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四川省绵阳市三台中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．对于平面内两个非零向量和，，和的夹角为锐角，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．设，为两个平面，m、n为两条直线且.以下为假命题的是（ ）
A．若，则且 B．若，则n平行于平面内的无数条直线
C．若且，则 D．若n在平面外，则m与n平行或异面或相交
6．已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若是边长为1的正三角形，则
C．若，，，则有一解
D．若，则是等腰直角三角形
8．已知函数（且）为奇函数，若方程有两个不同的实数解，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．当取得最大值时，
D．的最大值为
10．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线DP与直线所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．P为线段的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
11．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．是图象的一条对称轴
C．是图象的一个对称中心 D．在区间内单调递减
三、填空题
12．已知复数满足，则 .
13．已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为 .
14．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为 .
四、解答题
15．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
16．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点．
(1)求中线AM的长；
(2)求的余弦值；
(3)求面积．
17．记为数列的前n项和.已知.
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)D为BC上一点，．
（i）若，求的值；
（ii）若，求面积的最大值．
19．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若数列满足，记为数列的前项和．证明：．
参考答案
1．D
【详解】且，
得到，
所以.
故选：D.
2．C
【详解】设非零向量和的夹角为，则.
由，得，则，即，，
，，因此，是的必要不充分条件.
故选：C.
3．A
【详解】由得，
故曲线在点处的切线斜率为，而，
故曲线在点处的切线方程为，即，
故选：A
4．B
【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量，
因此，又是单位向量，所以.
故选：B
5．A
【详解】对于选项A，若，则且或或，故A错误；
对于选项B，若，，因为，过直线可以有无数个平面与相交，
则交线与直线平行，故B正确；
对选项C，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，
则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故C正确；
对于选项D，若n在平面外，则或与相交，
当则时，或异面，
当与相交时，相交或异面，故D正确；
故选：A.
6．D
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，所以，
因为，所以，所以圆锥的高为，
则该圆锥的体积为，
故选：D.
7．A
【详解】对于A：若是锐角三角形，则，且，
即，则，
所以，故A正确；
对于B：由题设，故B错误；
对于C：若，，，
由正弦定理得，，即，故，
因为，所以，故为锐角或钝角，有两解，故C错误；
对于D：若，则，
即，因为，则，所以或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误；
故选：A.
8．D
【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，解得，
当时，函数，则，
所以，则，即，
因为方程有两个不同的实数解，
即有两个不同的实数解，
令，则，可得，
即在有两个不同的实数解，
所以函数和的图象在上有两个不同的交点，
又因为，当且仅当时，即时，等号成立，
当时，，且时，，
画出函数的图象，如图所示，
结合图象，可得，
即方程有两个不同的实数解，实数的取值范围为.
故选：D.
9．ACD
【详解】对于A， 若，则，所以，故A正确；
对于B， 若，则，所以，故B错误；
对于C，，
其中且，当取得最大值时，
则，所以
，
故C正确；
对于D，，
其中且，当时，取得最大值为
，此时，故D正确.
故选：ACD.
10．AB
【详解】，平面，平面，则平面，
则点到平面的距离为定值，故 为定值，故A正确；
如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等，当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，故B正确；
如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，故C错误；
如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，
其中上底，下底，腰为，则梯形高为，所以等腰梯形的面积为，故D错误.
故选：AB.
11．ACD
【详解】对于A，
，所以不是的一个周期，故A错误；
对于B，
，所以是图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，
，可得，
所以不是图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，
，
当时，，此时，，
当时，，此时，，
当时，，此时，，
可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间内不单调递减，故D错误.
故选：ACD
12．
【详解】由复数满足，可得，则.
故答案为：.
13．
【详解】的图象关于直线对称，则，即，解得，
，当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
14．7
【详解】由题意可知：正四棱台的体积为，
根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7.
故答案为：7.
15．(1)
(2)的周长为
【详解】（1），，且，
则，
在中，由正弦定理可得，
，
又在中，，
则，
所以，即，
又，所以，即，
又，则；
（2），，
又，
，，
故的周长为.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为为BC的中点，，
，
.
（2）因为
,
，
.
（3）为中线的交点，为重心，
，
，，
.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由可得，
当时，，
故，
化简可得，
由于，故，即为常数，
因此为等差数列，
（2）由（1）知为等差数列，且公差为，
又，，成等比数列，故，解得，
故，
故，
故，
单调递减，故单调递增，因此，
恒成立，故，解得，
18．(1)；
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，即，
整理得，而，所以.
（2）（i）由，得，，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，
所以.
（ii）由得，得，则，
因此，即，
当且仅当时取等号，则，，
所以当时，的面积取得最大值.
19．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)．
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，
故当单调递减；
当单调递增．
综上，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由题意，．
①当时，在单调递减，
由，不合题意；
②当时，在单调递减，单调递增．
由恒成立，得．
即．
令，
恒成立，
所以在单调递减，且．
故当，符合题意，
当，不合题意．
综上，的取值范围为．
（3）由，
得，且．
由（2）可知，令，有可得，
令可得即．
由得即．
两边取对数得，由上述不等式得
于是，
所以．
当时，，不等式成立；
当时，
．即当时，不等式成立．
综上，得证．

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