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第9章　图形的变换
9．3 旋转
第2课时　旋转的基本性质
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A
1.
如图，在正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′(所有顶点都是网格线的交点)，在网格线交点M，N，P，Q中，是旋转中心的是(　　)
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
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2.
B
如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于点A处，将其中一块三角板绕点A旋转，下列结论始终成立的是(　　)
A．∠BAE＞∠DAC
B．∠BAE＋∠DAC＝180°
C．∠BAE－∠DAC＝45°
D．∠BAD≠∠EAC
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3.
30°
如图，将△OAB绕着点O逆时针连续旋转两次得到△OA″B″，每次旋转的角度都是40°.若∠B″OA＝110°，则∠AOB的度数为________.
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4.
99°
[南通期末]如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，BC与地面的夹角∠BCA＝55°，∠α＝26°，小明同学将它扶起(绕点C逆时针旋转)后平放在地面上，AB的对应线段为A′B′，在这一过程当中，簸箕柄AB绕点C旋转了________.
5.
解：如图，△A1B1C1即为所求．
(12分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上．
(1)把△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
如图，△A2B1C2即为所求．
(2)将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°得到△A2B1C2，画出△A2B1C2；
(3)试判断AB与A2B1的位置关系.
由平移的性质，得AB∥A1B1，由旋转的性质，得∠A2B1A1＝90°，即A2B1⊥A1B1，所以AB⊥A2B1.
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6.
C
如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面内，可作为旋转中心的点有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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7.
18
[连云港月考]某游乐场里的摩天轮上以等间隔的方式设置了36个座舱，该摩天轮按逆时针方向匀速转动，且旋转一圈需要24分钟．若此时A号座舱正好运行到B号座舱的正前方，如图所示，则至少再过________分钟A号座舱正好运行到B号座舱的正上方.
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8.
解：(1)如图，点P即为所求．
(2)如图，△BB′C′即为所求．
(8分)如图，△ABC的边AB绕点P旋转到BB′的位置，点B′是B的对应点，点B是A的对应点．
(1)确定点P的位置(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)画出△ABC绕点P旋转后的图形(保留作图痕迹，不写作法).
9.
15°
(16分)如图①，直角三角板DEF与直角三角板ABC的斜边在同一条直线上，∠EDF＝30°，∠ABC＝45°，∠ACB＝∠E＝90°，CD平分∠ACB．△ABC不动，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，
记∠ADF为α(0°＜α＜180°)，
在旋转过程中：
(1)如图②，当α＝________时，DE∥BC；当α＝________时，EF∥AB．
60°
【点拨】
因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠ABC＝45°.
又因为∠EDF＝30°，所以∠ADF＝45°－30°＝15°，
即α＝15°. 因为EF∥AB，所以∠EDA＋∠E＝180°.
又因为∠E＝90°，所以∠EDA＝90°.
又因为∠EDF＝30°，
所以∠ADF＝90°－30°＝60°，即α＝60°.
(2)将△DEF绕点D按逆时针方向旋转到如图③的位置，边DE与BC的延长线交于点P，边DF与AC交于点Q，求∠BPD＋∠AQD的大小．
解：如图①，设AC与DE的交点为H.
因为∠AQD＝180°－∠HQD＝∠QDH＋∠DHQ，∠DHQ＝∠CHP，∠QDH＝30°，
所以∠AQD＝∠CHP＋30°.
因为∠BCA＝90°，
所以∠ACP＝90°，
所以∠BPD＋∠CHP＝90°，
所以∠BPD＋∠AQD＝∠BPD＋∠CHP＋30°＝120°.
0°＜α≤60°或90°≤α＜180°
(3)当顶点C不在△DEF内部时，α的范围是__________________________．(三角形的内部不包含三角形的边)
【点拨】
①当点C在DE上时，易得∠EDA＝90°，所以α＝90°－30°＝60°；
②当点C在DF上时，易得∠FDA＝90°，所以α＝90°.
所以当60°＜α＜90°时，顶点C在△DEF内部．
所以当0°＜α≤60°或90°≤α＜180°时，
顶点C不在△DEF内部．
综上所述，α的范围是0°＜α≤60°或90°≤α＜180°.
15°或105°或135°
(4)在旋转过程中，当α＝________________时，△DEF的一边与AC平行.
【点拨】
如图②，当EF∥AC时，设DE与AC的交点为M，
则∠DMA＝∠E＝90°.
易知∠A＝45°，所以∠MDA＝45°，
所以∠ADF＝45°－30°＝15°，即α＝15°；
如图③，当DE∥AC时，∠BDE＝∠A＝45°.
又因为∠EDF＝30°，
所以∠ADF＝180°－45°－30°＝105°，即α＝105°；
如图④，当DF∥AC时，∠FDB＝∠A＝45°，
所以∠ADF＝180°－45°＝135°，即α＝135°.
综上所述，α的度数为15°或105°或135°时，△DEF的一边与AC平行．
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第9章　图形的变换
9．2 轴对称
第3课时　轴对称的基本性质
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A
1.
[镇江月考]如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列结论不一定正确的是(　　)
A．AD⊥BC
B．AC⊥PQ
C．PQ平分线段AC
D．AC∥BD
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2.
A
[盐城期末]如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′，BB′，CC′，其中BB′分别交AC，A′C′于点D，D′，下列结论：①AA′∥BB′；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直线l垂直平分AA′；④直线AB与直线A′B′的交点不一定在直线l上．其中正确的是(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①③④
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3.
对应点到对称轴的距离相等
把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫作滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换(如图①)．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，
两个对应三角形(如图②)的对应点所具有的性质是____________________________.
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4.
110°
如图，在△ABC中，∠A＝40°，D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′.当B′D∥AC时，∠CDB＝________.
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5.
解：如图①，②所示，△A′B′C′即为所求．
(4分)如图①，②，作△ABC关于直线l的轴对称图形.
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6.
解：如图所示，直线m即为所求．
(4分)如图，△ABC和△A1B1C1成轴对称，试作出对称轴．(不写作法，保留作图痕迹)
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7.
C
下列说法不正确的有(　　)
①两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧；
②两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴；
③两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧；
④若A，B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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8.
10
[无锡模拟]如图，在△ABC中，将∠B，∠C按如图所示的方式折叠，点B，C均落于边BC上的Q处，MN，EF为折痕，若NQ＝3，QF＝2，则BC＝________.
9.
解：如图，直线EF即为所求．
(8分)如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
(1)作出直线EF；(不写作法，保留作图痕迹)
如图，连接B′O.
因为△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，
所以∠BOM＝∠B′OM.
同理可得∠B′OE＝∠B″OE.
所以∠BOB″＝2∠B′OM＋2∠B′OE＝2∠MOE＝2α，
即∠BOB″是直线MN，EF所夹锐角α的2倍．
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系.
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10.
解：如图①.
(12分)(1)如图①，点A，B在直线l两侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA＋PB的值最小；
如图②.
(2)如图②，点E，F在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PE＋PF的值最小；
如图③.
(3)如图③，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC的周长最小．(不写作法，保留作图痕迹)
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第9章　图形的变换
9．1 平移
第1课时　平移的概念
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A
1.
下列物体的运动中，属于平移的是(　　)
A．电梯上下移动　　　
B．翻开数学课本　　　
C．电扇扇叶转动　　　
D．篮球向前滚动
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2.
C
第12届世界运动会于2025年8月在四川成都成功举行，其会徽灵感源于大熊猫、芙蓉花、中国结，传达了奥林匹克精神，凸显了中国传统元素与成都特色．以下会徽图案能通过左图平移得到的是(　　)
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3.
A
如图所示，△FDE经过怎样的平移可得到△ABC？(　　)
A．沿射线EC的方向移动DB长
B．沿射线CE的方向移动DB长
C．沿射线EC的方向移动CD长
D．沿射线BD的方向移动CD长
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4.
2
将△ABC平移得到△A′B′C′，其中AB＝2，∠A＝45°，∠C＝30°，则A′B′＝________，∠B′＝________.
105°
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5.
2.1
[宿迁月考]如图，△ABC平移到△A′B′C′的位置，量得A，A′之间的距离为2.1 cm，则B，B′之间的距离是________cm.
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6.
2
如图，线段CD是线段AB经过向左平行移动________格，再向________平行移动3格得到的.
下
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7.
解：如图，三角形A1B1C1即为所求．
(4分)已知在8×8的方格纸中，每个小方格均为边长是1个单位长度的正方形，三角形ABC的位置如图所示，将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移
4个单位长度后，得到三角形A1B1C1，
请画出三角形A1B1C1.
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8.
A
确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要什么条件？下面来进行体会：将△ABC平移得到△DEF，不能确定△DEF位置的是(　　)
A．已知平移的方向
B．已知点A的对应点D的位置
C．已知边AB的对应边DE的位置
D．已知∠A的对应角∠D的位置
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9.
24
[镇江月考]如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移
2个单位长度得到△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为________.
10.
解：因为△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，
所以DE＝AB＝8，所以HE＝DE－DH＝8－2＝6.
(8分) 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF.已知AB＝8，CF＝3，DH＝2，且DE交AC于点H.
(1)求线段HE的长；
(2)求图中阴影部分的面积.
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11.
(12分)图形操作(图①，图②中的长方形的长均为10米，宽均为5米)：
在图①中，将线段AB向上平移1米得到A′B′，可得封闭图形AA′B′B(阴影部分)；
在图②中，将折线ABC(其中点B叫作折线ABC的一个“折点”)向上平移1米得到折线A′B′C′，可得封闭图形AA′B′C′CB(阴影部分)．
40
(1)【问题解决】设图①，图②中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1，S2，则S1＝________平方米，并比较大小：S1________S2(填“＞”“＝”或“＜”)；
(2)【联想探索】如图③，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路的宽度是1米)，长方形的长为a米，宽为b米，请你求出空白部分表示的草地的面积(用含a，b的式子表示)；
＝
解：空白部分表示的草地的面积是a(b－1)＝(ab－a)平方米．
耕地的面积是(32－4)×(20－4)＝448(平方米)．
(3)【实际运用】如图④，在长方形土地内修筑同样宽的“相交”的道路(道路与长方形的边平行或垂直)，余下部分作为耕地，若道路的宽都为4米，求耕地的面积.
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第9章　图形的变换
9．3 旋转
第1课时　旋转的概念
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B
1.
下列现象：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．
其中属于旋转的有(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
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2.
B
[泰州月考]将如图所示的小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是(　　)
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3.
B
[吉林中考]如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为(　　)
A．90° B．120°
C．150° D．180°
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4.
O
如图是小明荡秋千的示意图，小明坐在秋千上，秋千旋转了76°，小明的位置也从点A运动到了点A′，则旋转中心是点________，旋转角是∠________＝________.
AOA′
76°　
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5.
135°　
如图，等腰直角三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，使A，C，B′三点共线，那么旋转角的最小度数为________.
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6.
40°
如图，将直角三角形ABC绕点A逆时针旋转70°得到直角三角形AB1C1，若∠C＝90°，∠B＝60°，则∠BAC1＝________.
7.
解：点O的位置如图所示．
(12分)如图，在网格中，△ABC的顶点均在格点上，A′，C′分别是A，C两点绕某一点O旋转同样的角度后的对应点．
(1)请在图中作出旋转中心O的位置；
90
(2)点A′是点A绕点O最少旋转________度得到的；
(3)画出△ABC绕点O旋转同样的角度后得到的△A′B′C′.
△A′B′C′如图所示．
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8.
B
[无锡中考]如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′.当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为(　　)
A．65°
B．70°
C．80°
D．85°
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9.
45°或135°或165°或30°或75°
一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α(0°＜α＜180°)，当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，α的值是________________________.
10.
(8分)如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，AC与DE交于点F.
(1)若AC⊥DE，求∠DAC的度数；
解：因为将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，
所以∠D＝∠B＝50°.
因为AC⊥DE，所以∠AFD＝90°，
所以∠DAC＝180°－∠AFD－∠D＝180°－90°－50°＝40°.
(2)若AD平分∠BAC，求∠CFE的度数.
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11.
(12分)数学综合实践课上，小明用一块直角三角板COD进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线AB上，将边OC落在射线OA上，边OD位于直线AB上方，三角板COD绕点O顺时针旋转，旋转角为α，
作射线OE平分∠BOC交CD所在直线于点E.
(1)【提出问题】如图①，若α＝70°，求∠DOE的度数．
(2)【探索发现】如图②，若90°＜α＜180°，求∠DOE与∠AOC之间的数量关系．
解：不存在，∠DOE与∠AOC之间的
关系是2∠DOE＋∠AOC＝360°.
(3)【拓展探究】如图③，若180°＜α＜270°，此时∠DOE与∠AOC之间还存在(2)中的数量关系吗？若存在，说明理由；若不存在，直接写出∠DOE与∠AOC之间的关系.
【点拨】
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第9章　图形的变换
9．2 轴对称
第4课时　轴对称图形
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C
1.
中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列
四个选项中，是轴对称图形的为(　　)
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2.
D
下列图案中，有且只有三条对称轴的是(　　)
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3.
圆
“线段、角、圆、正方形、等边三角形”这五个图形中，对称轴最多的图形是________.
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4.
130°
如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAC＝65°，∠B＝50°，则∠BCD的大小为________.
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5.
2
我国传统的木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这个图案有______条对称轴.
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6.
解：所补画的图形如图所示．
(4分)如图是由三个有阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画一个有阴影的小正方形，使补画后的阴影图形为轴对称图形.
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7.
解：(1)(2)如图．
(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，按下列要求作图．(尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)
(1)作AB边的垂直平分线，交AC于点E，交AB于点F；
(2)连接CF，作∠BFC的平分线，交BC于点G.
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8.
C
[资阳中考]如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN；再分别以点M和点N为圆心，大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E.若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
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9.
如图，在长方形ABCD中，长BC＝a，宽AB＝b(b＜a＜2b)，四边形ABEH和四边形ECGF都是正方形．当a，b满足的等量关系是__________时，整个图形是一个轴对称图形.
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10.
5
如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形共有________个.
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11.
解：如图所示，∠ABC即为所求．
(4分)尺规作图：作一个度数为45°的角．(不必写出作法，仅保留作图痕迹)
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12.
解：如图所示．
(4分)如图，点A，B，C都在方格纸的格点上．请你再找一个格点D，使点A，B，C，D组成一个轴对称图形，并画出对称轴.
13.
(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的B′处．
(1)求∠ECF的度数；
(2)若CE＝4，B′F＝1，求△BCE的面积.
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第9章　图形的变换
9．1 平移
第2课时　平移的基本性质
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D
1.
如图，将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，下列结论中，不一定成立的是(　　)
A．AA′∥BB′或AA′与BB′在同一条直线上 　　
B．AA′＝BB′
C．∠ABC＝∠A′B′C′ 　　
D．BC＝A′C′
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2.
D
[江阴期末]如图，线段ON经过平移后可能得到的线段是(　　)
A．DE
B．KJ
C．FG
D．LM
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3.
14
[南通月考]如图，长方形ABCD的对角线AC＝5，AB＝3，BC＝4，则图中五个小长方形的周长之和为________.
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4.
4
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，E为AD的中点，将AB，DC分别平移到EF和EG的位置，若AE＝3，BC＝10，则FG的长为________.
5.
(12分) 如图，一个四边形ABCD经过平移得到四边形EFGH.
(1)线段AD的对应线段是______，AD与EH的位置关系是______，∠ABC的对应角是______．
(2)线段BF和线段DH有何关系？
EH
平行
∠EFG
线段BF和线段DH的关系为
BF∥DH，BF＝DH.
解：因为四边形EFGH是由四边形ABCD经过平移得到的，
所以AE∥DH，
所以∠ADH＝180°－∠DAE＝180°－65°＝115°.
(3)已知∠DAE＝65°，求∠ADH的度数.
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6.
解：如图①，△A′B′C′即为所求．
(8分)(1)如图①，已知△ABC，试将其沿着箭头方向平移1厘米的长度，画出平移后的△A′B′C′；
如图②，四边形EFGH即为所求．
(2)如图②，将四边形ABDC进行平移，使点A移动到点E的位置，画出平移后的四边形EFGH.
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7.
B
如图①，从一个边长为4的正方形纸片中剪掉两个边长为a的小正方形，得到如图②所示的图形，若图②中图形的周长为22，则a的值是(　　)
A．1
B．1.5
C．2
D．3
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8.
3或6
如图，在△ABC中，BC＝12 cm，将△ABC以每秒3 cm的速度沿BC所在的直线向右平移，所得的对应图形为△DEF.设平移时间为t秒，若要使AD＝3CE成立，则
t＝________.
9.
解：BE∥AC.理由如下：
因为∠A＝70°，∠ABC＝50°，
所以∠C＝180°－70°－50°＝60°.
因为DE∥AB，所以∠BDE＝∠ABC＝50°.
又因为∠E＝70°，所以∠DBE＝
180°－∠E－∠BDE＝180°－70°－50°＝60°.
所以∠DBE＝∠C.所以BE∥AC.
(8分)如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝50°，△BDE在直线BC的下方，且DE∥AB，∠E＝70°.
(1)判断BE与AC的位置关系，并说明理由；
由平移的性质，知BE∥MN，所以∠NMC＝∠DBE＝60°，
所以∠DMN＝180°－60°＝120°.
因为DE∥AB，DN⊥直线AB，
所以DN⊥DE，所以∠EDN＝90°，
所以∠NDM＝180°－∠BDE－∠EDN＝180°－50°－90°＝40°，所以∠N＝180°－∠NDM－∠DMN＝180°－40°－120°＝20°.
(2)沿直线BC平移线段BE至MN的位置，连接DN，若DN⊥直线AB，求∠N的度数.
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10.
－2 －1
(8分)若在方格(每个小正方形的边长为1 m)上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为a(向右为正，向左为负，平移|a| m)，沿竖直方向平移的数量为b(向上为正，向下为负，平移|b| m)，则把有序数对{a，b}叫作这一平移的“平移量”．例如：点A按“平移量”{1，4}可平移至点B．
(1)点C按“平移量”{________，_______}可平移到点B．
【点拨】
点C到点B，向左平移2 m，向下平移1 m，所以“平移量”为{－2，－1}．
解：如图，点D即为所求．
(2)若点B依次按“平移量”{4，－3}，{－2，1}平移至点D．
①请在图中标出点D．
需要(4＋3＋2＋1)×2.5＝10×2.5＝25(s)．
②如果每平移1 m需要2.5 s，那么按此方法从点B移动至点D需要多长时间？
③观察点D的位置，其实点B也可按“平移量”{________，________}直接平移至点D．
观察这种平移的“平移量”，猜想：点E依次按“平移量”{2a，3b}，{－5a，b}，{a，－5b}平移至点F，则相当于点E按“平移量”{________，________}直接平移至点F.
2
－2
－2a －b
【点拨】
由图可知，点B到点D，向右平移2 m，向下平移 2 m，所以“平移量”为{2，－2}；因为2a－5a＋a＝ －2a，3b＋b－5b＝－b，所以点E到点F的“平移量”为{－2a，－b}．
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第9章　图形的变换
9．2 轴对称
第1课时　轴对称的概念
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C
1.
[扬州月考]如图，哪个选项中的图形成轴对称？(　　)
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2.
C
将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“D”，再把它铺平，你能得到下列选项中的(　　)
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3.
C
△ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20 cm，AB＝5 cm，BC＝8 cm，则A′C′的长为(　　)
A．5 cm
B．8 cm
C．7 cm
D．20 cm
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4.
90
如图，A，B两点关于直线l对称，P为l上一点，则∠ACP＝__________°，AC＝__________，PA＝__________.
BC
PB　
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5.
54°
如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，S△ABC＝5，则∠B的度数为________，S△A′B′C′＝________.
5
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6.
3
如图是2×4的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有________个.
【点拨】
如图，一共有3个．
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7.
解：如图，△A1B1C1即为所求．
(4分)如图，已知在6×6的正方形网格中，每一个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上．画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称.
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8.
D
[长沙中考]如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB＝4，BC＝5，AC＝6，则△CDE的周长为(　　)
A．5
B．6
C．6.5
D．7
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9.
6 cm
如图，点P关于OA，OB的对称点分别是P1，P2，连接P1P2，分别交OA，OB于点C，D，连接PC，PD，若P1P2＝6 cm，则△PCD的周长为________.
10.
134°
如图，在△ABC中，点D在BC上，分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出点D的对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中所标的角度，可得∠EAF的度数为________.
【点拨】
连接AD.因为点D以AB，AC所在直线为对称轴的对称点分别为点E，F，
所以∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD.
因为∠B＝62°，∠C＝51°，
所以∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝180°－62°－51°＝67°.
所以∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＋∠FAC＝2∠BAC＝134°.
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11.
(4分)如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA所在直线的对称点Q落在线段MN上，点P关于OB所在直线的对称点R落在MN的延长线上，若MN＝a，QR＝b，其中a＜b，试求PN－PM的值．(用含a，b的式子表示)
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解：因为点P关于OA所在直线的对称点Q落在线段MN上，
点P关于OB所在直线的对称点R落在MN的延长线上，
所以MQ＝MP，RN＝PN，
所以PN－PM＝RN－MQ，
所以PN－PM＝(RN＋NQ)－(MQ＋NQ)＝QR－MN＝b－a.
12.
25°
(8分)有一长方形纸带ABCD，E，F分别是边AD，BC上的点，∠DEF＝α(0°＜α＜90°，且α≠60°)，将纸带ABCD沿EF折叠成图①，再沿GF折叠成图②.
(1)当α＝25°时，∠BFE＝________，∠GFC′＝________；
130°
解：分两种情况：
当0°＜α＜60°时，由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝α，
所以∠DEG＝2α.
因为AD∥BC，
所以∠FGD′＝∠DEG＝2α，∠EFG＝∠DEF＝α.
又因为FC′∥GD′，
所以∠GFC′＝180°－∠FGD′＝180°－2α，
(2)两次折叠后，求∠NFE的大小(用含α的代数式表示).
所以∠GFN＝∠GFC′＝180°－2α，
所以∠NFE＝∠GFN－∠EFG＝180°－2α－α＝180°－3α；
当60°＜α＜90°时，如图所示，
同理可得∠GFN＝180°－2α，∠EFG＝α，
所以∠NFE＝∠EFG－∠GFN＝α－(180°－2α)＝3α－180°.
综上所述，∠NFE的度数为180°－3α或3α－180°.
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第9章　图形的变换
9．3 旋转
第3课时　中心对称与中心对称图形
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D
1.
2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是(　　)
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2.
B
如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是(　　)
A．AD＝CD
B．∠C＝∠E
C．AE＝CB
D．S△ADE＝S△ADB
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3.
D
[扬州月考]如图，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N，AN，BC的延长线相交于点P，连接BN.下列三角形中，与△NCP成中心对称的是(　　)
A．△NCB
B．△BMN
C．△AMN
D．△NDA
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4.
2
如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形A1B1C1(顶点均在格点上)与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△A1B1C1有________个.
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5.
①或⑥
如图，把标有序号①，②，③，④，⑤，⑥中的某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是__________.
6.
(8分)作图题．
(1)如图①，已知四边形ABCD和点P，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点P成中心对称；
(2)如图②，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于某点成中心对称，找出它们的对称中心O.
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解：(1)如图①，四边形A′B′C′D′即为所求．
(2)如图②，点O即为所求．
7.
5
如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC＝________.
【点拨】
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8.
2
如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB，BC，弧CO，弧OA所围成的图形面积是________cm2.
【点拨】
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9.
(12分)如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作
一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
(1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
(2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
(3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
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解：(1)如图甲．(答案不唯一)
(2)如图乙．(答案不唯一)
(3)如图丙．(答案不唯一)
10.
＝
(12分)知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成完全相同的两个部分．
(1)如图①，四边形ABCD是中心对称图形，直线EF经过对称中心O，则S四边形AEFB________S四边形DEFC(填“＞”“＜”或“＝”)；
解：如图①所示．
(2)如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形按如图所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
如图②所示．
(3)八个大小相同的小正方形按如图③所示的方式摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).
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第9章　图形的变换
9．2 轴对称
第2课时　垂直平分线
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C
1.
下列说法正确的是(　　)
A．线段的垂直平分线是一条线段
B．线段的垂直平分线是过该线段中点的直线
C．线段的垂直平分线是垂直于该线段且过该线段中点的直线
D．线段的垂直平分线有无数条
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2.
C
则下列结论不一定正确的是(　　)
A．CA＝CB
B．CD⊥直线l
C．点C，D关于直线l对称
D．点A，B关于直线CD对称
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3.
Ⅰ Ⅳ Ⅱ Ⅲ
尺规作图要求：Ⅰ.作一个角等于已知角；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.过直线外一点作这条直线的垂线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配对是：
①－______，②－______，③－______，④－______.
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4.
解：如图，AB即为所求．
(4分)利用网格线画线段PQ的垂直平分线AB．
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5.
解：如图，l1，l2即为所求．
(4分)尺规作图：如图，已知△ABC，分别作出AB，AC两边的垂直平分线l1，l2.(不写作法，保留作图痕迹)
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6.
C
如图，四边形ABCD是长方形，AE是∠BAD的平分线，∠α＝67°，依据尺规作图的痕迹，则∠ACB的度数是(　　)
A．66°
B．67°
C．68°
D．69°
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7.
解：(1)(2)如图所示．
(8分)如图，已知直线AB和直线外一点P，按下列要求用尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：
(1)过点P作CD与AB平行；
(2)过点P作PQ垂直AB于点Q.
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8.
解：如图，△ABC即为所求．
(4分)尺规作图：如图，已知线段m，n，作直角三角形ABC，使∠ACB＝90°，AB＝m，BC＝n.(不写作法，保留作图痕迹)
9.
解：如图，△ABC或△A′BC即为所求．
(8分)如图，已知线段m，n及∠α.利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)求作所有满足条件的△ABC，使得∠B＝α，BC＝m，AC＝n；
如图．
(2)在(1)所作的图中，过点C向直线AB画垂线，与直线AB交于点H，并结合图形，直接写出三条线段AB，BH和AH的数量关系：__________________________.
AB＝BH－AH或AB＝BH＋AH
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