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5.3 分式方程
第五章 分式与分式方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
分式方程的概念
分式方程的解法
分式方程的应用
知识点
知1－讲
感悟新知
1
分式方程的概念
1. 分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程 .
分母中是否含有未知数是区分分式方程和
整式方程的依据 .
知1－讲
感悟新知
2. 判断一个方程是分式方程的条件
(1)是方程；
(2)含有分母；
(3)分母中含有未知数.
以上三者缺一不可.
知1－讲
感悟新知
特别解读
识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能运用等式的性质进行变形 .
感悟新知
知1－练
判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
例1
考向：利用分式方程的概念识别分式方程
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有未知数进行识别.
感悟新知
知1－练
解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数.
(2)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(3)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(4)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a 为非零常数，不是未知数.
知识点
分式方程的解法
知2－讲
感悟新知
2
1. 解分式方程的基本思路
去分母，把分式方程转化为整式方程.
知2－讲
感悟新知
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
感悟新知
3. 检验分式方程解的方法
（1） 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
（2） 将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。
知2－讲
感悟新知
4. 增根 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为 0，则这个解叫做原分式方程的增根.
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 解分式方程的关键是去分母 . 去分母时不要漏乘不含分 母的项，当分子是多项式时要用括号括起来 .
2. 解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去 .
3. 对增根的理解：
(1) 增根一定是分式方程化为的整式方程的解；
(2) 若分式方程有增根，则必是使最简公分母为 0时未知数的值.
感悟新知
知2－练
解下列方程：
解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解.
例2
考向：利用解分式方程的步骤解分式方程
感悟新知
知2－练
解：方程两边都乘以(x－4)(x－6)，
得x ( x－6)= ( x+2) ( x－4)，解得x=2.
当x=2 时， ( x－4) ( x－6)≠ 0.
∴原分式方程的解为x=2.
感悟新知
知2－练
解：方程两边都乘以(x－3)，
得2－x=－1－2(x－3). 解得x=3.
当x=3时，x－3=0，
∴ x=3 不是原分式方程的解. ∴原分式方程无解.
感悟新知
知2－练
解：方程两边都乘以3(x－1)，
得4x+6－3(5x－4)=3(x－1)，
解得x= . 当x= 时，3(x－1)≠ 0.
∴原分式方程的解为x= .
感悟新知
知2－练
解：原方程可化为
方程两边都乘以x(x+2)(x－2)，得4(x－2)+7x=6(x+2)，
解得x=4. 当x=4 时，x(x+2)(x－2)≠ 0.
∴原分式方程的解为x=4.
知识点
分式方程的应用
知3－讲
感悟新知
3
1. 列分式方程解应用题的一般步骤
（1） 审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系；
（2） 设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量；
知3－讲
感悟新知
（3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程；
（4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值；
（5） 验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否为所列分式方程的解，还要检验此解是否符合实际意义；
（6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整。
知3－讲
感悟新知
2. 列分式方程常用的等量关系
（1）行程问题：速度× 时间= 路程。
（2） 利润问题：利润= 售价- 进价；
利润率= 利润÷ 进价×100%。
（3） 工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率；
总工作量= 各个分工作量之和。
（4）储蓄问题：本息和= 本金+ 利息。
知3－讲
感悟新知
特别解读
1. 审题时，先寻找题目中的关键词，然后可借助列表、画图等方法准确找出等量关系。当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部(或大部分) 数量的等量关系列方程。
2. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，即直接设未知数；若直接设未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即间接设未知数；有时设一个未知数无法表示出等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数。
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知3－练
为加快城市群的建设与发展，要在 A， B 两城市间
新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的 120km缩短至 114km，列车的设计平均时速要比现行的平均时速快 110km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在 A， B 两城市间的运行时间 .
例3
考向：建立分式方程模型解决实际问题
题型1 行程问题
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知3－练
解题秘方：根据题意找出两个等量关系，一个用来设未知数，一个用来列方程解决问题 .
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知3－练
解：设建成城际铁路后列车在 A， B 两城市间的运行
时间为 xh，则现行的运行时间为 x h.
根据题意，得－ =110.解得 x=0.6.
当 x=0.6 时， x ≠ 0.
∴原分式方程的解为 x=0.6，且符合题意 .
答：建成城际铁路后列车在 A， B 两城市间的运行时间为0.6h.
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知3－练
为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠。
例4
题型2 工程问题
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知3－练
解题秘方：紧扣工程问题中几个量之间的关系，工作量一定，利用工作时间的等量关系列方程是解题的关键。
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知3－练
(1)计划修建灌溉水渠 600 米，甲施工队施工 5 天后，增加施工人员，每天比原来多修建 20 米，再施工 2 天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米 .
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知3－练
解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠 x 米，
则原来每天修建( x－20)米 .
由题意可得 5( x－20) +2x=600，
解得 x=100.
答： 甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠 100 米 .
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知3－练
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠 1800 米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按(1)中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建 360 米后，通过技术更新，每天比原来多修建 20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米 .
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知3－练
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠 m 米，则技术更
新后每天修建灌溉水渠 1.2 m 米 . 1 800÷ 2=900(米) .
由题意可得+ = ，解得 m=90.
经检验， m=90 是原分式方程的解 .
答： 乙施工队原来每天修建灌溉水渠 90 米 .
感悟新知
知3－练
[中考·青岛节选] 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型。已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2 000元购买航空模型的数量是用1 800元购买
航海模型数量的。求航空和航海模型的单价。
例5
题型 3 购物问题
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知3－练
解题秘方：根据“用2 000 元购买航空模型的数量是用1 800 元购买航海模型数量的”设未知数列方程求解即可。
解：设航空模型的单价为 x 元，
则航海模型的单价为（ x-35）元。
根据题意，得= × ，解得 x=125。
经检验，x=125是所列方程的根，且符合题意。
所以 x-35=90。
答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元。
感悟新知
知3－练
课堂小结
分式方程
解法
列
分式方程的应用
增根
产生
分式方程

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