存在一定的约束 ，则二者的位移、速度、加速度存在关系。
2.加速度关联：
（1）绳（杆）约束：在绳（杆）不摆动且无动滑轮的情况下 ，绳（杆）上各点沿绳 加速度相等。
（2）接触约束：接触双方在垂直接触面方向加速度相等。
三、运动关联
116
【例1.2-5】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的云加速运动，在半
圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图甲所示。当半圆柱体的速 度为v时，杆与半圆柱体的接触点P和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ,求此时竖直
【答案】vy = vtan θ , ay = atan θ
杆运动的速度和加速度。
R θ
v，a
117
O
B
一、运动的合成与分解
1.运动的独立性原理
2.平行四边形定则
二、相对运动
1.绝对速度
2.相对速度
3.牵连速度
三、运动关联
1.速度关联：绳（杆）约束、接触约束、线状交叉物系 2.加速度关联：绳（杆）约束、接触约束
小结——1.2 运动的合成与分解
118
第一章 运动学
1.3 抛体运动
2024.10.12
高中物理强基计划
119
情形 条件
v0和 的关系
落地时相遇 （即同时落地）
最高处相遇
上升阶段相遇
v0 > g
下降阶段相遇
1.竖直上抛与自由落体相遇运动
若物体A以v0 自地面竖直上抛，同时正上方H处物体B由静止释放。可能出现的情况
一、直线抛体运动
120
【答案】20m
【例1.2-5】
121
则竖直上抛的运动时间为最大时间的一半
（2）相遇时二者位移
（即自由落体释放点与竖直上抛最高点重合），则有以下结论
（1）相遇时间tA = tB =
1.竖直上抛与自由落体相遇运动
若
（3）相遇时二者速率：
一、直线抛体运动
v0
v
122
t
【例1.2-5】长为D的圆筒在长为L的直杆正上方H处，圆筒释放 Δt 后直杆以v0 竖直上抛，
问二者在空中重合的时间？
【答案】
123
1.平抛的最值问题
最小触墙速度：
二、平抛运动
y = ax2
v0
124
2.有阻力的类平抛运动（配速法）
f = kv
二、平抛运动
125
【例1.4-5】从高H处的一点。先后平抛两个小球1和2，球1直接恰好越过竖直挡板A落
到水平地面上的B点，球2与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板A，然后也落在B点， 如图所示。设球2与地面碰撞遵循类似光的反射定律，且反弹速度大小与碰撞前速度大
小相等，求竖直挡板的高度h。
126
1.正交分解：v0 cos θ方向+g方向
射高： H =
射程：X =
若不同斜抛运动射程相同 ，则θ1 + θ2 = H1 + H2 =
（3）轨迹方程：y = xtan θ
（4）顶点所在曲线
三、斜抛运动
127
【例1.4-5】在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为 ,若出手时的速度为v0，问以
何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？
【答案】α = arcsin ，xmax =
128
4.斜面斜抛：小球自底端以v0 向斜上方抛出，落在倾角为α的斜面上。
（1）求落点与抛出点的距离L
【法一】（正交分解）
θ
α
α
三、斜抛运动
y
g
或
x
θ
129
求小球最远悬空高度（离斜面最远距离）？
最远 vy = 0 t =
若小球垂直落入斜面，求θ
垂直落入斜面 vx = 0 v0 cos θ 2 = 2gsin θ L cot θ cot α = 2
4.斜面斜抛：小球自底端以v0 向斜上方抛出，落在倾角为α的斜面上。
（1）求落点与抛出点的距离L
【法一】（正交分解）
θ
α
α
y
g 此后小球原路返回。
三、斜抛运动
x
θ
130
【例1.4-5】如图1-37所示，倾角为θ的斜面光滑，自斜面上某处以速度v沿与斜面夹
角为φ的方向向斜面上方抛出一小球。设小球与斜面间的碰撞是完全弹性的，斜面足 够长，要求小球最后仍能回到原出发点，则φ应该满足什么条件？
131
4.斜面斜抛：小球自底端以v0 向斜上方抛出，落在倾角为α的斜面上。
（1）求落点与抛出点的距离L
【法二】（斜交分解：匀速+自由落体）
gt2
θ
α
三、斜抛运动
π α +
α
v0 t
θ
132
2
【例1.4-5】如图所示，从A点以V0 的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为S处有
一堵高度力 的墙BC，要求小球能越过B点. 问：小球以怎样的角度抛出，才能使V0
最小？
133
【例1.4-5】 炮兵由山顶向海上目标射击，发现同一门炮以仰角α1 和α2 发射相同的炮
弹，都能准确地命中海面上位置不变的同一目标。已知炮弹初速度大小为v0，求此山 的海拔高度。不计空气阻力。
134
【例1.4-5】一小山坡与地平面成一角度α , 一人站在山坡上以初速度v0 向山脚下扔小
石头，假设石头仍落在山坡上，问抛射角θ为多大时，沿斜坡方向有最大射程，并求 此最大射程。
时，Smax =
135
一、抛体直线运动
二、平抛运动
三、斜抛运动
1.正交分解
2.斜交分解
3.投篮问题
4.斜面斜抛
小结——1.3 抛体运动
136
1.4 质点的圆周运动和摆线运动
2024.10.12
第一章 运动学
高中物理强基计划
137
向心加速度
（2） 角量描述 ：角速度
方向由右手螺旋确定。
角加速度
1.匀速圆周运动
（1） 线量描述： 线速度
t
θ n
e
→
e
→
一、 圆周运动
Δ
B
v
→
v
→
A
v
→
138
长度与原来相同的薄磁带
【答案】 t1
【例1.4-5】
139
【答案】5min
【例1.4-5】
140
【例1.4-5】圆周运动相遇问题
【答案】
141
一、 圆周运动

2.变速圆周运动 2 1
（1） 向心加速度 改变速度的方向
（2） 切向加速度 改变速度的大小
变速圆周运动，除具有向心加速度外， 还具有切向加速度
B
A
θ n
142
【例1.2-5】如图所示，在xoy平面上有两个半径均为R的圆，左圆圆心固定在坐标原
点o，右圆圆心o′ 沿x轴以速度v0 做匀速直线运动，t=0时刻两圆心重合，试求两圆交
, an =
点之一P点的速率及向心加速度an 与时间t的关系。
y
P
v0
R
O O′
x
143
【解法一】（向心加速度+切向加速度
【解法二】（水平加速度+竖直加速度）
【例1.4-2】4根长度同为l的细杆，用铰链首尾相连，组成一个菱形ABCD，放在水平面
上，如图所示。设A端固定，C端沿着A、C连线方向运动，当∠A恰好为90° 时，C端的速
度为V，加速度为a，试求此时B段的速度VB 和加速度aB 的大小。
B
A C V, a
D
144
【例1.4-3】如图1-20所示，用四根长度均为L的同样的细杆做成菱形，各杆的两端用
铰链相连。开始，相对的两铰链A与C彼此靠近，铰链A固定，铰链C以初速度为零、恒 定加速度为a的速度沿菱形对角线运动。求当杆AB和BC成角2α时，铰链B具有的加速度
（可认为各点在平面上运动）？
【解法一】（向心加速度+切向加速度）
B
A C a
D
【解法二】（水平加速度+竖直加速度）
145
3.一般曲线运动
（1）自然坐标系下的切向加速度和法向加速度
（2）极坐标系下的径向加速度和横向加速度
5.曲率半径
一、 圆周运动
146
【例1.4-5】猎犬追狐狸问题
【答案】
147
4.纯滚动：无相对滑动的滚动
设角速度为w ， 半径为R 。 则平动速度
则任一点A的线速度满足
vx = v + wR sin π α
w

α v
一、 圆周运动
A
148
【例1.4-5】半径为R的车轮在地面上作无滑动的滚动，轮心速度为常量v0，试求轮边
一质点的运动方程.
x Rarccos 1
2
+ y R 2 = R2
【答案】
v0
149
【例1.4-5】
150
【例1.4-4】如图甲所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端A点速度为v，方
向水平，以铰链固定于B点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为r和R，试确定木
A
α
板的角速度w与α的关系。
v
151
B
【例1.4-5】两个线圈位于水平面上，其中间部分缠有不可伸长的轻线（如图甲所示）。
这条线上的A点与两线圈轴等距离，A点开始竖直向上移动。这时线圈做无滑动的滚动， 其轴不改变自己的方向，线也不沿着线圈滑动，不在线圈上的线段位于垂直线轴的竖 直平面内。问：当A点速度等于v ，2α = 120° 时，两线圈靠近的速率u为多大？（线圈
中间部分半径与线圈侧板半径的比为n =
)
2α
152
A
5.螺纹运动
沿轴线的直线运动+垂直轴线的匀速圆周运动
5.螺旋运动
径向
一、 圆周运动
153
【例1.4-5】
154
1.圆周上点运动
2.圆周内点运动
3.圆周外点运动
二、摆线运动
155
【例1.4-5】
156
一、圆周运动
1.匀速圆周运动
2.变速圆周运动
3.一般曲线运动
4.纯滚动
5.螺纹运动
二、摆线运动
1.圆周上点的运动
2.圆周内点的运动
3.圆周外点的运动
157
小结——1.4 质点的圆周运动和摆线运动
第一章 运动学
1.5 刚体运动学
2024.10.12
高中物理强基计划
158
一、 刚体的平动
1.刚体
2.平动
159
二、 刚体的定轴转动
1. 瞬心
160
【解答】（1）B点垂直杆方向速度为零，则速度只能沿杆，又A的速度水平，则可确定
杆的瞬心P位置如图所示。
做直线运动。当杆与水平面夹角为 θ 时，求：
（1）杆的角速度？
（2）求AB中点D的速率与A的速率之比？
C
A
V
B
θ
R

【例1.2-4】杆AC靠在固定的半圆柱上，半圆柱的半径为R，杆的A端沿水平面以速率V
D
161
P
【解答】（2）杆上各点绕瞬心做圆周运动，有：
由几何关系得， rPD = R cos θ , rPA = 得
做直线运动。当杆与水平面夹角为 θ 时，求：
（1）杆的角速度？
（2）求AB中点D的速率与A的速率之比？
C
A
V
B
θ
R

【例1.2-4】杆AC靠在固定的半圆柱上，半圆柱的半径为R，杆的A端沿水平面以速率V
D
162
P
三、 刚体的平面运动
1.基点
163
一、刚体的平动
二、刚体的定轴转动
三、刚体的平面运动
小结——1.5刚体运动学
164
第二章 静力学
2.1 常见的几种力
2024.10.12
高中物理强基计划
165
1.万有引力与重力
2.重心与质心
3.巴普斯定理
一、重力
166
1.正压力
2.张力
3.应力（正应力、切应力）
4.杨氏弹性模量
5.弹簧劲度系数
6.胡克定律
二、弹力
167
【例1.2-4】
168
1.滑动摩擦力、 静摩擦力、滚动摩擦力
三、摩擦力
169
当物体所受推力F方向可变时，要使物块滑动，则推力的方向应满足：
θ > αs = arctan μ
反之，若θ ≤ αs = arctan μ , F sin θ ≤ μFcos θ ≤ fmax恒成立（动力增量小
于阻力增量），无论F多大，物块都不会滑动（“自锁现象”） R N
全反力：地面对物体的作用力，

R = N + f
摩擦角：αs = arctan μ
2.全反力、摩擦角和自锁现象
R N
α
α
三、摩擦力
θ
f
f
170
F
【例1.2-4】
171
【例1.2-4】
172
【例1.2-4】质量为m的小木块，停放在水平地画上，它与地面的静摩擦因数为μ , 一
人想用最小的作用力F使木块移动，则此最小作用力F的大小为多少
173
一、重力
1. 万有引力与重力
2.重心和质心
3.巴普斯定理
二、弹力
1.正压力 2.张力 3.应力 4.杨氏弹性模量 5.弹簧劲度系数 6.胡克定律
三、摩擦力
1.滑动摩擦力、静摩擦力、滚动摩擦力
2.全反力、摩擦角和自锁现象
小结——2.1常见的几种力
174
第二章 静力学
2.2 共点力作用下的平衡
2024.10.12
高中物理强基计划
175
1.共点力平衡条件
物体所受合外力为零
一、共点力
标量式
176
【例1.2-4】
177
1.三力汇交原理
物体在三个非平行力作用下处于平衡，则这三个力必共面且共点。 2.拉密定理
若以物体在三个共点力作用下处于平衡，则三力及其夹角满足：
二、三力汇交原理
α β
y
F3
F2
F1
178
一、共点力
1.共点力平衡条件 二、三力汇交原理 1.三力汇交原理
2.拉密定理
小结——2.2 共点力作用下的平衡
179
2.3 非共点力作用下的平衡
2024.10.12
第二章 静力学
高中物理强基计划
180
1.力对转轴的力矩
2.力对点的力矩
3.力偶矩
一、力矩
181
二、定轴转动物体平衡条件
1.合力矩
182
【例1.2-4】
183
【例1.2-4】
184
1.平行力的合成与分解
2.一般物体的平衡条件
三、一般物体平衡条件
185
【例1.2-4】
186
【例1.2-4】
187
【例1.2-4】
188
【例1.2-4】如图2-55所示，光滑轻套筒B可沿竖直杆上下自由滑动，均质杆BE可在套
筒上自由移动，平衡时，杆与光滑拋物面（方程为 接触点A的水平坐标X为多 大？（精确到小数点后三位）
【解答】XA = 0.308l
189
【例1.2-4】如图2-60所示，匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之间，其质量为m，半径为R，
与墙和木板间的动摩擦因数均力μ .板很轻，其质量可忽略.板的一端O与墙用光滑铰链 相连，另一端A 挂有质量为m′ 的重物，OA长为L，板与竖直墙夹角θ=53 °.试问， m ′ 至少需要多大才能使系统保持平衡？并对结果进行讨论.
, 若μ < ，无论m′ 多大，系统都无法平衡
190
一、力矩
1.力对转轴的力矩
2.力对点的力矩
3.力偶矩
二、定轴转动物体的平衡条件 1.合力矩
三、一般物体的平衡条件 1.平行力的合成与分解
2.一般物体的平衡条件
小结——2.3 非共点力作用下的平衡
191
第二章 静力学
2.4 平衡的稳度
2024.10.12
高中物理强基计划
192
1.稳定平衡
2.不稳定平衡 3.随遇平衡
一、平衡的分类
193
二、稳定平衡的判断方法
1.受力分析法
194
二、稳定平衡的判断方法
2.力矩比较法
浮力
195
【例1.2-4】
196
【例1.2-4】
197
二、稳定平衡的判断方法
3.重心升降法
198
【例1.2-4】
199
二、稳定平衡的判断方法
4.支面判断法——稳度
200
二、稳定平衡的判断方法
5.势能判断法
201
【例1.2-4】
202
一、平衡的分类
1.稳定平衡
2.不稳定平衡
3.随遇平衡
二、稳定平衡的判断方法
1.受力分析法
2.力矩比较法
3.重心升降法
4.支面判断法
5.势能判断法
203
小结——2.4 平衡的稳度
第二章 静力学
2.5 流体静力学
2024.10.12
高中物理强基计划
204
1.理想流体：不可压缩（密度不随空间和时间变化）、没有黏性的流体。
2.静止压强：
若静止流体表面处压强为p0 （通常等于与该流体表面相接触的气体的压强），流 体的密度为p，则此流体表面下深度为h处的压强为
p = p0 + pgh
3.浮力（阿基米德原理）
物体在液体中所受浮力，等于排开液体所受重力。
一、理想流体静止压强
205
1.连续性方程
不可压缩流体流动时 ，在流体所处空间任取一区域 ，流体的质量不变， 即经由区 域界面流出的流体质量与流入的流体质量相等。
理想流体做定常流动（任一点的流速都不随时间变化） 时 ，对如图所示的一个流 管 ，有
v1s1 = v2s2
流管：由流线围成的管状几何结构。
流线：设想在流体内画出一系列有方向的曲线 ，使曲线上任一点的切线方向都与
质元在该点的速度方向相同。完整内容 ，关注【九零物理】
二、连续性方程
206
1.伯努力方程
理想流体做定常流动时，任一点压强、流速和高度满足：
三、伯努力方程
207
1.流体的阻力
（1）低速粘滞阻力
（2）高速冲击阻力（动量定理）
四、非理想流体
208
一、理想流体静止压强
1.理想流体
2.静止压强
3.浮力（阿基米德原理）
二、连续性方程 1.连续性方程
三、伯努力方程 1.伯努力方程
四、非理想流体 1.流体的阻力
小结——2.5 流体静力学
209
3.1 质点直线运动的动力学
2024.10.12
第三章 牛顿运动定律
高中物理强基计划
210
1.牛顿运动三定律
（1） 第一定律
（2） 第二定律
（3）第三定律
2.适用条件：
（1）牛顿第一定律： 惯性参考系
（2）牛顿第二定律： 惯性参考系
（3）任意参考系
一、牛顿三大运动定律
211
3.质点系牛顿第二定律
质点系组成的系统，在任意方向上（如x方向）
一、牛顿三大运动定律
212
1.质心 xC =
2.质心加速度
3.质心运动定理
当系统在某方向受合外力为零时，系统质心在该方向保持平衡状态。
二、质心运动定理
213
在外力作用下，在某方向具有共同加速度的两物体，称为二体系统。
1.二体系统动力学方程
设物体所受系统外力为Σ Fx ，全部作用在1物体上，则
2.内力分配法则
设系统间内力为N，则对2物体，有:Σ + N = m2 c ，有N = Σ
此结论适用于光滑、粗糙、倾斜面。
Fx
→
a
→
Fx
→
三、二体系统
214
→
【例1.2-4】如图3-5所示，A放在光滑水平桌面上的长方形物块，在它上面放有物块B
和C。A、B、C的质量分别力mA=m、mB=5m、mc=m，B、C与A之间的静摩擦因数和动摩擦因 数皆为0.1。K为轻滑轮，绕过K连接B、C的轻细绳都处于水平位置。现用沿水平方向的 恒定外力F拉滑轮K，使A的加速度为0.2g（g为重力加速度）。在这种情况下，B、A之 间沿水平方向的作用力多大？C、A之间沿水平方向的作用力多大？外力F多大？
【解答】 fBA = 0.1mg ， F = 2.2mg
【拓展】如果底面不光滑呢？
215
【例1.2-4】质量分别为5m 、3m和m的三块石块，除了厚度不同，形状完全相同，叠
放在水平桌面上，如图3-练9（a）所示。水平力F作用在中间的石块2上。下面的石块3 与桌面间摩擦系数μ,石块2与石块3之间摩擦系数2μ,上面的石块1与石块2之间摩擦 系数为4μ。假设滑动摩擦系数和静摩擦系数相等。试作如下关系的图像：
（1）每块石块加速度与所施力F的大小；
（2）石块之间产生的每个摩擦力与所施力F的大小。
216
【例1.2-4】如图3-3所示，A、B滑块质量分别是mA和mB，斜面倾角为α,当 A沿斜面体
D下滑、B上升时，地板突出部分E对斜面体D的水平压力F力多大？（绳子质量及一摩擦
F = mA g cos θ
不计）
217
【例1.2-4】图3-5所示为斜面重合的两楔块ABC及ADC，质量均M,AD,BC两面成水平，E
为质量等于m的小滑块，楔块的倾角为α,各面均光滑，系统放在水平平台角上从静止 开始释放，求两斜面未分离前E的加速度。
【答案】a3 = m+ g
M
m
218
【例1.2-4】质量分别为m1和m2 的木块重叠后放在光滑的水平面上，如图3-1-1所示
m2和m1 间的动摩擦因数为μ,现给m2施加随时间t增大的力F = kt，式中k是常数。试 求m1和m2 的加速度a1和a2 与时间t的关系，并绘出此关系的曲线图。完整内容，关注
【九零物理】
219
【例1.2-4】如图3-1-3所示，质量为m 的物体A，从底线l为定值的斜面顶点静止开始
向下滑动，已知物体与斜面的动摩擦因数为μ .问α角为何值时，下滑的时间最短，等 于多少？
arctan ，tmin =
220
小结——3.1质点的直线运动
1.机械运动
221
3.2 质点曲线运动的动力学
2024.10.12
第三章 牛顿运动定律
高中物理强基计划
222
一、 圆周运动的受力分析
4.
223
二、一般曲线运动的受力分析
4.
224
小结
1.机械运动
225
第三章 牛顿运动定律
3.3 刚体的转动动力学
2024.10.12
高中物理强基计划
226
1.刚体的平动：运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。
2.刚体的定轴转动： 刚体所有质点都绕一固定直线做圆周运动。
3.刚体的平面运动： 随基点平动+绕基点（质心或瞬心）的定轴转动 4.刚体的定点转动
（1）进动：自转轴绕另一轴转动， 如陀螺倾斜旋转
（2）章动：自转轴做周期性摆动， 如陀螺初始抖动
一、 刚体的运动
227
1.转动惯量
描述刚体在转动中惯性大小的物理量，衡量物理转动状态改变的难易程度。它与刚 体的质量、质量分布以及转轴的位置有关。质量分布离转轴越远，转动惯量越大；质 量分布离转轴越近，转动惯量越小。
设刚体中质量元dm与转轴的距离为r，则刚体绕该轴转动时的转动惯量定义为
设刚体质量为m0，则刚体绕轴转动的转动惯量为I = m0r02，其中r0 为回旋半径。
二、 刚体转动定律
r
dm
228
229
二、 刚体转动定律
2. 平行轴定理和垂直轴定理
（1）平行轴定理：若刚体对过质心的轴的转动惯量为Ic ，则刚体对与 该轴距离为d的平行轴z的转动惯量Iz 为
Iz = Ic + md2
（2）垂直轴定理：薄板状刚体对于板面内的两条正交轴的转动惯量 之和，等于这个刚体对于过该二轴交点且垂直于板面的轴的转动惯量
二、 刚体转动定律
230
二、 刚体转动定律
3.刚体转动运动学
231
4.刚体转动定律（定轴转动）
刚体的角加速度与刚体所受力矩M成正比，与转动惯量I成反比。
二、 刚体转动定律
→
其中，力矩M = R × F。
232
第三章 牛顿运动定律
3.4 非惯性参考系
2024.10.12
高中物理强基计划
233
一、伽利略变换
1.力学相对性原理
234
1.非惯性参考系
2.惯性力
二、非惯性参考系
235
1.平动惯性力
设有一非惯性系，其相对于惯性系的平动加速度为 0 ，物体相对于非惯性系的加速度 为 ′ ，则物体相对于惯性系的加速度 满足：
= ′ + 0

若物体所受合外力为F合，由牛顿第二定律： F合 = m ，得
称为平动惯性力，与 0反向，是物体惯性在非惯性系的体现
三、惯性力
236
【例1.2-4】【例题3-1】 如图3-例1（a）所示，ABC劈质量为M，高为h，斜面 AC倾角
为θ。顶端A放一质量为m的小物体，自静止下滑，略去各接触面间的摩擦。试求：
1）m从顶端滑到底时，M的位移；
2）m下滑时，M对地面的加速度a1；
3）m对M的加速度a2 ′ ；
4）m对地面的加速度a2；
5）m与M间的作用力N；
6）M与桌面间的正压力R。
【答案】XM = ; a1 = ; a2 ′ = g; N = g; R = g
237
【例1.2-4】如图3-11所示，在以一定加速度a行驶的车厢内，有一长为l、质量为m的
棒AB靠在光滑的后壁上，棒与厢底面之间的动摩擦因数为μ,为了使棒不滑动，棒与 竖直平面所成的夹角θ应在什么范围内？
【答案】arctan ≤ θ ≤ arctan
238
【例1.2-4】在火车车厢内有一长l，倾角为θ的斜面，当车厢以恒定加速度ao 从静止
开始运动时，物体自斜面顶部A点由静止开始下滑，已知斜面的静摩擦因数为μ .求物
体滑至斜面底部B点时，物体相对于车厢的速度，并讨论当a0 与μ一定时，倾角θ为多
少时，物体可静止于A点？
; arctan ≤ θ ≤ arctan
2l g μa0 sin θ μg + a0 cos θ
【答案】v =
239
【例1.2-4】如图3-2-2所示，三个物体通过滑轮与细绳互相连接，它们的质量与运动
方向如图所示.不计滑轮质量和一切摩擦.求质量为m1物块的加速度及两绳的张力T1和T2。
g ；T2 = ； T1 =
m 1 m2 +m3 4m2m 3
4m2 m3 +m1 m2 +m3
【答案】a =
240
【例1.2-4】如图3-2-3所示，一绳子套在固定于电梯天花板的滑轮上，两端各悬挂质
量为m1和m2 的重物，电梯开始以加速度a0 上升，忽略滑轮的质量和摩擦，求
（1）重物m1相对于电梯的加速度和相对于地的加速度；
（2）滑轮作用于电梯天花板的力。
241
【例1.2-4】在如图3-4-1所示的系统中，已知方木块的质量为m，楔形体的质量为M，
倾角为α .滑轮和绳的质量不计，不考虑摩擦力，求楔形体M的加速度。
【答案】 aM =
242
【例1.2-4】如图3-4-5所示，一个表面光滑的铅直截面为直角三角形的楔形物体，斜
面的长度为1，斜面与底边之间的夹角为α,质量为M，静止于一光滑的水平桌面上， 将一个质量为m的质点放在斜面的顶端，并令其滑下，试求：
（1）当质点到达斜面下端时楔形物体移动的距离；
（2）质点自斜面顶端到达下端所需的时间。
243
2.转动惯性力

设有一非惯性系，其相对于惯性系的角速度为w，角加速度为β , 一质量为m的质点位
于 处以速度 ′ 运动，加速度为 ′ ，则质点在惯性系中的速度 和 满足：
三、惯性力
244
2.转动惯性力
若物体所受合外力为 合，由牛顿第二定律 得
合 + m × + mw × w × + m × 2w × ′ = m ′
（1）惯性离心力： = mw × w × ,方向背离圆心，是非惯性系相对于惯性系转 动的体现。

（2）切线惯性力： Ft = mβ × ,方向沿转动切线方向，是非惯性系变速转动的体现
（3）科里奥利力（科氏力）： = m × 2w × ′ ,方向与w 和 ′ 垂直，是物体在非 惯性系有初速度的体现。
三、惯性力
245
（如图所示），它们处于静止状态，中间的小球m1突然受到水平方向的冲击，瞬间获
得水平向右的速度v0.求此时连接m2 的绳上的拉力T.
【例1.2-4】长度分别l1和12 的不可伸长的轻绳悬挂着质量分别为m1和m2 的两个小球
T = m2
246
小结
1.机械运动
247
4.1 动量、冲量和动量定理
2024.10.12
第四章 动量、角动量和能量
高中物理强基计划
248
（1）动量与参考系有关，一般选择同一惯性系。
（2）质点系动量 = σ mi i = σ mi c = M c
（3）选择质心作为参考系，则系统的动量
即质心系是零动量参考系。
1.动量
注意：
一、动量
249
1. 冲量：力对时间的积累效应
注意：
（1）由于力和时间都与参考系的选择无关，故冲量与参考系选择无关。
（2）若作用力变化，可计算时间平均力F- = 。
（3）功是力的空间积累，可计算空间平均力F- =
二、动量定理
250
质点所受合外力的冲量等于质点的动量变化量。 3.质点系动量定理
即系统所受合外力的冲量等于系统动量的变化量。内力冲量不改变系统总动量。
二、动量定理
2.质点动量定理
251
4.流体问题
（1）流体冲击力 （2）流体阻力
5.变质量物体的运动 （1）火箭发射
（2）链条问题
三、动量定理
252
【例1.2-4】
253
【例1.2-4】
254
255
【例1.2-4】
【例1.2-4】
256
【例1.2-4】
257
【例1.2-4】
258
【例1.2-4】
259
【例1.2-4】
260
小结
1.机械运动
261
第四章 动量、角动量和能量
4.2 动量守恒定律
2024.10.12
高中物理强基计划
262
对质点系，有
若 = 0 ，则Σ mi i = 恒量， 即合外力冲量为零时 ，系统的动量不变。
注意：
（1）所有质点的动量必须对同一惯性系。
（2）若合外力冲量为零，Σ mi i = M c =恒量，系统的质心保持静止或做匀速直线 运动。
（3）合外力冲量不为零，但某一方向的分量始终为零，则该方向系统动量守恒。
v
→
v
→
一、动量守恒定律
263
【例1.2-4】
264
小结
1.机械运动
265
4.3 角动量定理和角动量守恒定律
2024.10.12
第四章 动量、角动量和能量
高中物理强基计划
266
2.质点系的角动量
反映质点绕该点旋转运动的强弱。
质点对过。的某一轴线的角动量Lz = L cosy
刚体定轴转动角动量L = σ ri × pi = σ ri × mi vi = σ ri × mi wri = σ mi × ri 2 w = Iw
一、角动量、力矩和冲量矩
1.角动量：质点对某一定点。的角动量定义为
θ
267
对过O的某轴线的力矩Mz = M cosy
一、角动量、力矩和冲量矩
2.力矩：角动量的时间变化率
记做M，有
268
1.冲量矩：力矩对时间的积累，记为∫ M dt
2.质点角动量定理
或∫ × dt = L2 - L1
即质点所受合外力对某一参考点的冲量矩，等于质点对该点的角动量变化量。
F
→
r
→
二、角动量定理
269
3. 质点系角动量定理
即质点系所受合外力对某一参考点的冲量矩，等于质点系对该点的角动量变化量。
刚体定轴转动角动量定理：
二、角动量定理
270
【例1.2-4】
271
1.角动量守恒定律
若M外 = 0，则ΣLi=恒量，即质点/系统所受合外力对某一参考点的力矩
为零时，质点/系统对该点的角动量守恒。
若质点/系统对某一参考点的力矩不为零，但质点/系统所受合外力对某一 轴力矩为零，则质点/系统对该轴的角动量守恒。
三、角动量守恒定律
272
【例1.2-4】
273
【例1.2-4】
274
【例1.2-4】
275
【例1.2-4】质量为M，半径为R的匀质圆盘，绕着过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度
w旋转时的角动量大小为L = Iw,I = MR2 。有如图 5-1-8 所示系统，细绳质量可略, 细绳与圆盘间无相对滑动，定滑轮与中央轴之间光滑接触，有关参量已在图中标出，
m1 > m2，试求a。
276
【例1.2-4】
277
1.角动量、力矩和冲量矩
2.角动量定理
3.角动量守恒定律
小结——角动量定理和角动量守恒定律
278
第四章 动量、角动量和能量
4.4 功和功率
2024.10.12
高中物理强基计划
279
1.功的定义
2.变力做功
3.力矩做功： W = ∫ M dθ 4.几种特殊力做功
（1）弹簧弹力
（2）万有引力
（3）摩擦力
一、功
280
【例1.2-4】如图4-2-6所示，有一力T拉着木箱沿平直路面做匀速运动。T的大小不变，
但是总指向0点，0点离开地面的高度为h.问当T与木箱运动方向的夹角从θ1 增加到
θ2 的过程中，T所做的功是多少？
【答案】T
sin θ2
sin θ1
281
1
1

1.功率定义
2.力矩功率
3.流体功率：设流体的压强为p，流量为Q，则维持稳定流动需要的功率
二、功率
282
【例1.2-4】正常人心脏在一次搏动中输出血量为70ml，推动血液流动的平均压强为
1.6× 104 Pa，设心脏主动脉的内径约为 2.5cm，每分钟搏动75次，问：
（1）心脏推动血液流动的平均功率是多大？
（2）血液从心脏流出的平均速度是多少？
【答案】1.4W；0.18m/s
283
【例1.2-4】一架质量M=810kg的直升机，靠螺旋桨的转动使s = 30m2 面积内的空气以
v0 速度向下运动，从而使飞机悬停在空中。已知空气的密度p0 = 1.20 kg/m3，求v0 的大小，并计算发动机的功率P.
【答案】v0 = 14.9m/S ，P = 5.95 × 104 W
284
【例1.2-4】 一支灌溉水枪均匀喷洒半径为12m的农田，已知从4m深井里每分钟抽水
80L喷出，试求电动机功率。
【答案】131W
285
【例1.2-4】在电视节目中，我们常常能够看到一种精彩的水上运动—划水板.如图 4-
1-4所示，运动员在快艇的水平牵引下，脚踏倾斜滑板在水上滑行.设滑板是光滑的，
滑板的划水面积为S，滑板与水平方向的夹角（滑板前端抬起的角度）为日，水的密度 为p，理论研究表明：水对滑板的作用力大小为N = psv2 sin2 θ,式中的v为快艇牵引
速度，若人的质量为m，则快艇对运动员的牵引功率为多少？
286
【例1.2-4】列车以速度v=72km/h沿水平路段行驶.为使列车在下大雨时也以这样的速
度行驶，问火车头发出的功率应该变化多少？单位时间内落在列车上的雨水质量 m1= 100kg/s，雨下落后顺车厢壁流下，下雨时摩擦力的变化不计。
【答案】P = 4 × 104 W
287
1.虚功原理
一个质点系，如果在外界的约束下处于静止状态，则系统继续保持静止状态的 条件是：所有作用于该系统的主动力对作用点的虚位移所作的功的和为零。
（1）主动力：除约束力以外的所有力
（2）约束力：其他物体对该物体的运动进行限制而作用在物体上的力，如弹力、摩 擦力。
（3）虚位移：满足约束条件的极微小的偏离或变形，是假想的力。
（4）虚功：主动力在虚位移上的功（注意矢量性）
三、虚功原理
288
小结
1.机械运动
289
第四章 动量、角动量和能量
4.5 动能定理
2024.10.12
高中物理强基计划
290
1.质点动能
设质点m受合力 作用沿曲线从a点运动到b点，此过程合力做功为
定义：质点动能
不同参考系物体动能不同。同一问题中，应选用同一参考系。 2.质点系动能
F
→
一、动能
291
3.刚体定轴转动动能
若刚体绕中心轴转动
其中I = σ mi Ri 2
一、动能
292
1.质点动能定理
设质点m受合力 作用沿曲线从a点运动到b点，此过程合力做功为
质点动能定理是在牛顿第二定律基础上推导，因此只能适用于惯性系。非惯性系要考 虑惯性力做的功。
2.质点系动能定理（注意， 系统内力做功也会改变系统动能）
F
→
二、动能定理
293
3. 柯尼希定理
质点系的总动能，等于质心动能与各质点相对于质心总动能之和。
特殊地 ，对两个物体组成的系统， Ek ′ = μu2 ，则
其中 约化质量），u = v1 v2（相对速度）
二、动能定理
294
则质点总动能Ek = Σ
而 mi . 2 c Σ mi c Σ mi =
c Σ mi i - Σ mi c = 0
v
→
v
→
v
→
推导：
设质点系中第i个质点的速度为 i ，质心速度为 c ，则该质点相对于质心的速度为
v
→
v
→
二、动能定理
295
4. 资用能
对两个物体组成的系统，若外力为零，则质心速度和质心系平动动能不变。
因此，在相互作用过程后，若二者共速，则系统动能减小量达到最大，也是系统把动 能转化为其他形式能量的最大限度，称为资用能。
二、动能定理
296
【例1.2-4】如图4-2-4所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，长为！的悬线系養
质量为m 的小球于水平位置释放，下摆到图示α位置时，小车的速度为v，试求该过程 中悬线张力对小球所做的功。
【拓展】小球速度是否可求？车的速度是否可求？拉力是否可求？是否有最值？
【答案】 Mv2
297
【例1.2-4】一质量为m的小物体，放在半径为R的光滑半球顶上，初始时，它们间相
对静止，如图4-2-5所示，求在下列情况中，物体m离开球面时，离半球底面的距离 .
（1）半球面以10m/s匀速上升；
（2）半球面以加速度 匀加速向右运动。
【答案】 = 0.82R
【思考】分离时二者沿半径方向加速度是否相等？
298
【例1.2-4】如图4-2-7所示，长为1的轻质杆上端A固定一个重球，直立干粗糙地面上，
由静止开始倒落.试求小球与地面相碰时的速度。
【思考】全程是否机械能守恒？
【答案】
299
【例1.2-4】在竖直平面内的光滑轨道如图4-2-8所示，其中b点左边为直轨道，b点右
边为半径为R 的圆形轨道，c为轨道的最低点，一个可看作质点的小球原来静止在离轨 道最低点的高度为2R处，从静止开始释放，它将沿轨道运动，并在图中e点处脱离轨道.
求e点与最高点d点间的弧度值。
【答案】cos θ =
【拓展】小球从圆弧外侧最高点静止下滑呢？
300
【例1.2-4】
【答案】
301
【例1.2-4】
【答案】
302
【例1.2-4】
【答案】
303
【例1.2-4】
【答案】
304
5.刚体定轴转动动能定理
若刚体绕中心轴转动
二、动能定理
305
4.刚体的平动动能
5.刚体定轴转动动能 6.刚体平面运动动能 7.刚体的重力势能
9.刚体动能定理
10.复摆
二、动能定理
306
【例1.2-4】
307
小结
1.机械运动
308
第四章 动量、角动量和能量
4.6 势能和功能原理
2024.10.12
高中物理强基计划
309
1.保守力和非保守力
质量为m的物体在质量为M的天体附近从ra 到rb 过程，克服万有引力对做的功为
保守力：做功与路径无关、只与初末位置有关的力，如万有引力、重力、弹力。
非保守力：做功与路径有关的力，如摩擦力、流体阻力、黏滞阻力。
m θ d
ra rb
r
M
可见万有引力做的功与位置有关，与路径无关
一、保守力和非保守力
310
1.势能定理
两质点间的相互作用力为保守力，当两质点间的相对位置变化时，只要相对位置的初 末状态确定，则此过程保守力做的功已被确定。
因此，系统存在某种反映保守力做功能力的能量，称为势能。保守力做的功等于系统 势能的减少量。
二、势能
311
2.势能
（1）重力势能
取地面为零势能面，高度为 处的重力势能Ep = mg
（2）引力势能
取无穷远处为零势能面，相距为r的两物体引力势能Ep =
（3）弹性势能
取原长处弹性势能为零，形变量为x时的弹性势能Ep = kx2
二、势能
312
3.势能曲线
势能关于相对位置参量的曲线。
即，某一方向上的势能曲线的斜率为该方向上的合外力，力指向势能递减方向。
二、势能
313
【例1.2-4】如图4-3-1所示，质量m的小球被两个倔强系数为k的相同弹簧固定在一个
质量为M的盒子中，盒子从h高处开始下落，在盒子下落的瞬间，两弹簧均未发生形变， 小球静止.问h为多少时盒子与地面发生完全非弹性碰撞后还能弹起？
【思考】全程是否机械能守恒？
【答案】
1 +
2m
M
314
【例1.2-4】用一弹簧把两块质量各为m1及m2 的板连接起来，如图4-3-2所示，问必须
加多大的力压在上面的板m1上，才能当力的作用突然停止后，上面的板跳起来恰能使 下面的板m2稍被提起？（弹簧的质量可忽略不计）
【答案】 m1 + m2 g
【思考】全程是否机械能守恒？
315
其中， W1 为系统内重力（万有引力）和弹力做的功， W非保守内力为系统内其他力 做的功，由于W1 = Ep1 Ep2 ，有
三、功能原理（机械能定理）
定义E = Ep + Ek ，称为系统的机械能。
则，系统内非保守内力和系统外力做功，等于系统机械能改变量。
1.功能原理
由系统动能定理σ W 内+ σ W外 = Ek 得
316
小结
1.机械运动
317
4.7 机械能守恒定律和能量守恒定律
2024.10.12
第四章 动量、角动量和能量
高中物理强基计划
318
若σ W非保守内力 = 0，且σ W外 = 0，即系统仅保守内力做功，则系统机械能保持
不变。
一、机械能守恒定律
1.机械能守恒定律
319
二、能量守恒定律
1.能量守恒定律
320
【例1.2-4】将一摆长为l的单摆拉至水平位置，放手让其自由摆下，当摆到竖直位置
时，在悬点0的正下方距0为d的D处，有一细钉挡着摆线，如图4-4-5所示.试证：d=
（2 3-3）l时，摆球正好击中钉子.（不计空气阻力，不计线的质量和伸长）
321
【例1.2-4】
322
小结
1.机械运动
323
第四章 动量、角动量和能量
4.8 质心运动和碰撞
2024.10.12
高中物理强基计划
324
一、质心运动
1.质心位矢
325
一、质心运动
2.质心速度
326
一、质心运动
3.质心加速度
327
4.质心运动定律
即，质点系质心的加速度取决于合外力。
如果合外力为零，质点系的质心保持静止或做匀速直线运动。
一、质心运动
328
【例1.2-4】
329
5.质心动量定理
即系统的动量变化量，等于系统所受合外力的冲量。
一、质心运动
330
6.质心系动能定理（柯尼希定理）
质点系的总动能，等于质心动能与各质点相对于质心总动能之和。
特殊地 ，对两个物体组成的系统， Ek ′ = μu2 ，则
其中 约化质量），u = v1 v2（相对速度）
一、质心运动
331
1.碰撞
一般的碰撞过程，包括挤压变形和弹性恢复的过程，为了描述弹性恢复的程度，定义 物理量恢复系数e
即，接触面法线方向上分离速度 2 1 与接近速度 10 20之比。
二、碰撞
332
2.弹性碰撞
动量守恒：m1 1 0 + m2 2 0 = m1 1 + m2 2
机械能守恒： m1 1 02 + m2 2 02 = m1 12 + m2 22
得 2 1 = 10 20
恢复系数e = 1
二、碰撞
333
3.非弹性正碰
动量守恒：m1 1 0 + m2 2 0 = m1 1 + m2 2
恢复系数
若材料恢复系数给定，则碰后速度可求。
损失动能 MvC 2 + Ek 0′ 柯尼希定理、质心动量定理）
可知， Ek ′ 最小（最小为零）时，即各质点相对于质心动能最小时， E最大。
则 ，碰后各物体共速时 ，动能损失最大， E = Ek 0′ =
二、碰撞
334
二、碰撞
3.斜碰
335
小结
1.机械运动
336
第四章 动量、角动量和能量
4.9 天体的运动和能量
2024.10.12
高中物理强基计划
337
一、有心力
338
二、万有引力定律
339
三、开普勒行星运动三大定律
340
【例1.2-4】
341
【例1.2-4】
342
1.引力势能
2.机械能
3.第一宇宙速度（环绕速度） 4.第二宇宙速度（脱离速度） 5.第三宇宙速度（逃逸速度）
四、 引力势能
343
1.第一宇宙速度v Ⅰ ：在地球表面发射物体使之绕地球表面做匀速圆周运动的最小发
射速度。
2.第二宇宙速度vⅡ （逃逸速度）：在地面发射物体使之摆脱地球的引力范围的最小 发射速度。则物体在离地球无限远处速度为零。
五、宇宙航行
344
3.第三宇宙速度vⅢ （脱离速度）：在地面发射物体使之摆脱太阳的引力范围的最小
发射速度。则物体在离太阳无限远处速度为零。
4.卫星的变轨
五、宇宙航行
345
1.恒星与行星
2.双星
3.中子星
4.黑洞
5.暗物质
五、星系
346
小结
1.机械运动
347
第五章 振动和波动
5.1 简谐运动
2024.10.12
高中物理强基计划
348
1.机械振动
物体在某一位置附近做往复运动称为机械振动。
2.平衡位置
该位置称为平衡位置。物体在平衡位置的速度最大，沿速度方向合力为零。 3.回复力
物体离开平衡位置时会受到使物体回到平衡位置的力。
一、机械振动
349
1. 定义：
（1）动力学方程：物体在与相对平衡位置的位移成正比、方向相反的回复力作用下 的振动称为简谐运动。回复力满足
（2）运动学方程（振动方程） ：位置-时间关系满足正弦函数规律的振动。
其中 满足 ， 满足
二、简谐运动
350
此微分方程的通解是
x = e αt ，其中α ± βi是r2 + 的两个根，
即 则
二、简谐运动
351
2.参考圆法（旋转矢量法）
设有一质点M沿半径为A的圆周以角速度w逆时针运动，则M在X轴的投影将以圆心为 平衡位置做简谐运动，则
3.振幅、圆频率、相位
振幅A， 圆频率w，相位wt + φ , 初相位φ
4.简谐运动的周期
二、简谐运动
352
二、简谐运动
5.简谐运动的能量
353
1.单摆的回复力
2.单摆的周期公式 3.等效单摆
三、单摆
354
小结
1.机械运动
355
第五章 振动和波动
5.2 振动的能量与共振
2024.10.12
高中物理强基计划
356
1.阻尼振动动力学方程
振动系统由于摩擦和其他阻力 ，系统能量将减小，振幅减小，称为阻尼振动。
2. 阻尼振动的三种形式
y不大（欠阻尼， w0 > β) 时：x = Ae βt cos wf t + φ ;
很大（过阻尼，
y适中（临界阻尼， w0 = β ) 时： x = A1 + A2 t e βt 。
其中， 称为阻尼系数， wf = 称为固有频率。
一、 阻尼振动
357
1.受迫振动的动力学方程
为了避免阻力带来振幅减小 ，需要施加外力。如果施加周期性外力，则称为受迫振动
解得
可知，经过足够长时间， x = Acos wt + φ ,做圆频率为w简谐运动。
二、受迫振动
358
2.受迫振动的周期
可知，受迫振动由减幅振动和等幅振动合成，经过足够长时间， x = Acos wt + φ , 做圆频率为w等幅运动。
周期 等于驱动力周期 ，与固有频率、 阻尼系数无关。
3.受迫振动的振幅
x = Acos wt + φ
振幅 与驱动力、 固有频率、驱动频率、 阻尼系数都有关。
二、受迫振动
359
1.来源
受迫振动稳定时
x = Acos wt + φ
振幅 随驱动力频率w改变而改变。
当w为特定值时，受迫振动振幅有最大值，发生共振。
令 解得 称为共振频率。
三、共振
360
若一个物体同时受到多个力的作用而发生振动，物体的振动就是各个力单独作用时产
生的振动的叠加。
（1）同方向、同频率
x1 = A1 cos wt + φ1 ， x2 = A2 cos wt + φ2
x = x1 + x2 = Acos wt + φ
其中 （小绿本有误）
若φ2 φ1 = 2Kπ（K = 0, ±1, ±2 ), A = A1 + A2，振动加强
若φ2 φ1 = 2K + 1 π（K = 0, ±1, ±2 ), A = A1 A2 ，振动减弱
三、振动的合成与分解
1.振动的合成
361
1.振动的合成
（2）同方向、不同频率：
x1 = Acos w1 t， x2 = Acos w2 t
若w1 ≈ w2， cos 变化极小 ，合振动可看成振幅为 2A cos
（随时间变化） 、角频率为 的周期性振动 ，称为“拍”。
拍周期（最大振幅出现周期）T ′ = cos θ 的周期是π)
三、振动的合成与分解
362
1.振动的合成
（3）相互垂直、同频率：
x = A1 sin wt + φ1 ， y = A2 sin wt + φ2
消去 = sin2 椭圆方程）
若 ，则 简谐运动 若 ，则 简谐运动
若φ1 φ2 = ± 则轨迹为椭圆
三、振动的合成与分解
363
1.振动的合成
（4）相互垂直、不同频率：当频率比为有理数时，合振动轨迹闭合且稳定（李萨如
三、振动的合成与分解
图）
364
三、振动的合成与分解
2.傅里叶分解
365
1.线性振动：简谐运动、阻尼振动、受迫振动（回复力与位移的一次方成
线性关系）
2.非线性振动： 回复力与位移的一次方不成线性关系
2.混沌：运动时间方程对初始条件高度敏感的非线性振动，无周期、不可 预测，但动力学方程确定
四、非线性振动
366
小结
1.机械运动
367
第五章 振动和波动
5.3 机械波
2024.10.12
高中物理强基计划
368
1.机械波的定义：
弹性介质中某一质点发生振动时，会对周围质点有弹力，使之发生振动，进而带动更 多质点持续振动，振动就在介质中传播开来。振动的传播叫波。
波传播的是“振动”这一运动形式，而非质点。
波还可以传播能量。
（1）机械波：机械振动在弹性介质的传播。机械波的两大条件：波源和介质
（2）电磁波：变化的电场合变化的磁场在空间的传播。
（3）物质波：微观粒子的运动
一、机械波的形成和传播
369
2.机械波的分类
（1）横波：质点振动方向和波的传播方向垂直。存在波峰和波谷。只在固体传播。
（2）纵波：质点振动方向和波的传播方向共线。存在密区和疏区。 固液气均传播。
一、机械波的形成和传播
370
（1）波长λ：相邻相位差为2π的质点之间的距离。
（2）周期T：波传播一个波长所用的时间。频率：周期倒数f =
（3）波速v：单位时间内某一振动状态传播的距离，等于波长与周期之比，即v = 。
同一介质中，不同频率的机械波波速相同。
一、机械波的形成和传播
3.机械波的参数
371
若波从。传向p，则O的振动状态经过 t = 才传到p，即t时刻P的振动状态是t t时
O的振动状态，故p的振动方程为
若波从p传向。，则P的振动方程为y = Asin w t + + φ 。因此波动方程为
若。先于p振动，则取减号，反之取加号。 372
1.波动方程
已知波源。的振动方程为y = Asin wt + φ 。
二、机械波的描述
3.波动图像
若t = t1，则
表示波在t1 时刻各个质点的位置关系（波动图像，或波形图）。
二、机械波的描述
373
1.波阵面
振动相位相同的点构成的面
2.惠更斯原理
媒质中波动传播到达的各点，都可看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻,这些子 波波面的包络(指和所有子波的波前相切的曲面或曲线)就是新的波前。
3.波的反射
4.波的折射
5.波的衍射
三、波的反射、折射、衍射
374
1.波的叠加原理
2.波的叠加
（1）同频率
（2）不同频率 3.波的干涉
4.驻波
四、波的干涉
375
1.能量密度
2.平均能量密度 3.平均能流
4.波的强度
五、波的能量
376
六、多普勒效应
1.多普勒效应
2.超波速运动
377
小结
1.机械运动
378
第六章 热学
6.1 分子动理论
2024.10.12
高中物理强基计划
379
1.大量分子
（1）质量为m的物质分子数为 NA ，NA = 6.02214129 × 1023
（2）分子直径d = 10 10m = 0.1nm，分子间距l ≈ d~10d
2.相互作用
（1）分子斥力：r 13反比 （2）分子引力：r 7反比 3.永不停息热运动
（1）扩散现象
（2）布朗运动
一、分子动理论基础
380
2.麦克斯韦气体分子速率分布函数
分子的速率分布是有规律的，即不同速率区间的分子占比存在统计学规律。麦 克斯韦定义分子速率分布函数
可求解：
物理含义：分子速率在v附近，单位速率区间分子数占总分子数的百分率。
二、麦克斯韦气体速率分布
381
（1）统计规律，仅适用于大量分子。
（2）反映某速率区间的分子占比，不能反映某速率的分子占比。
（3）不同温度下，有不同速率分布曲线。
（4）“中间高，两边小”——速率太小或太大的分子少，中等速率的分子最多。 最概然速率vp ：分子速率分布在vp 附近单位速率区间的分子占比最多
二、麦克斯韦气体速率分布
382
（1）能量较大的分子数较小，能量较小的分子数较大，分子总是优先占据低能量状 态。
（2）温度升高，高能量状态出现的概率增大。
（3）麦克斯韦速率分布是无外力场时玻尔兹曼能量分布的一个特例。
三、玻尔兹曼气体能量分布
383
1.理想气体：
（1）质点假设、相互作用假设、弹性碰撞假设（2）平衡态时服从麦克斯韦速率分布 2.理想气体压强的微观解释
（1）气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果
（2）气体压强等于单位时间内器壁上单位面积所受的平均冲量
3.理想气体的压强公式
其中，n = ，
四、理想气体的压强、温度和内能
384
推导：根据麦克斯韦速率分布，将分子按速率分组，每一组具有相同速率vi ，设数密
度为ni ，则同组中dt时间内与x方向单位面积ds碰撞的分子数：
分子与器壁碰撞后原速率反弹，对器壁的冲量为2m0 vix，则
四、理想气体的压强、温度和内能
385
4.理想气体温度表达式
由麦克斯韦速率分布可知 ，均方根速度
（1） 温度标志着物体内部分子热运动的剧烈程度，是大量分子热运动的平均平动动 能的唯一量度。
四、理想气体的压强、温度和内能
386
分子种类 平动自由度 转动自由度
总自由度
单原子分子 3 0
3
双原子分子 3 2
5
多原子分子 3 3 (θ无意义）
6
随质心平动：确定x、y、Z——三个自由度
绕质心转动：
确定转轴的方向： α 、β——两个自由组
确定物体绕轴转过的角度： θ——一个自由度
5.理想气体的内能
（1）分子自由度：确定一个物体在空间的位置，所需要的独立坐标数量。
四、理想气体的压强、温度和内能
387
5.理想气体的内能
（2）能量按自由度均分定理：在温度为T 的平衡态下，物质分子的每个自由度都具 有相同的平均动能。
理想气体分子平均平动动能 k = KT kx = ky = kz = k = KT
物质分子的任一自由度方向的平均动能为 KT
分子平均动能 KT， i为分子的自由度

ε

ε

ε

ε

ε
四、理想气体的压强、温度和内能
388
5.理想气体的内能
（3）理想气体的内能：气体中所有分子的动能
理想气体的内能取决于质量、分子种类（自由度）和热力学温度，内能的改变量只取 决于热力学温度改变量。
（4）气体定体摩尔热容： 1mol理想气体在等体过程中升高单位温度所吸收的热量
四、理想气体的压强、温度和内能
389
6.分子平均碰撞频率和平均自由程
（1） 刚性球模型：分子的有效直径d = 10-10m。
（2）分子A相对于其他分子的平均速率： = 2v-（麦克斯韦速率分布）
（3）折圆柱体：以A球心轨迹为轴， d为半径做折圆柱体。 球心在圆柱体内的分子将 于A发生碰撞。
dt时间内，与A发生碰撞的分子数：nπd2u-dt
平均碰撞频率 πd2 n
平均自由程：分子在连续两次与其他分子碰撞之间所通过的自由路程的平均值。
四、理想气体的压强、温度和内能
五、理想气体状态方程
1.理想气体状态方程的微观解释
得 即
p = nkT
391
1.分子动理论三大内容（大量分子、永不停息、相互作用）
2.麦克斯韦速率分布（统计假设、速率分布函数、三种特征速率） 3.玻尔兹曼能量分布
4.理想气体压强、温度和内能（理想气体、）
5.理想气体状态方程
小结——分子动理论
392
第六章 热学
6.2 气体定律
202

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