资源简介

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5.3.2一元一次方程的应用
学科 数学 年级 七年级 课型 新授课 单元 第五单元
课题 一元一次方程的应用 课时 5.3.2
课标要求 义务教育数学课程标准对七年级一元一次方程应用的相关要求，聚焦于让学生能结合具体实际问题识别数量关系，列出一元一次方程并求解，体会方程作为刻画现实世界数量关系的有效数学模型；要求学生在解决实际问题的过程中，理解问题中的已知量、未知量及等量关系，能根据问题实际意义检验解的合理性；同时，结合本节课 “盈不足” 问题的特点，还要求学生感受中国古代数学的文化价值，初步体会数学建模思想，提升运用数学知识解决实际问题的能力。
教材分析 本节课是七年级数学第五单元 “一元一次方程的应用” 的重要内容，以《九章算术》中的 “盈不足” 问题为核心载体，选取了 “一盈一不足”“双盈”“双不足” 三类典型问题展开教学。从知识衔接来看，本节课是在学生掌握一元一次方程解法后的实际应用拓展，既是对一元一次方程解法的巩固，也是培养学生将实际问题转化为数学模型的关键环节，为后续学习二元一次方程组、更复杂的实际问题建模奠定基础；从数学文化角度，教材引入古代数学名题，既丰富了方程应用的素材，又能让学生感受中国古代数学的实用价值与智慧，体现了数学学科的文化性与工具性。
学情分析 七年级学生已掌握一元一次方程的基本解法，具备初步的分析简单实际问题数量关系的能力，但对于古代数学问题的文字表述理解、抽象提炼等量关系仍存在困难，尤其容易混淆 “盈” 与 “不足” 在不同情境下的数量关系转化，比如在 “双盈”“双不足” 问题中，难以准确用代数式表示物价（或总量）；同时，七年级学生对古代数学问题具有一定的好奇心，自主探究和合作交流的意愿较强，但在将实际问题转化为数学模型的过程中，需要教师的分步引导和方法点拨，才能更好地掌握方程建模的思路。
教学目标 1.理解“盈不足”问题的实际含义，能识别已知量、未知量及等量关系； 2.会通过设未知数，用代数式表示相关量，列一元一次方程解决“一盈一不足” “双盈” “双不足”类问题； 3.感受古代数学的实际价值，体会方程的建模思想。
教学重点 理解 “盈不足” 问题的实际含义，能准确识别问题中的已知量、未知量，梳理出 “物价（总量）固定” 这一核心等量关系；会通过设未知数，用代数式表示相关量，列一元一次方程解决 “一盈一不足”“双盈”“双不足” 三类盈不足问题
教学难点 准确分析 “双盈”“双不足” 问题中的数量关系，避免出现 “盈”“不足” 对应的代数式表示错误；能灵活选择设元方式（设人数 / 物价为未知数）列方程，理解不同设元方式下等量关系的表达差异
教法与学法分析 本节课主要采用启发式教学法与合作探究法相结合，并辅以讲授法、情境教学法。首先，通过呈现《九章算术》中的经典盈不足问题创设教学情境，激发学生的探究兴趣；在独立研学环节，启发学生自主梳理已知量、未知量，尝试分析数量关系；新知讲解时，通过例题分步引导，结合表格工具帮助学生直观梳理数量关系，突破等量关系分析的难点；对于 “双盈”“双不足” 等拓展问题，组织学生开展小组合作探究，对比不同类型问题的解法异同，教师则在学生探究过程中适时点拨、总结规律，同时借助例题讲解和易错点提醒，强化学生对核心知识的理解。 学生在本节课的学习中，以自主研学和合作交流为主要学习方式，辅以练习巩固法。首先，在环节一的独立研学中，学生通过阅读课本、填写任务单，自主尝试梳理盈不足问题的数量关系，培养自主学习和独立思考的能力；在新知讲解和延伸探究环节，通过与同伴交流不同设元方式的方程列法、探讨《九章算术》算法与方程法的差异，提升合作探究和逻辑表达能力；最后，通过巩固拓展、作业练习中的基础题和能力提升题，逐步巩固列一元一次方程解决盈不足问题的方法，形成 “实际问题 — 分析数量关系 — 建立方程模型 — 求解验证” 的解题思路，深化对数学建模思想的理解。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 阅读课本“盈不足”第一题，梳理： 已知量：_______； 未知量：_______； 等量关系：________________。 设人数为，尝试补充表格： 有关量每人出8钱每人出7钱人数出钱总数物价
请大家结合课本内容，独立完成任务单，5分钟后咱们交流成果. 布置课本 “盈不足” 第一题相关任务单，明确梳理已知量、未知量、等量关系及补表格的要求，限定 5 分钟完成后交流 结合课本内容独立完成任务单，梳理题目信息、补全表格，等待交流成果 引导学生自主初步感知 “盈不足” 问题，培养独立梳理数量关系的能力
环节二：新知讲解 1. “一盈一不足”问题 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ 已知量：每人出8盈3、每人出7不足4。 未知量：人数、物价 等量关系：物品的价格固定，两种出钱方式所表示的物价相等。 分析量的关系 ①“人出八，盈三”是指：每人出8钱，总钱数比物价多3，所以物价=8×人数 - 3； ②“人出七，不足四”是指：每人出7钱，总钱数比物价少4，所以物价=7×人数 + 4。 （2）设人数为 x ，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表 有关量每人出8钱每人出7钱人数出钱总数物价
利用表格分析数量关系是一种有效方法。 （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 设人数为 因为物价固定，所以列方程： 移项： 解得： 人数是7，物价是钱。 易错点提醒：‘盈’→物价=总钱数-多余数；‘不足’→物价=总钱数+缺少数，可别搞反！ 根据等量关系，列出方程：___________________. 解这个方程，得 ___________. 因此，人数为________ ，物价为 _______钱。 如果设物价为y钱，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。 若设物价为钱，人数可表示为（每人出8钱时的人数）和（每人出7钱时的人数），因此方程为：。 拓展： 今有共买笔，人出9盈5，人出6不足4。问人数、笔价各几何？ 解答：设人数为，列方程，解得，笔价。 呈现《九章算术》“一盈一不足” 例题，引导分析已知量、未知量及等量关系，讲解设人数列方程的方法与解法，提醒易错点，组织交流设物价列方程的思路，呈现拓展题 跟随教师分析例题，尝试设人数列方程求解，与同伴交流设物价的方程，完成 “共买笔” 拓展题 帮助学生掌握 “一盈一不足” 问题的解题方法，理解不同设元方式，突破方程建模基础难点
环节三：延申探究 2.“双盈/双不足”型问题 如果两次出钱都“盈”（都剩下），物价怎么表示？看例2买金的问题。 例2 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？ 分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？ 有关量每人出400钱每人出300钱人数出钱总数金价
解：设合伙人数为 ，则金价可表示为 钱，还可表示为（ 100）钱，根据等量关系，列出方程： 解这个方程，得 。 因此，人数为33，金价为9800钱。 【方程的两边就是金价的两种不同的表达式。】 3.思考·交流 （1）对于例2，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程？ 人数=（金价+盈数）÷每人出钱数，所以
（2）对于例2，《九章算术》给出了一种算法： ①人数 两次剩余钱数之差 两次每人所出钱数之差； 两次剩余钱数之差为 3400-100=3300，两次每人所出钱数之差为 400-300=100，因此人数 =3300÷100=33，与方程法结果一致。 ②物价 每人出的钱数 人数一剩余钱数。 用“每人出的钱数×人数 - 剩余钱数”，如取“每人出400钱”，则物价 =400×33-3400=9800，与方程法结果一致。 你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。 类型物价表达式规则示例（设人数为）一盈一不足盈减、不足加人出8盈3→；人出7不足4→双盈两次都减（减各自盈数）人出400盈3400→；人出300盈100→双不足两次都加（加各自不足数）人出8不足5→；人出6不足1→
拓展题（双不足型） 题目：今有共买本，人出8不足5，人出6不足1。问人数、本价各几何？ 解答： 设人数为，列方程，解得，本价。 呈现《九章算术》“双盈” 例题，引导补全表格、设人数列方程，组织思考交流设物价的方程及古代算法，布置 “双不足” 拓展题 分析 “双盈” 例题并补表格、列方程求解，思考交流设物价的方程及古今算法差异，完成 “共买本” 拓展题 使学生掌握 “双盈 / 双不足” 问题解法，对比古今数学方法，深化方程建模思想
环节四：巩固拓展 1.今有共买球，人出12盈8，人出10盈2。问人数、球价各几何？ 解析： 设人数为，“人出12盈8”→球价；“人出10盈2”→球价。 列方程： 球价：。 结论：人数3，球价28。 2.一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利15%，若该商品的进价是45元，若设标价为元，则可列得方程（ ） A. B. C. D. 解答： 利润率公式：利润率售价进价进价。 八折售价为，利润为，因此方程为，选A。 呈现 “共买球” 双盈题和商品利润率选择题，讲解解题思路，分析利润率公式及选项正误 独立完成 “共买球” 题目，跟随教师分析解题思路与利润率问题，判断选择题选项 巩固三类 “盈不足” 问题解法，拓展方程在利润率问题中的应用，检验知识掌握效果
课堂小结 1.通过本节课的学习你收获了什么？ ①理解 “盈不足” 问题的实际含义，能识别 “一盈一不足”“双盈”“双不足” 三类问题的特点； ②掌握从 “盈不足” 问题中梳理已知量、未知量及 “总量（物价等）固定” 这一核心等量关系的方法； ③学会通过设未知数（设人数或总量）、列代数式，建立一元一次方程求解三类 “盈不足” 问题； ④了解 “盈不足” 问题源自《九章算术》，感受中国古代数学的实际价值与文化魅力。 引导学生梳理本节课的知识收获与所学数学思想、方法 引导学生梳理知识脉络，提炼方程本质与建模价值 自主总结学习收获与困惑，尝试绘制知识树
板书设计 左侧板块：知识与例题右侧板块：方法、思想与提醒一、核心概念 1. 盈：总钱数＞总量（多剩） 2. 不足：总钱数＜总量（缺少） 3. 核心等量关系：总量（物价/笔价等）固定三、关键方法与思想 1. 学习方法： - 设元：人数/总量（灵活选） - 工具：表格分析数量关系 2. 数学思想： - 建模思想：实际问题→一元一次方程 - 文化：源自《九章算术》二、三类典型问题（含例题） 1. 一盈一不足 - 数量关系： 每人出钱数 ×人数 - 盈数 = 每人出钱数 ×人数 + 不足数 - 例题（共买物）： 题：人出8盈3，人出7不足4 解：设人数为x，列8x-3=7x+4→x=7，物价=53 2. 双盈 - 数量关系： 每人出钱数 ×人数 - 盈数 = 每人出钱数 ×人数 - 例题（共买金）： 题：人出400盈3400，人出300盈100 解：设人数为x，列400x-3400=300x-100→x=33，金价=9800 3. 双不足 - 数量关系： 每人出钱数 ×人数 + 不足数 = 每人出钱数 ×人数 + 不足数 - 例题（共买本）： 题：人出8不足5，人出6不足1 解：设人数为x，列8x+5=6x+1→x=2，本价=21四、易错点提醒 1. “盈”对应：总量=总钱数-盈数（勿加） 2. “不足”对应：总量=总钱数+不足数（勿减） 3. 设元后，代数式需紧扣“总量固定”列方程五、课堂总结 1. 掌握三类“盈不足”问题解法 2. 核心：找准“总量固定”等量关系 3. 运用：方程建模解决实际问题
本节课的板书设计通过“知识+方法+提醒”的结构化框架，系统呈现“盈不足”问题的核心概念、三类典型问题及解法，突出教学重难点，引导解题思路与逻辑思维培养，渗透数学思想与古代数学文化，同时辅助课堂记忆与课后复习，助力学生构建结构化认知、提升学习效率。
作业设计 基础练习 1.《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2.某小组计划做一批中国结，如果每人做5个，那么比计划多做了8个，如果每人做3个，那么比计划少6个。设计划做个“中国结”，可列方程（ ） A. B. C. D. 3.某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是15%，设商品标价为元，可列方程为（ ） A. B. C. D. 4.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱。问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是( ) 甲：设人数为人，可列方程； 乙：设羊价为元，可列方程为 A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 能力提升 5.某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派12件，还差6件，则分派站现有包裹为（ ） A．72件 B．68件 C．66件 D．60件 6.有若干人乘车，每3个人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2个人乘一辆车，最终剩9个人无车可乘，则一共有___个人乘车。 7.某人原计划用26天生产一批零件，工作两天后因改进操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务，问原来每天生产多少个零件？设原来每天生产个零件，则列方程为____。 拓展练习 8.甲组的6名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多30件，乙组的7名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少25件． (1)如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多少？ (2)如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多4件，那么此月人均定额是多少件？ (3)甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的少4件，那么此月人均定额是多少件？
教学反思 本节课围绕“盈不足”问题展开教学，整体教学流程逻辑清晰、层层递进，较好地达成了预设教学目标。通过引入《九章算术》中的经典名题创设情境，既贴合教学主题，又有效激发了学生对古代数学的探究兴趣，让学生在解决实际问题的过程中自然感受数学文化的价值。教学中采用“独立研学—新知讲解—延伸探究—巩固拓展”的环节设计，符合七年级学生从具象到抽象的认知规律，搭配表格工具分析数量关系，有效突破了“盈”“不足”对应的代数式表示这一难点。多数学生能够准确识别三类“盈不足”问题的特点，掌握“总量固定”这一核心等量关系，顺利列出一元一次方程求解，且能在合作交流中探讨不同设元方式，初步体会方程建模思想。
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分课时学案
课题 5.3.2一元一次方程的应用 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 理解“盈不足”问题的实际含义，能识别已知量、未知量及等量关系； 会通过设未知数，用代数式表示相关量，列一元一次方程解决“一盈一不足” “双盈” “双不足”类问题； 3.感受古代数学的实际价值，体会方程的建模思想。
重点 理解 “盈不足” 问题的实际含义，能准确识别问题中的已知量、未知量，梳理出 “物价（总量）固定” 这一核心等量关系；会通过设未知数，用代数式表示相关量，列一元一次方程解决 “一盈一不足”“双盈”“双不足” 三类盈不足问题
难点 准确分析 “双盈”“双不足” 问题中的数量关系，避免出现 “盈”“不足” 对应的代数式表示错误；能灵活选择设元方式（设人数 / 物价为未知数）列方程，理解不同设元方式下等量关系的表达差异
教学过程
导入新课 阅读课本“盈不足”第一题，梳理： 已知量：_______； 未知量：_______； 等量关系：________________。 设人数为，尝试补充表格： 有关量每人出8钱每人出7钱人数出钱总数物价
请大家结合课本内容，独立完成任务单，和同学交流成果.
新知讲解 1. “一盈一不足”问题 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ 已知量： 未知量： 等量关系： （2）设人数为 x ，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表 有关量每人出8钱每人出7钱人数出钱总数物价
利用表格分析数量关系是一种有效方法。 （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 设人数为 根据等量关系，列出方程：___________________. 解这个方程，得 ___________. 因此，人数为________ ，物价为 _______钱。 【易错点提醒：‘盈’→物价=总钱数-多余数；‘不足’→物价=总钱数+缺少数，可别搞反！】 如果设物价为y钱，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。 拓展： 今有共买笔，人出9盈5，人出6不足4。问人数、笔价各几何？ 解答： 2.“双盈/双不足”型问题 如果两次出钱都“盈”（都剩下），物价怎么表示？看例2买金的问题。 例2 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？ 分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？ 有关量每人出400钱每人出300钱人数出钱总数金价
解：设合伙人数为 ，则金价可表示为 钱，还可表示为（ 100）钱，根据等量关系，列出方程：____________________ 解这个方程，得 ____________________ 因此，人数为_______，金价为_____钱。 【方程的两边就是金价的两种不同的表达式。】 3.思考·交流 （1）对于例2，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程？ （2）对于例2，《九章算术》给出了一种算法： ①人数 两次剩余钱数之差 两次每人所出钱数之差； 你的理解： ②物价 每人出的钱数 人数一剩余钱数。 你的理解： 你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。 【对比总结】 类型物价表达式规则示例（设人数为）一盈一不足盈减、不足加人出8盈3→；人出7不足4→双盈两次都减（减各自盈数）人出400盈3400→；人出300盈100→双不足两次都加（加各自不足数）人出8不足5→；人出6不足1→
拓展题（双不足型） 题目：今有共买本，人出8不足5，人出6不足1。问人数、本价各几何？
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？ 2.本节课你有哪些收获？有什么体会？请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么？
课堂练习 1.今有共买球，人出12盈8，人出10盈2。问人数、球价各几何？ 2.一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利15%，若该商品的进价是45元，若设标价为元，则可列得方程（ ） A. B. C. D.
课后作业 基础练习 1.《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2.某小组计划做一批中国结，如果每人做5个，那么比计划多做了8个，如果每人做3个，那么比计划少6个。设计划做个“中国结”，可列方程（ ） A. B. C. D. 3.某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是15%，设商品标价为元，可列方程为（ ） A. B. C. D. 4.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱。问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是( ) 甲：设人数为人，可列方程； 乙：设羊价为元，可列方程为 A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 能力提升 5.某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派12件，还差6件，则分派站现有包裹为（ ） A．72件 B．68件 C．66件 D．60件 6.有若干人乘车，每3个人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2个人乘一辆车，最终剩9个人无车可乘，则一共有___个人乘车。 7.某人原计划用26天生产一批零件，工作两天后因改进操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务，问原来每天生产多少个零件？设原来每天生产个零件，则列方程为____。 拓展练习 8.甲组的6名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多30件，乙组的7名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少25件． (1)如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多少？ (2)如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多4件，那么此月人均定额是多少件？ (3)甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的少4件，那么此月人均定额是多少件？ 解：设此月人均定额为件。
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第五章一元一次方程
5.3.2一元一次方程的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
新知探究
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解“盈不足”问题的实际含义，能识别已知量、未知量及等量关系；
01
会通过设未知数，用代数式表示相关量，列一元一次方程解决“一盈一不足” “双盈” “双不足”类问题；
02
感受古代数学的实际价值，体会方程的建模思想。
03
02
新知导入
祖冲之
03
新知讲解
《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？
题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱。合伙人数、物品的价格分别是多少？
1. “一盈一不足”问题
（1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？
03
新知讲解
已知量：每人出8盈3、每人出7不足4。
未知量：人数、物价
等量关系：物品的价格固定，两种出钱方式所表示的物价相等。
分析量的关系
①“人出八，盈三”是指：每人出8钱，总钱数比物价多3，所以物价=8×人数 - 3；
②“人出七，不足四”是指：每人出7钱，总钱数比物价少4，所以物价=7×人数 + 4。
03
新知讲解
（2）设人数为 x ，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表
03
新知讲解
利用表格分析数量关系是一种有效方法。
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数
出钱总数
物价
8
7
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
设人数为 x
根据等量关系，列出方程：___________________.
解这个方程，得 ___________.
因此，人数为________ ，物价为 _________________钱。
03
新知讲解
易错点提醒：‘盈’→物价=总钱数-多余数；‘不足’→物价=总钱数+缺少数，可别搞反！
如果设物价为y钱，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。
04
新知探究
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数
出钱总数
物价
+3
y
y
拓展：
今有共买笔，人出9盈5，人出6不足4。问人数、笔价各几何？
解答：设人数为，列方程，解得，笔价。
04
新知探究
例2 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何？
题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？
2.“双盈/双不足”型问题
如果两次出钱都“盈”（都剩下），物价怎么表示？看例2买金的问题。
04
新知探究
分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？
有关量 每人出400钱 每人出300钱
人数
出钱总数
金价
04
新知探究
解：设合伙人数为 ，则金价可表示为 钱，还可表示为（ 100）钱，根据等量关系，列出方程：
解这个方程，得 。
因此，人数为33，金价为9800钱。
方程的两边就是金价的两种不同的表达式。
04
新知探究
（1）对于例2，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程？
04
新知探究
思考·交流
人数=（金价+盈数）÷每人出钱数，所以
（2）对于例2，《九章算术》给出了一种算法：
①人数 两次剩余钱数之差 两次每人所出钱数之差；
两次剩余钱数之差为 3400-100=3300，两次每人所出钱数之差为 400-300=100，因此人数 =3300÷100=33，与方程法结果一致。
②物价 每人出的钱数 人数一剩余钱数。
用“每人出的钱数×人数 - 剩余钱数”，如取“每人出400钱”，则物价 =400×33-3400=9800，与方程法结果一致。
04
新知探究
04
新知探究
你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。
04
新知探究
类型 物价表达式规则 示例（设人数为）
一盈一不足 盈减、不足加 人出8盈3→
人出7不足4→
双盈 两次都减（减各自盈数） 人出400盈3400→
人出300盈100→
双不足 两次都加（加各自不足数） 人出8不足5→
人出6不足1→
拓展题（双不足型）
题目：今有共买本，人出8不足5，人出6不足1。问人数、本价各几何？
解答：
设人数为x，列方程8x+5=6x+1，解得x=2，本价8×2+5=21。
04
新知探究
练习题1.今有共买球，人出12盈8，人出10盈2。问人数、球价各几何？
解析：设人数为，“人出12盈8”→球价；“人出10盈2”→球价。
列方程：
移项→
系数
球价：。
结论：人数3，球价28。
04
新知探究
2.一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利15%，若该商品的进价是45元，若设标价为元，则可列得方程（ ）
A.
B.
C.
D.
04
新知探究
A
05
课堂小结
一元一次方程的应用
理解
掌握
学会
理解 “盈不足” 问题的实际含义，能识别 “一盈一不足”“双盈”“双不足” 三类问题的特点；
掌握从 “盈不足” 问题中梳理已知量、未知量及 “总量（物价等）固定” 这一核心等量关系的方法；
学会通过设未知数（设人数或总量）、列代数式，建立一元一次方程求解三类 “盈不足” 问题；
基础练习
1.《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
06
作业布置
A
2.某小组计划做一批中国结，如果每人做5个，那么比计划多做了8个，如果每人做3个，那么比计划少6个。设计划做个“中国结”，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
06
作业布置
3.某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是15%，设商品标价为元，可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
06
作业布置
A
06
作业布置
4.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱。问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是( )
甲：设人数为人，可列方程；
乙：设羊价为元，可列方程为
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
A
能力提升
5.某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派12件，还差6件，则分派站现有包裹为（ ）
A．72件
B．68件
C．66件
D．60件
06
作业布置
C
06
作业布置
6.有若干人乘车，每3个人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2个人乘一辆车，最终剩9个人无车可乘，则一共有_____个人乘车。
7.某人原计划用26天生产一批零件，工作两天后因改进操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务，问原来每天生产多少个零件？设原来每天生产个零件，则列方程为___________________。
39
+ ( + )=
06
作业布置
拓展练习
8.甲组的6名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多30件，乙组的7名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少25件．
(1)如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多少？
(2)如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多4件，那么此月人均定额是多少件？
(3)甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的少4件，那么此月人均定额是多少件？
06
作业布置
解：设此月人均定额为件。
(1) 两组人均工作量相等,甲组人均工作量：；乙组人均工作量：。列方程：
去分母【两边同乘42（6和7的最小公倍数）】：
去括号：
移项得： 答：此月人均定额是45件。
06
作业布置
(2) 甲组人均比乙组多4件
列方程：
去分母【两边同乘42】：
去括号：
移项得：
答：此月人均定额是24件。
06
作业布置
(3) 甲组人均比乙组少4件
列方程：
去分母【两边同乘42】：
去括号：
移项得：
答：此月人均定额是66件。
Thanks!
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