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6.3 多边形的内角和与外角和
第六章 平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
多边形的内角和
多边形的外角和
感悟新知
知1－讲
知识点
多边形的内角和
1
1. 定理 n 边形的内角和等于( n － 2) ×180°。
感悟新知
知1－讲
2. 公式的证明
类别 证明方法 图形
证法1 从n 边形的一个顶点出发可以作（n-3） 条对角线， 将这个n 边形分成（n-2） 个三角形， 这（n-2） 个三角形的内角 和恰好是这个n 边形的内角和， 为 （n-2）×180°
感悟新知
知1－讲
类别 证明方法 图形
证法2 在n 边形内任取一点O，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，共构成n 个三角形，这n 个三角形的内角和为n×180°， 再减去一个周角，即可得到n 边形的内角和为（n-2）×180°
感悟新知
知1－讲
类别 证明方法 图形
证法3 在n 边形的一边上任取一点O，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，共构成（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和为（n-1）×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为（n-2）×180°
类别 证明方法 图形
证法4 在n 边形外任取一点O，并把这点与n 边形的各个顶点连接起来，得到以n 边形的边为一边，顶点为O 的三角形有n 个，这n 个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为（n-2）×180°
感悟新知
知1－讲
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 由n 边形的内角和公式（n-2）×180 ° 可知n 边形的内角和一定是180°的整数倍。
2. 多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°。
知1－讲
感悟新知
教你一招
1. 正多边形的内角和可以用每个内角的度数乘正多边形内角的个数（或正多边形的边数）来表示。
2. 因为正多边形的每个内角相等，所以正n 边形的每个内角的度数为。
感悟新知
知1－练
如图6.3-1，五边形 ABCDE 是正五边形，求∠ BCA
的度数 。
解题秘方：紧扣多边形的内角和公式求出相关角的度数。
例1
考向：利用多边形的内角和公式求多边形的角度或边数
题型1 多边形的内角和公式在求角的度数中的应用
感悟新知
知1－练
解：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
∴∠ B= =108°， AB=BC。
∴ ∠ BCA= ∠ BAC= ( 180 °－∠ B) =
(180 °－108°) =36° 。
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知1－练
根据下列条件求多边形的边数：
(1) 多边形的内角和是 1 620°；
(2) 正多边形的每个内角均为 120° 。
解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程，再求解。
例2
题型2 已知多边形的内角和（或内角）求边数
知1－练
感悟新知
解：设多边形的边数为 n，
根据题意得，( n － 2 ) ·180° =1 620° ，
解得 n=11.
故多边形的边数为 11.
已知内角和，设出边
数 n，利用内角和公
式列出方程求边数 n。
(1) 多边形的内角和是 1 620°；
知1－练
感悟新知
解：设正多边形的边数为 x，
由题意得( x－2) ·180° =120° x，
解得 x=6。
故正多边形的边数为 6。
(2) 正多边形的每个内角均为 120° 。
感悟新知
知2－讲
知识点
多边形的外角和
2
1. 多边形的外角
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的外角。
2. 多边形的外角和
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和。
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 多边形的外角和恒等于360°，与边数无关。
2. 正n边形的每一个外角都是。
3. 若正多边形的一个外角为α°，则正多边形的边数为。
感悟新知
知2－讲
3. 定理 多边形的外角和等于360°。
推导过程：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和为n·180°，所以多边形的外角和等于n·180°-（n-2）·180°=360°。
知2－练
感悟新知
根据下列条件解决问题：
(1) 一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为 72° ，求该多边形的边数；
例3
考向：多边形外角和的相关计算
题型1利用多边形的外角和定理计算
知2－练
感悟新知
解题秘方：根据多边形的外角和定理计算。
解： 设该多边形的边数为 n.
由题意得 n × 72° =360°，解得 n=5。
∴该多边形的边数为 5。
知2－练
感悟新知
(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于 30°，求这个正多边形的边数 。
解： ∵多边形的外角和为 360°，
∴ 360° ÷30° =12。
故这个正多边形的边数为 12。
知2－练
感悟新知
A
[中考·遂宁]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4 倍，则该多边形的边数为( )
A. 10 B. 11
C. 12 D. 13
例4
题型 2 多边形内角和与外角和的综合应用
知2－练
感悟新知
解题秘方：已知多边形的内角和与外角和的关系时，可以利用多边形内角和公式与多边形的外角和等于 360°建立方程求解。
解：设该多边形的边数为 n。
根据题意，得（n-2）×180°=4×360°，解得 n=10。
故该多边形的边数为 10。
多边形的内角和与外角和
内角
多边形
外角
外角和
内角和

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