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5.1 分式及其基本性质
第五章 分式与分式方程
学习目标
课时讲解
1
分式的概念
分式的基本性质
约分
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时流程
2
知识点
知1－讲
感悟新知
1
分式的概念
定义 一般地，用A， B表示两个整式，A÷ B 可以表示成 的形式 . 如果B 中含有字母，那么称 为分式，其中 A称为分式的分子， B称为分式的分母 。
分式的“三要素”：(1)形如的式子；
(2) A， B为整式；(3)分母B 中含有字母。
知1－讲
感悟新知
注意：
分式中分母所含的字母是指可以取不同数值的字母。特别注意π表示圆周率，是常数。
知1－讲
感悟新知
2. 分式与分数的关系
类别 分数 分式
区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母
联系 都是形如 的式子
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用 .
2. 分式只看形式不看结果，如 是分式 .


感悟新知
知1－练
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
例1
考向：利用分式的概念识别分式
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用分式的三要素判断即可。
π是数，
不是字母。
知识点
分式有意义的条件
知2－讲
感悟新知
2
分式有意义的条件
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以
分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式才有意义.
知2－讲
感悟新知
注意:
1. 分式有无意义只与分母有关，而与分子无关。
2. 分母不为0 是指表示分母的整式的值不为0，而不是分母中字母的值不为0。
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 讨论分式有（无）意义，一定要对原分式进行讨论，而不能将原分式化简后再讨论。
2. 没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的，即分式中的分母不等于0。
感悟新知
知2－练
当x 取什么值时，下列分式有意义？
例2
解题秘方：分母的值不等于0 时，分式有意义.
考向：利用分式有意义的条件求字母的值或取值范围
感悟新知
知2－练
解：当5x－3 ≠ 0，即x ≠ 时，分式 有意义.
当|x|－1 ≠ 0，即x ≠ ±1 时，分式 有意义.
感悟新知
知2－练
解：∵无论x 取什么值，都有x2+3>0，
∴x 取任何实数，分式 都有意义.
当(x－2)(x+4)≠ 0，即x ≠ 2 且x ≠ －4 时，分式 有意义.
知识点
分式的值为0的条件
知3－讲
感悟新知
3
1. 分式的值
分式的值就是把分式中的字母用具体数值代入后，通过计算得出的结果。
知3－讲
感悟新知
2. 分式的值为0 的条件 当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0.
即：对于分式，当A=0 且B ≠ 0 时，=0.
知3－讲
感悟新知
3. 对常见的几种特殊分式值的讨论
(1)若的值为正数，则A， B 同号 .
(2)若的值为负数，则A， B 异号 .
(3)若的值为1，则A= B ，且B≠ 0.
(4)若的值为－ 1，则A=－ B ，且B≠ 0.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1.分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的. 所以分式的值为0的条件： A=0 且B ≠ 0 ，二者缺一不可.
2. 对于分式的几种特殊值的讨论：既要考虑分子，又要考虑分母。
感悟新知
知3－练
按下列条件求分式 的值：
(1) x=4； (2) x=- 。
例3
考向：求分式的值或利用分式的值为0 的条件
求字母的值
题型1 求分式的值
感悟新知
知3－练
解题秘方：把字母的值代入分式求值即可。
解：(1) 当x=4时， ；
(2) 当x=- 时， 。
===
===-
感悟新知
知3－练
当x 取何值时，下列分式的值为0 ？
例4
题型2 利用分式的值为0 的条件求字母的值
知3－练
感悟新知
解题秘方：根据分式的值为0 的条件求解。
感悟新知
知3－练
解：由 得x=－2，
∴当x=－2 时，分式 的值为0.
感悟新知
知3－练
解：由 得x=－3，
∴当x=－3 时，分式 的值为0.
由 ，得x=3，
∴当x=3 时，分式 的值为0.
若ab≠0，
则a≠0且b≠0.
若ab=0，
则a=0或b=0.
知识点
分式的基本性质
知4－讲
感悟新知
4
1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 .
字母表示：= ，= (m≠0)。
用途：进行分式的恒等变形
知4－讲
感悟新知
特别解读
1. 应用此性质时：一是要同时做“乘法”(或“除法”)运算；二是“乘”(或“除以”)的对象必须是同一个不等于0的整式。
2. 运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式。
知4－讲
感悟新知
2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.
用字母表示为：
(1)= = － = － ；
(2)－= － = = .
感悟新知
知4－练
写出下列等式中未知的分子或分母：
(1) = ;
(2) = ;
(3) = ; (4) = 。
例5
a2-ab
考向：利用分式的基本性质对分式进行变形
题型1 分式的基本性质在分式变形中的应用
x
2x
m2-n2
感悟新知
知4－练
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子。
感悟新知
知4－练
解：
感悟新知
知4－练
不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含
“－”号或分子、分母中的第一项都不含“－”号.
例6
题型2 分式的基本性质在改变分式的符号中的应用
感悟新知
知4－练
解题秘方：分式的分子、分母及分式本身的正负号，同时改变其中两个，分式的值不变。
感悟新知
知4－练
解：
知识点
分式的约分
知5－讲
感悟新知
5
1. 分式的约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.
知5－讲
感悟新知
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式。
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式。
3. 约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式。
知5－讲
感悟新知
2. 找公因式的方法
(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
(2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式.
知5－讲
感悟新知
3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
感悟新知
知5－练
化简下列分式：
(1) (2) (3)
例7
考向：分式的约分及最简分式的识别
题型1 分式的约分在化简中的应用
感悟新知
知5－练
解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(3)中的分子、分母都是多项式，先将多项式分解因式，再进行约分。
感悟新知
知5－练
解：
(2)
解：=m+n；
感悟新知
知5－练
解：
感悟新知
知5－练
下列各式中，最简分式有______________.
例8
题型2 最简分式的定义在识别最简分式中的应用
感悟新知
知5－练
解题秘方：根据最简分式的定义识别.
解：
课堂小结
分式及其基本性质
最简分式
或整式
约分
分式有无意
义的条件
分式的值为
零的条件
分式
结果

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