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1.2 等腰三角形
第一章 三角形的证明
学习目标
课时讲解
1
等腰三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定
反证法
含30°角的直角三角形的性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时流程
2
知1－讲
感悟新知
知识点
等腰三角形的性质定理
1
1. 性质定理1 等腰三角形的两底角相等。这一定理可简述为：“等边对等角”。
特别解读
1. 适用条件：必须在同一个三角形中。
2. 作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便。
知1－讲
感悟新知
2. 性质定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（简述为“三线合一”）
3. 等腰三角形中特殊线段的性质
（1）等腰三角形两底角的平分线相等；
（2）等腰三角形两腰上的中线相等；
（3）等腰三角形两腰上的高线相等。
感悟新知
知1－练
考向：利用等腰三角形的性质定理求角度
如图1.2-1，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线。若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A. 20°
B. 35°
C. 40°
D. 70°
B
例1
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质定理，根据已知条件得到角的数量关系进行求解。
感悟新知
知1－练
解：（ 方法一）
∵AD是△ABC的中线，AB=AC，
∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°。
又∵∠CAD=20°，
∴∠ACB=180°- ∠CAD- ∠ADC=70°。
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE= ∠ACB=35°。
感悟新知
知1－练
（方法二） ∵AD是△ABC的中线，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，∠ABC= ∠ACB，
∴∠BAC=2 ∠CAD=40°。
∴∠ACB= （180°- ∠BAC）=70°。
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE= ∠ACB=35°。
感悟新知
知2－讲
知识点
等边三角形的性质定理
2
1. 性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
2. 等边三角形的其他性质
(1)等边三角形的三条边都相等；
(2)等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(3)等边三角形各边上的高、中线及各角的平分线互相重合，且长度相等 .
感悟新知
知2－讲
知2－讲
感悟新知
特别解读
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以：
1. 任意两边都可以作为腰；
2. 任意一个角都可以作为顶角。
知2－讲
感悟新知
考向：利用等边三角形的性质解决问题
题型1 等边三角形的性质在求角的度数中的应用
知2－练
感悟新知
如图1.2-2，△ ABC 是等边三角形， D， E， F 分
别是三边 AB， AC， BC 上 的 点， 且 DE ⊥ AC， EF ⊥ BC，FD ⊥ AB，求△ DEF 各个内角的度数 .
例2
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于 60°，求角的度数 .
知2－练
感悟新知
解：∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ A= ∠ B= ∠ C=60° .
∵ DE ⊥ AC， EF ⊥ BC， FD ⊥ AB，
∴∠ AED= ∠ EFC= ∠ FDB=90° .
∴∠ ADE=180° － ∠ AED － ∠ A=
180° － 90° － 60° =30° .
∴∠ EDF=180° － 30° － 90° =60° .
同理可得∠ DEF= ∠ EFD=60°，
∴△ DEF 各个内角的度数都是 60° .
知2－练
感悟新知
如图1.2-3， 已知 △ ABC 为等 边三角形， 点 D， E 分别在 BC， AC 边上， 且AE=CD， AD 与 BE 相交于点 F.
例3
题型2 等边三角形的性质在证明三角形全等中的应用
知2－练
感悟新知
解题秘方：利用等边三角形的三条边相等、三个内角相等且都为60°的性质为证明三角形全等提供条件。
知2－练
感悟新知
(1)求证：△ ABE ≌△ CAD.
证明：∵△ ABC 为等边三角形，
∴∠ BAE= ∠ ACD=60°， AB=CA.
在△ ABE 和△ CAD 中，
∴△ ABE ≌△ CAD(SAS) .
知2－练
感悟新知
(2)求∠ BFD 的度数 .
解：∵△ ABE ≌△ CAD，∴∠ ABE= ∠ CAD.
∵∠ BFD= ∠ ABE+ ∠ BAF，
∴∠ BFD= ∠ CAD+ ∠ BAF= ∠ BAC=60° .
感悟新知
知3－讲
知识点
等腰三角形的判定定理
3
判定定理
判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。这一定理可以简述为：等角对等边。
知3－讲
感悟新知
特别提醒
“等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等 .
感悟新知
知3－讲
2. 等腰三角形的性质定理与判定定理的异同
相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” .
不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它们所对的边相等，是等腰三角形的判定。
感悟新知
知3－练
如图1.2-4， 在△ ABC 中， P 是 BC边上一点，过点 P 作 BC 的垂线，交 AB 于点 Q，交 CA 的延长线于点 R. 若 AQ=AR，则△ ABC 是等腰三角形吗？请说明理由 .
例4
考向：利用等腰三角形的判定方法判定等腰三角形
知3－练
感悟新知
解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形的两个内角相等即可 .
知3－练
感悟新知
解：△ ABC 是等腰三角形 . 理由如下：
∵ AQ=AR，∴∠ R= ∠ AQR.
又∵∠ BQP= ∠ AQR，∴∠ R= ∠ BQP.
∵ RP ⊥ BC，∴∠ RPB= ∠ RPC=90° .
∴∠ B+ ∠ BQP=90°，∠ C+ ∠ R=90° .
∴∠ B= ∠ C. ∴ AB=AC，即△ ABC 是等腰三角形 .
感悟新知
知4－讲
知识点
反证法
4
1. 概念
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
2. 用反证法证明命题的一般步骤
（1）反设：假设命题结论不成立。
（2）归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。
（3）定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确。
感悟新知
知4－讲
知4－讲
感悟新知
特别解读
适合用反证法证明的命题类型：
1. 结论以否定形式出现的命题；
2. 唯一性命题；
3. 结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题 .
感悟新知
知4－讲
注意:
用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的。
感悟新知
知4－讲
3. 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式
结论词 是 都是 大(小) 于 能 相等 至少 有一个 至多 有一个 负数
否定 形式 不是 不都是 不大 (小)于 不能 不相等 一个也 没有 至少 有两个 非
负数
知4－练
感悟新知
求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角 .
例5
考向：利用反证法进行证明
知4－练
感悟新知
解题秘方：本题是命题类证明题，需要先写出已知、求证，然后利用所学知识写出证明过程。本题不易直接证明，可考虑运用反证法来证明。
已知：∠ A，∠ B，∠ C 是△ ABC 的三个内角 .
求证：∠ A，∠ B，∠ C 中不能有两个角是钝角 .
证明：假设∠ A，∠ B，∠ C 中有两个角是钝角，不妨设∠ A>90°，∠ B>90°，则∠ A+ ∠ B+ ∠ C>180° .
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A，∠B均大于90°”不成立。
所以，在一个三角形中，不能有两个角是钝角。
知4－练
感悟新知
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知5－讲
知识点
等边三角形的判定定理
5
1. 判定定理 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 .
感悟新知
知5－讲
2. 判定定理 2
有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 .
证明等边三角形的思维导图：
知5－讲
感悟新知
特别解读
在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，都可以用判定定理2判定等边三角形.
感悟新知
知5－练
如图1.2-5，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F， 延长FD，CA交于点E。若∠E=30°，AD=AE。求证：△ABC为等边三角形。
例6
考向：利用等边三角形的判定方法判定等边三角形
感悟新知
知5－练
解题秘方：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出△ ABC 三个内角的数量关系，从而得出结论。
证明：∵ AD=AE，∠ E=30°，
∴∠ ADE= ∠ E=30°。
∴∠ BAC= ∠ E+ ∠ ADE=60°。
∵ DF ⊥ BC，∴∠ EFC=90°。
∴∠ C=180° - ∠ EFC- ∠ E=60°。
∴∠ B=180° - ∠ C- ∠ BAC=180° -60° -60° =60°。
∴∠ BAC= ∠ B= ∠ C。∴△ ABC 为等边三角形。
感悟新知
知5－练
知5－练
感悟新知
方法点拨
等边三角形的判定方法：
1. 若已知三边关系，一 般选用定义判定；
2. 若已知三角关系，一般选用判定定理 1判定；
3. 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理 2 判定 .
感悟新知
知6－讲
知识点
含 30°角的直角三角形的性质
6
1. 定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 .
几何语言：如图1.2-6，在 Rt △ ABC 中 ，
∵∠ C=90°，∠ A=30°，∴ BC= AB.
感悟新知
知6－练
2. 作用 证线段的倍分关系和求线段的长度 .
考向：利用含 30°角的直角三角形的性质解决线段问题
如图 1.2-7，在等边三角形 ABC 中， AE=CD，AD， BE 相交于点 P， BQ ⊥ AD 于点 Q. 求证： BP=2PQ.
例7
知6－练
感悟新知
解题秘方：利用含 30°角的直角三角形的性质证明线段的倍分关系 .
知6－练
感悟新知
证明：在等边三角形 ABC 中， AB=CA，
∠ BAE= ∠ C=60° .
又∵ AE=CD，∴△ ABE ≌△ CAD(SAS) .
∴∠ ABE= ∠ CAD.
∴∠ BPQ= ∠ ABE+ ∠ BAP= ∠ CAD+ ∠ BAP=
∠ BAE=60°.
∵ BQ ⊥ AD，∴∠ BQP=90° .
∴∠ PBQ=30° . ∴ BP=2PQ.
等腰三角形
方法
等边三角
形的性质
与判定
反证法
等腰三角
形的性质
与判定
全等三角
形的性质
与判定
特殊
证明的
依据

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