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高考（或高三模拟）试题中数列大题的类型与解法
数列问题也是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个数列问题的12分大题或两到三个数列问题的5分小题。从题型上看是17或18题的12分大题或选择题（也可能是填空题）的5分小题；难度为中，低档题型，一般的考生都会拿到7到12分；纵观近几年高考试卷，归结起来数列大题问题主要包括：①等差数列与等比数列之间的综合，求基本数列（等差数列或等比数列）的前n项和；②等差数列与等比数列之间的综合，运用裂项相消法求数列的前n项和；③等差数列与等比数列之间的综合，运用拆项求和法求数列的前n项和；④等差数列与等比数列之间的综合，运用错项相减法求数列的前n项和；⑤等差数列与等比数列之间的综合，求数列前n项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、设数列｛｝满足=3，=+。
证明：｛n｝为等差数列；
（2）设f(x)=x++------+，求(-2)。（2025全国高考新高考I）
2、记为数列｛｝的前n项和，已知=6，（n+2)=n。
求，，；
在下列两个结论中，任选一个加以证明（若两个都证明，以首选计分）。
①{}是等比数列；②{}是等比数列；
（3）记是数列{}的前n项和，求（成都市高2023级高三零诊）。
3、记为{}的前n项和，且4=3+4。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=n，求数列｛｝的前n项和。（2024全国高考甲卷）
4、已知等比数列{}的前n项和为，且2=3-3。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和（2024全国高考乙卷）
5、已知数列{}中，=1，设为{}的前n项和，2=n。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和。（2023全国高考甲卷）
6、已知等比数列{}的公比为3，且，+3，-6成等差数列。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列{n}的前n项和（成都市高2020级高三二诊）
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；
（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是两个因式的积，其中一个因式分裂出来构成等差数列，另一个因式分裂出来构成等比数列的特征（这种数列也称为差比数列），求和的基本方法是错项相减法；
（3）错项相减法的基本方法是：①根据通项公式把前n项和表示出来；②将①式的两边同乘以等比数列的公比；③两式相减右边得到一个基本数列（等差数列或等比数列）与某项（或某几项）的和；④运用基本数列前n项和公式求出右边的和；⑤求出数列的前n项和（等式两边同除以的系数）。
[练习1]解答下列问题：
1、设数列｛｝满足=3，=3-4n。
（1）计算，，猜想数列｛｝的通项公式并加以证明；
（2）求数列｛｝的前n项和（2021全国高考新课标III）。
2、设等比数列｛｝满足+=4，-=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为数列｛｝的前n项和，若+=，求m（2020全国高考新课标III）。
3、已知等比数列｛｝的前n项和为，公比q＞1，且+1为，的等差中项，=14。
（1）求数列｛｝的通项公式；
(2)记=.，求数列｛｝的前n项和（2019成都市高三二诊）
【典例2】解答下列问题：
设m为正整数，数列，，------，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和（i＜j）后剩余的4m项可被平均分成m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，------，是（i，j）一可分数列。
写出所有的（i，j）1ij6，使数列，，------，是（i，j）一可分数列；
当m 3时，证明数列，，------，是（2，13）一可分数列；
从1，2，------4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j)，记数列，，------，是
（i，j）一可分数列的概率为，证明＞（2024全国高考新高考I）
已知双曲线C：-=m（m＞0），点（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜n(n=2，3，---)，过斜率为k的直线与C的左支相交于点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为（，）。
若k=，求（，）；
证明数列｛-｝是公比为的等比数列；
设为的面积，证明对任意的正整数n，=（2024全国高考新
高考II）
记为等差数列｛｝的前n项和，已知=11，=40。
求数列｛｝的通项公式；
求数列｛||｝的前n项和（2023全国高考乙卷）
设等差数列｛｝的公差为d，且d>1，令=，记，分别为数列｛｝，｛｝的前n项和。
若3=3+，+=21，求数列｛｝的通项公式；
若｛｝为等差数列，且-=99，求d（2023全国高考新高考I）
5、数列｛｝为等差数列，= -6，n为奇数，记，分别为｛｝，｛｝的
2，n为偶数，前n项和，=32，=16。
求数列｛｝的通项公式；
证明：当n>5时，>（2023全国高考新高考II）
6、已知数列｛｝满足：=-2，=2+4.
（1）证明数列｛+4｝是等比数列；
（2）求数列｛｝的前n项和。（成都市2019级高三一珍）
〖思考问题2〗
（1）【典例2】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；
（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是几项的和，各项分别组合构成一个基本数列（等差数列或等比数列）的特征，然后利用拆项求和法求出数列的前n项和。
[练习2]解答下列问题：
1、在等比数列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛|-4|｝的前n项和（成都市2018级高三一珍）
2、已知数列｛｝的前n项和= (n)。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设= + ，求数列｛｝的前2n项和。
【典例3】解答下列问题：
1、已知数列｛｝中，=3，=（n∈）。
证明：数列｛1-｝为等比数列；
求数列｛｝的通项公式；
（3）令=，证明：<<1。（成都市2022级高三一诊）
2、已知数列｛｝为等差数列，数列｛｝是公比为2的等比数列，且-=-
=-。
（1）证明：=；
（2）求集合{k|=+，1m500}中元素个数（2022全国高考新高考II卷）
3、已知等差数列{}满足2+=0，=2-2。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=，求数列{}的前n项和（成都市2019级高三一诊）
+1，n为奇数，
4、已知数列｛｝满足：=1，= +2，n为偶数。
（1）记=，写出，，并求数列{}的通项公式；
（2）求｛｝的前20项和（2021全国高考新高考I）。
5、已知数列{}的各项均为正数，记为{}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。①数列{}是等差数列；②数列{}是等差数列；③=3。注：若选择不同组合分别解答，则按第一个解答计分。（2021全国高考甲卷）。
6、记为{}的前n项和，为数列{}的前n项积，已知+=2。
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）求数列{}的通项公式。（2021全国高考乙卷）
7、记是公差不为0的等差数列{}的前n项和，若=，.=。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求使>成立的n的最小值（2021全国高考新高考II卷）。
8、设{}是首项为1的等比数列，数列{}满足：=，已知，3，9成等差数列。
（1）求数列{}，{}的通项公式；
（2）记和分别为{}，{}的前n项和，证明：<（2020全国高考乙卷）。
9、已知数列｛｝中，=1，=3，+3=4，=-，n。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记=（+），数列｛｝的前n项和为，求（2021成都市高三三诊）。
10、设｛｝是公比不为1的等比数列，为，的等差中项。
（1）求｛｝的公比；
（2）若=1，求数列｛｝的前n项和（2020全国高考新课标I理）。
11、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为｛｝在区间（0，m]（m∈）中的项的个数，求数列{}的前100项和（2020全国高考新高考I）
12、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求-+------+（2020全国高考新高考II）
〖思考问题3〗
（1）【典例3】是等差数列，等比数列之间的综合问题，解答这类问题需要理解等差数列，
等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题；
第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题一般是求数列的前n项和，解答时应该分辨清楚数列是等差数列，还是等比数列，然后直接选用相应的前n项和公式通过运算求出结果。
[练习3]解答下列问题：
1、已知数列{ }和{ }满足=1，=0，4=3-+4，4=3--4。
（1）证明：{ +}是等比数列，{ -}是等差数列；
（2）求数列{ }和{ }的通项公式。（2020全国高考新课标II）
2、记为等差数列{ }的前n项和，已知=-。
（1）若=4，求数列{ }的通项公式；
（2）若＞0，求使得的n的取值范围（2019全国高考新课标I）
3、已知{ }是各项均为正数的等比数列，=2，=2+16。
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）设= ，求数列{ }的前n项和（2019全国高考新课标II）
【典例4】解答下列问题：
1、已知正项数列｛｝的前n项和为，且（2-）=1。
求，；
证明：数列｛｝是等差数列；
（3）求数列｛｝的前n项和。（成都市2022级高三三珍）
2、记为数列｛｝的前n项和，已知=1，{}是公差为的等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）证明：+ +------+ <2（2022全国高考新高考I卷）
3、为数列｛｝的前n项和，已知>0，+2=4+3。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=，求数列｛｝的前n项和。（2021全国高考乙卷）
4、已知等差数列｛｝的前n项和满足：=0，=-5。
（1）数列｛｝的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和（2020全国高考乙卷）。
〖思考问题4〗
（1）【典例4】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；
（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是一个分式，分式的分子为常数，分母是几个连续整数的积这一结果特征，然后利用裂项相消法求出数列的前n项和。
[练习4]解答下列问题：
1、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2021成都市高三二珍）
2、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=2，=66.
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）若数列｛｝满足=，求证：++------+＜1。（2010成都市高三零珍）
3、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=2，=66.
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）若数列｛｝满足=，求数列｛｝的前n项和（2019成都市高三零珍）
【典例5】解答下列问题：
1、记为数列{}的前n项和，已知+n=2+1。
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值（2022全国高考甲卷）
2、设为等差数列｛｝的前n项和，已知=-7，=-15。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求，并求的最小值（2018全国高考新课标II卷）
〖思考问题5〗
（1）【典例5】是等差数列，等比数列之间的综合与求等差数列前n项和的最值问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意等差数列前n项和是关于n的二次函数，运用求函数最值的基本方法就可求出结果；
（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是求等差数列前n项和的最值问题，解答时注意等差数列前n项和是关于n的二次函数，利用求函数最值的基本方法就可求出等差数列的前n项和的最值。
[练习5]解答下列问题：
1、设{ }是等差数列，=-10，+10，+8，+6成等比数列。
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）记{ }的前n项和为，求的最小值（2019全国高考北京）
高考（或高三模拟）试题中数列大题的类型与解法
数列问题也是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个数列问题的12分大题或两到三个数列问题的5分小题。从题型上看是17或18题的12分大题或选择题（也可能是填空题）的5分小题；难度为中，低档题型，一般的考生都会拿到7到12分；纵观近几年高考试卷，归结起来数列大题问题主要包括：①等差数列与等比数列之间的综合，求基本数列（等差数列或等比数列）的前n项和；②等差数列与等比数列之间的综合，运用裂项相消法求数列的前n项和；③等差数列与等比数列之间的综合，运用拆项求和法求数列的前n项和；④等差数列与等比数列之间的综合，运用错项相减法求数列的前n项和；⑤等差数列与等比数列之间的综合，求数列前n项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、设数列｛｝满足=3，=+。
（1）证明：｛n｝为等差数列；
（2）设f(x)=x++------+，求(-2)。（2025全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①数列定义与性质；②等差数列定义与性质；③函数导函数定义与性质；④判断（或证明）数列是等差数列的基本方法；⑤等差数列通项公式及运用；⑥求函数导函数的公式，法则和基本方法；⑦错项相减求和的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列和等差数列的性质，运用判断（或证明）数列是等差数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列｛n｝为等差数列；（2）根据等差数列和函数导函数的性质，运用等差数列通项公式，函数求导的公式，法则与基本方法和错项相减求和的基本方法，结合问题条件就可求出f(-2)的值。
【详细解答】（1）=+，（n+1）=n+1，（n+1）-n=1，
=3，数列｛n｝是以3为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）知n=3+（n-1）1=n+2，=，设=n=n+2，f(x)=x++------+，=（x）=+2x+------+n=+x+------+，x=x++------+
=3x+4+=------+（n+2），（1-x）=3+x++-----+-（n+2）=3+-（n+2），当x=-2时，3=3+-（n+2），=（-2）=1-+-
=-。
2、记为数列｛｝的前n项和，已知=6，（n+2)=n。
（1）求，，；
（2）在下列两个结论中，任选一个加以证明（若两个都证明，以首选计分）。
①{}是等比数列；②{}是等比数列；
（3）记是数列{}的前n项和，求（成都市高2023级高三零诊）。
【解析】
【考点】①数列定义与性质；②等比数列定义与性质；③数列通项公式及运用；④数列前n项和公式及运用；⑤数列通项与前n项和之间的关系及运用；⑥判断（或证明）数列是等比数列的基本方法；⑦错项相减求和法的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列的性质，运用数列通项公式，前n项和公式和数列通项与前n项和之间的关系，结合问题条件就可求出，，的值；（2）根据等比数列的性质，运用判断（或证明）数列是等比数列的基本方法和数列通项与前n项和之间的关系，结合问题条件就可证明数列{}（或数列{}）是等比数列；（3)根据等比数列的性质，运用错项相减求和法的基本方法，结合问题条件得到数列{}的通项公式，从而就可求出的值。
【详细解答】（1）为数列｛｝的前n项和，=6，（n+2)=n，当n=1时，
3=，===2；=+=2+6=8，当n=2时，4=2，=2=16，=
++=2+6+16=24；（2）若选结论①{}是等比数列，证明：（n+2)=n=n
(-)，2（n+1)=n，2=，/=2为常数，当n=1时，==2，数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列；若选结论②{}是等比数列，当n≥2时，（n+2)=n，（n+1)=（n-1），=，
=，两式相减得：-==-，=，
/=2为常数，==1，==2，/=2，数列
{}是以1为首项，2为公比的等比数列；（3）由（2）可知=2=，
=n，=2+2+3+-------+（n-1)+n，2=+2+3+-------+（n-1)+n，两式相减得：-=2+++------+-n=-n=-2-（n-1）
，=（n-1)+2（n）。
3、记为{}的前n项和，且4=3+4。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=n，求数列｛｝的前n项和。（2024全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②等比数列定义与性质；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系及运用；④数列错项相减求和法及运用。
【解题思路】（1）根据数列和等比数列的性质，运用数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件得到数列{}是以4为首项，-3为公比的等比数列，从而就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{}通项公式得到数列{n}的通项公式，运用错项相减求和的基本方法就可求出数列{n}的前n项和。
【详细解答】（1）当n=1时，4=4=3+4，=4，当n2时， 4=3+4①，4=3+4②，①-②得：4（-）=4=3-3，=3，
=-3，=4-4=4-44=-12，当n2时，数列{}是以-12为首项，-3为公比的等比数列，=-12=4(n2)，当n=1时，=41=4成立，数列{}的通项公式为=4；（2）=n=4n，=4［1+23+3+4
+-------+（n-1）+n］①，①3得：3=-4［3+2+3+4+-------+（n-1）+n］②，①-②得：-2=4+4（3++++-------+-n）=4+
4[-n），=（2n-1）+1。
4、已知等比数列{}的前n项和为，且2=3-3。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和（2024全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用；④数列分组求和法及运用。
【解题思路】（1）根据等比数列的性质，运用数列通项公式与前n项和公式，结合问题条件求出等比数列{}的首项和公比，从而就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{}的前n项和公式得到数列{}的通项公式，运用数列分组求和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】（1）当n=1时，2=2=3-3=3q-3①，当n=2时，2=3-3，2+2q=3-3②，联立①②解得：=1，q=，数列{}的通项公式为
=；(2)由（1）可得==-+，=[-n+]
=-n-。
5、已知数列{}中，=1，设为{}的前n项和，2=n。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和。（2023全国高考甲卷理）
【解析】
【考点】①数列定义与性质；②数列通项公式与前n项和公式之间的关系及运用；③数学叠乘法及运用；④错项相减求和法及运用。
【解题思路】（1）根据数列的性质，运用数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，利用数学叠乘法就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{}通项公式得到数列{}的通项公式，运用错项相减求和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】（1）当n=1时，2=2=，=0；当n2时， 2=n①，2=（n-1）②，①-②得：2（-）=2=n-（n-1），（n-2）=（n-1）
，=，=，-------，=，=，=n-1，=n-1(n2)，
当n=1时，=1-1=0成立，数列{}的通项公式为=n-1；（2）数列{}
={}={}， =+2+3+------+（n-1）+n①，①得：=+2+3+------+（n-1）+n②，①-②得：=++
+------++-n=1--n=1-（n+2）， =2-（n+2）。
6、已知等比数列{}的公比为3，且，+3，-6成等差数列。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列{n}的前n项和（成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②等差中项定义与性质；③等比数列通项公式及运用；④错项相减法求数列前n和的基本方法。
【解题思路】（1）根据等比数列和等差中项的性质，运用等比数列通项公式，结合问题条件得到关于的等式，从而求出的值，就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{n}的结构特征，运用错项相减法求数列前n和的基本方法，就可求出数列{n}的前n项和。
【详细解答】（1） 等比数列{}的公比为3，且，+3，-6成等差数列，2（3+3） =+3-6， =-6， =-6=-2；（2） n=-2n，=-2［3+2+
3+-------+（n-1）+n］①，①3得：3=-2［+2+3+-------+（n-1）+n］②。①-②得：-2=-2（3++++-------+-n）=-2（-n
），=（-n）-。
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；
（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是两个因式的积，其中一个因式分裂出来构成等差数列，另一个因式分裂出来构成等比数列的特征（这种数列也称为差比数列），求和的基本方法是错项相减法；
（3）错项相减法的基本方法是：①根据通项公式把前n项和表示出来；②将①式的两边同乘以等比数列的公比；③两式相减右边得到一个基本数列（等差数列或等比数列）与某项（或某几项）的和；④运用基本数列前n项和公式求出右边的和；⑤求出数列的前n项和（等式两边同除以的系数）。
[练习1]解答下列问题：
1、设数列｛｝满足=3，=3-4n。
（1）计算，，猜想数列｛｝的通项公式并加以证明；
（2）求数列｛｝的前n项和（2021全国高考新课标III）。（答案：（1）=5，=7，猜想数列｛｝的通项公式为：=2n+1，证明：提示：先证明数列｛--2｝是以0为首项，3为公比的等比数列，再运用等比数列的通项公式求出-的值，从而就可证明=2n+1。（2）数列｛｝的前n项和=（2n-1）+2。）
2、设等比数列｛｝满足+=4，-=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为数列｛｝的前n项和，若+=，求m（2020全国高考新课标III）。（答案：（1）数列｛｝的通项公式为=；（2）m=6。）
3、已知等比数列｛｝的前n项和为，公比q＞1，且+1为，的等差中项，=14。
（1）求数列｛｝的通项公式；
(2)记=.，求数列｛｝的前n项和（2019成都市高三二诊）（答案：（1）数列｛｝的通项公式为=；（2）数列｛｝的前n项和=（n-1）+2。）
【典例2】解答下列问题：
1、设m为正整数，数列，，------，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和（i＜j）后剩余的4m项可被平均分成m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，------，是（i，j）一可分数列。
（1）写出所有的（i，j）1ij6，使数列，，------，是（i，j）一可分数列；
（2）当m 3时，证明数列，，------，是（2，13）一可分数列；
（3）从1，2，------4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j)，记数列，，------，是
（i，j）一可分数列的概率为，证明＞（2024全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②（i，j）一可分数列定义与性质；③随机事件概率定义与性质；④等差数列通项公式及运用；⑤证明数列是（i，j）一可分数列的基本方法；⑥求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列和（i，j）一可分数列的性质，运用等差数列通项公式，结合问题条件就可写出所有的（i，j）1ij6，使数列，，------，是（i，j）一可分数列；（2）根据等差数列和（i，j）一可分数列数列的性质，运用等差数列{}的通项公式和证明数列是（i，j）一可分数列的基本方法，结合问题条件就可证明当m 3时，数列，，------，是（2，13）一可分数列；（3）根据等差数列，（i，j）一可分数列数列和随机事件概率的性质，运用等差数列{}的通项公式和随机事件概率的基本方法求就可证明＞。
【详细解答】（1）设数列，，------，的公差为d（d0），数列，，------，是公差为d（d0）的等差数列，数列，，，，数列，，，，数列，，，都是等差数列，（i，j）=（5，6），或（1，6），或（1，2），所有的（i，j）为（5，6），（1，6），（1，2）；（2）证明：设数列，，------，的公差为d（d0），从数列，，------，中抽出，后，剩余的4m个数可以分为两个部分m个组，第一部分：{，，，}，{，，，}，{，，，}三个组；第二部分：{，，，}，{，，，}，----，
{，，，}m-3个组（如果m-3=0，即m=3时，则忽略第二部分），当m 3时，数列，，------，是（2，13）一可分数列；（3）证明：设集合A ={4k+
1|k=0，1，2，----m}={，，，，------，}，集合B ={4k+2|k=0，1，2，----m}={，，，，------，}，①当iA ，jB，且i-j3时，设i=4+1，j=4+2，，{0，1，2，----m}，i-，≥，从数列，1，2，----m中取出i=4+1和j=4+2后，剩余的4m个数可以分成{1，2，3，4}，{5，6，7，8}，-----，{4-3，4-2，4-1，4}共组；{4+2，4+3，4+4，4+5}，{4+6，4+7，4+8，4+9}，-------，{4-2，4-1，4，4+1}共-组；{4+3，4+4，4+5，4+6}，{4+7，4+8，4+9，4+10}，--------，{4m-1，4m，4m+1，4m+2}共m-组（如果某一部分的组数为0，则可以忽略）三个部分，共m组，使得每组成等差数列，此时数列1，2，------4m+2是（i，j）-可分数列；②当jA ，iB，且j-i3时，设i=4+2，j=4+1，，{0，1，2，----m}，i，>，j-i3，（4+1）-（4+2）3，-1，-≥2，从数列1，2，----4m+2中取出i=4+2和j=4+1后，剩余的4m个数可以分成{1，2，3，4}，{5，6，7，8}，-----，{4-3，4-2，4-1，4}共组；{4+3，3++1，2+2+1，+3+1}，{3++2，2+2+2，+3+2，4+2}共2组；{4+p，3++p，2+2+p，+3+p}（p=3，4，-------），共--2组；{4+3，4+4，4+5，4+6}，{4+7，4+8，4+9，4+10}，------{4m-1，4m，4m+1，4m+2}共m-组（如果某一部分的组数为0，则可以忽略）四个部分，这里若将第三组的每一组为一个横排，排成应该包含--2个行， 4个列的数表以后，4个列分别为{4+3，4+4，----，3+}，
{3++3，3++4，----，2+2}，{2+2+3，2+2+4，----，+3}，{+3
+3，+3+4，----，4}，可以得到每一列都是连续的若干个整数，它们取并以后，将取完{4+1，4+2，----，4+2}中除开5个集合{4+1，4+2}，{3++1，3++2}，
{2+2+1，2+2+2}，{+3+1，+3+2}，{4+1，4+2}中的十个元素以外的所有数，这十个数除开已经取出4+2和4+1以外，剩余的八个数刚好就是第二部分中出现的八个数，从而可以说明以上给出的分组方式符合要求，此时数列1，2，------4m+2是（i，j）-可分数列，综上所述，对1≤i
==。
2、已知双曲线C：-=m（m＞0），点（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜n(n=2，3，---)，过斜率为k的直线与C的左支相交于点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为（，）。
（1）若k=，求（，）；
（2）证明数列｛-｝是公比为的等比数列；
（3）设为的面积，证明对任意的正整数n，=（2024全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③等比数列定义与性质；④证明数列是等比数列的基本方法；⑤三角形面积公式及运用；⑥两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质，结合问题条件求出m的值，从而得到双曲线C左顶点的坐标，运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，得到的坐标，就可求出（，）；（2）根据等比数列的性质和已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别得出1+k，1-k的表示时，运用证明数列为等比数列的基本方法，就可证明数列｛-｝是公比为的等比数列；（3）根据三角形面积公式，由（2）得到两点之间建立公式和三角形面积公式，结合问题条件得到点B到直线PA的距离，运用两条直线平行的充分必要条件和点到直线的距离公式，就可求出直线l的方程得。
【详细解答】（1）点（5，4）在C上，m=25-16=9，双曲线C的左顶点为（-3，0），过点（-3，0）和（5，4）直线的斜率k==，（-3，0），为关于y轴的对称点，=(3,0), =3,=0；（2）k=，1+k
=，1-k=， =，
=
===1，
=，数列｛-｝是公比为的等比数列；（3）=
=|（-）（-）-（-）（+）|，k== ，
设t=，=k|（-）（+）-（-）（+）|=k|-|
-=（-）==，+==，2=+，
=（+），=k|-（+）（）|=k|(
++18)-( ++9+)|=k|18-()9+)|，只与k相关，与n无关，=。
3、记为等差数列｛｝的前n项和，已知=11，=40。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛||｝的前n项和（2023全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④拆项求和法及运用。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值，就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{}通项公式得到数列{||}的通项公式，运用拆项求和的基本方法就可求出数列{||}的前n项和。
【详细解答】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=11，=40，
+d=11①，10+45d=40②，联立①②解得：=13，d=-2，=+（n-1）d=13-2n+2
=15-2n；（2）由（1）知，==15-2n，||= 15-2n，1≤n≤7，= 14n- ，1≤n≤7， 2n-15，n≥8， -14n+98，n≥8。
4、设等差数列｛｝的公差为d，且d>1，令=，记，分别为数列｛｝，｛｝的前n项和。
（1）若3=3+，+=21，求数列｛｝的通项公式；
（2）若｛｝为等差数列，且-=99，求d（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④拆项求和法及运用。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值，就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{}通项公式，数列{}的通项公式和等差数列的性质，结合问题条件得到关于首项为，公差d的等式，从而得到首项为关于d的表示式，运用等差数列前n项和公式，拆项求和的基本方法得到关于d的方程，求解方程就可求出d的值。
【详细解答】（1）设等差数列｛｝的首项为，等差数列｛｝的公差为d，且d>1，=，3=3+，+=21，3+3d=4+2d①，3+3d+++
=21②，联立①②解得：=3，d=3，=+3（n-1）=3n；（2）设等差数列｛｝的首项为，等差数列｛｝的公差为d，且d>1，=，=，
=，=，｛｝为等差数列，=+，（-d）（-2d）=0，=d或=2d，当=d时，===+，=99d+9949d
=9950d，=（1+2+------+99）+=，-=9950d-=99，
50d-=1，（50d-51）(d+1)=0， d=1或d=，d＞1， d=；=2d时，===，=299d+9949d=9951d，=（1+2+------+99）=，-=9951d-=99，51d-=1，（51d+50）(d-1)=0，d=-，d=1与题意不符，综上所述，若｛｝为等差数列，且-=99，则d=。
5、数列｛｝为等差数列，= -6，n为奇数，记，分别为｛｝，｛｝的
2，n为偶数，前n项和，=32，=16。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）证明：当n>5时，>（2023全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④拆项求和法及运用。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值，就可求出数列{}的通项公式；（2）根据数列{}通项公式得到数列{}的通项公式，运用拆项求和的基本方法就可求出数列{}的前n项和关于n的表示式，运用等差数列前n项和公式得到关于n的表示式，就可证明结论。
【详细解答】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=32，=16，2
+3d=16①，+d-3=4②，联立①②解得：=5，d=2，=+（n-1）d=5+2n-2=2n+3；
（2）当n为奇数时，= -6=2n+3-6=2n-3，当n为偶数时，=2=4n+6，当n为奇数时，=2（1+3+------+n-2）++4(2+4+-------+n-1)++2n-3=+
n-8，当n为奇数时，=2（1+3+------+n-1）+n+4(2+4+-------+n)+3n=+n，
=5n+2=+4n，当n为奇数时，-=+n-8--4n=+n-8>
+-8=20-8=12>0；当n为偶数时，-=+n--4n=+n>0，综上所述，当n>5时，>。
6、已知数列｛｝满足：=-2，=2+4.
（1）证明数列｛+4｝是等比数列；
（2）求数列｛｝的前n项和。（2021成都市高三一珍）
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②证明数列是等比数列的基本方法；③等比数列通项公式及运用；④等差中项定义与性质；⑤等比数列前n项和公式及运用；⑦拆项求和法及运用。
【解题思路】（1）根据等比数列的性质，运用证明数列是等比数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列｛+4｝是等比数列；（2）根据（1）得到数列数列｛｝的通项公式，运用等比数列前n项和公式与拆项求和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）=2+4.，+4=2+8+2（+4），=2，
=-2，+4=-2+4=2，数列｛+4｝是以2为首项，2为公比的等比数列；（2）
由（1）知，+4=2=，=-4，=-4n+（2++-----+）=-4n+
=-4n-2。
〖思考问题2〗
（1）【典例2】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；
（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是几项的和，各项分别组合构成一个基本数列（等差数列或等比数列）的特征，然后利用拆项求和法求出数列的前n项和。
[练习2]解答下列问题：
1、在等比数列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛|-4|｝的前n项和（成都市2018级高三一珍）（答案：（1）数列｛｝的通项公式为=；（2）数列｛|-4|｝的前n项和=-4n-2。）
2、已知数列｛｝的前n项和= (n)。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设= + ，求数列｛｝的前2n项和。（答案：（1）数列｛｝的通项公式为=n；（2）数列｛｝的前2n项和==+-2（n为偶数）或=--2（n为奇数）。）
【典例3】解答下列问题：
1、已知数列｛｝中，=3，=（n∈）。
（1）证明：数列｛1-｝为等比数列；
（2）求数列｛｝的通项公式；
令=，证明：<<1。（成都市2022级高三一诊）
【解析】
【考点】①数列定义与性质；②数列递推公式定义与性质；③等比数列定义与性质；④证明数列是等比数列的基本方法；⑤求数列的通项公式的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列和数列递推公式的性质，运用独立性检验的基本方法，结合问题条件就可证明数列｛1-｝为等比数列；（2）根据等比数列的性质，运用求数列的通项公式的基本方法，结合问题条件就可求出数列｛｝的通项公式；（3）根据（2）得到的表示式，从而就可证明<<1。
【详细解答】（1）证明：=3，1-=1-=，=，（+2）
=3，1+=，3-=2-，3（1-）=2（1-），
=，数列｛1-｝为等比数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）知数列｛1-｝为等比数列是以为首项，为公比的等比数列1-=
=，1-=，=，数列｛｝的通项公式为=；（3）证明：由（2）知=，====，-（1-）=-=（-1）=-<0，0<<1-
，<1，<1，-=-
==
=>0，>，<<1。
2、已知数列｛｝为等差数列，数列｛｝是公比为2的等比数列，且-=-
=-。
（1）证明：=；
（2）求集合{k|=+，1m500}中元素个数（2022全国高考新高考II卷）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等比数列定义与性质；③等差数列通项公式及运用；④等比数列通项公式及运用；⑤表示集合的基本方法。
【解题思路】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，等比数列｛｝首项为，根据等差数列和等比数列的性质，运用等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到关于，d，的方程组，求解方程组求出，就可证明结论；（2）由（1）知==，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到k关于m的表示式，由m的取值范围，求出k的取值范围，从而就可求出求集合{k|=+，1m500}中元素个数。
【详细解答】（1）证明：设等差数列｛｝的首项为，公差为d，等比数列｛｝首项为，-=-=-，+d-2=+2d-4，d-2=0①，+2d-4=8--3d，12-2-5d=0②，联立①②得：2-2=0，=；（2）
由（1）知==，=.=d.，+=+(m-1)d+=md，=+，
d.=md，=m，1m500，1500，0k-28，2k10，
集合{k|=+，1m500}={2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{k|=+，1m500}中元素个数是9个。
3、已知等差数列{}满足2+=0，=2-2。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=，求数列{}的前n项和（成都市2019级高三一诊）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③数列前n项和定义与性质；④求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式得到关于等差数列{}的首项，公差的方程组，求解方程组求出数列{}的首项，公差的值就可得出数列{}的通项公式；（2）根据数列前n项和的性质，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】（1）设等差数列{}的首项为，公差为d， 2+=0，=2-2，
3+6d=0①，+6d=2+6d-2②，联立①②解得：=2，d=-1，数列{}的通项公式为=2+（n-1）(-1)=-n+3；（2）===， 数列{}的前n项和为=+2+1+++------+==8（1-）=8-。
+1，n为奇数，
4、已知数列｛｝满足：=1，= +2，n为偶数。
（1）记=，写出，，并求数列{}的通项公式；
（2）求｛｝的前20项和（2021全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①数列递推公式及运用；②等差数列的定义与性质；③等差数列通项公式及运用；④等差数列前n项和公式及运用；⑤判断一个数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列递推公式，结合问题条件求出，，运用判断一个数列是等差数列的基本方法，判断数列{}为等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）知求数列｛｝的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列，运用等差数列的前n项和公式就可求出｛｝的前20项和。
【详细解答】（1）=1，=，==+1=1+1=2，==+1=+2+1=2+2+1=5，
==+1=+2+1=+3，=，-=+3-=3，数列{}是以2为首项，3为公差的等差数列，=2+3（n-1）=3n-1，即数列{}的通项公式为：
=3n-1；（2）由（1）知数列｛｝的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列，=101+3+102+3=30+1093=300，即数列｛｝的前20项和为300。
5、已知数列{}的各项均为正数，记为{}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。①数列{}是等差数列；②数列{}是等差数列；③=3。注：若选择不同组合分别解答，则按第一个解答计分。（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④证明数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质，由题意，不妨选择①③为条件，证明②成立，运用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列{}首项，公差d的等式，从而把首项表示为关于公差d的式子，得到关于公差d的式子，利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。
【详细解答】设等差数列{}的公差为d，=+d，=3，=，
=n+d=(+-)d=d，数列{}的各项均为正数，d>0，
==，当n=1时，=，当n2时，=，
=，-=（-）=为常数，数列{}是以
为首项，为公差的等差数列。
6、记为{}的前n项和，为数列{}的前n项积，已知+=2。
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）求数列{}的通项公式。（2022全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②判断（或证明）一个数列是等差数列的基本方法；③数列通项与前n项和之间的关系；④等比数列的定义与性质；⑤等差中项的定义与性质；⑥等比数列通项公式及运用；⑦等比数列前n项和公式及运用；⑧裂项相消法求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用数列通项与前n项与之间的关系和判断（或证明）一个数列是等差数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列{}是等差数列；（2）根据等差数列数的性质，运用等差数列的通项公式和数列通项与前n项与之间的关系，结合问题条件就可求出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】（1）证明：当n2时，=，+=2，+=2，
2（-）=1，-=，当n=1时，+=2，=2，=，数列{}是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得：=+（n-1）=，
+=2，+=2，=，=，当n=1时，=
=，当n2时，=-=-=-， 当n=1时，=-，
数列{}的通项公式为：= ，n=1，
-，n2。
7、设{}是首项为1的等比数列，数列{}满足：=，已知，3，9成等差数列。
（1）求数列{}，{}的通项公式；
（2）记和分别为{}，{}的前n项和，证明：<（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等比数列的定义与性质；③等差中项定义与性质；④等比数列通项公式及运用；⑤等比数列前n项和公式及运用；⑥裂项相消法求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】根据等比数列和等差中项的性质，运用等比数列的通项公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝公比的方程，求解方程求出公比的值就可求出数列{}，{}的通项公式；（2）根据等比数列的性质，运用等比数列前n项和公式与裂项相消法求数列前n项和的基本方法分别求出数列｛｝，{}的前n项和与就可证明结论。
【详细解答】设等比数列{}的公比为q，数列{}首项为1，，3，9成等差数列，6q=1+9，=0，q=，=，==n，数列{}，{}的通项公式分别为：=，=n；（2）==-，
=+2+3+------+（n-1）+n①，=+2+3+-----+（n-1）+ n ②，①-②得：=+++-----+- n =
- n =-- n =-（+），=-（+），
-=-（+）-+=（--）=-<0，<。
8、记是公差不为0的等差数列{}的前n项和，若=，.=。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求使>成立的n的最小值（2021全国高考新高考II卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列{}首项，公差的方程组，求解方程组求出等差数列{}首项，公差的值就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）得到等差数列{}的通项公式与前n
项和公式，从而得到关于n的不等式，求解不等式就可求出使>成立的n的最
小值。
【详细解答】（1）设等差数列{}的首项为，公比为q，=，.=，
+2d=3+3d①，（+d）（+3d）=4+6d②，联立①②解得：=0，d=0或=-，d=，d0，=-，d=，=-+（n-1）=n-，数列{}的
通项公式=n-；（2）由（1）得：=-n+=-n，>，
-n>n-，-4n+3>0，n<1或n>3，n， n>3，即使>成立的n的最小值为4。
9、已知数列｛｝中，=1，=3，+3=4，=-，n。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记=（+），数列｛｝的前n项和为，求（2021成都市高三三诊）。
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②判断一个数列是等比数列的基本方法；③等比数列通项公式及运用；④对数的定义与性质；⑤等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】（1）根据等比数列的性质和判断一个数列是等比数列的基本方法，结合问题条件得到数列｛｝是等比数列，运用等比数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据（1）求出关于n的式子，从而得到=+，运用对数的性质得到数列｛｝的通项公式，运用等差数列的前n项和公式就可求出的值。
【详细解答】（1）+3=4，=-，-=3（-），
=3，=3，=1，=3，=-=3-1=2，数列｛｝是以2为首项，3为公比的等比数列，数列｛｝的通项公式为：=2；（2）=（-）+（-）+------+（-）+（-）+=++------+++=+1=，
=-，=+，=（+）===n，=+
+------+=1+2+------+（n-1）+n=，即==210。
10、设｛｝是公比不为1的等比数列，为，的等差中项。
（1）求｛｝的公比；
（2）若=1，求数列｛｝的前n项和（2020全国高考新课标I）。
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列通项公式的定义与性质；④等比数列前n项和的定义，公式与求法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质得到关于公比q的方程，求解方程就可求出等比数列｛｝的公比；（2）根据等比数列前n项和公式通过运算就可得出等比数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q，=q，=，为，的等差中项，2=q+ ，+q-2=0，q=1或q=-2，q1，q=-2；（2）=1，
q=-2，==-。
11、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为｛｝在区间（0，m]（m∈）中的项的个数，求数列{}的前100项和（2020全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式的定义与求法；④等比数列前n项和的定义，公式与求法；⑤任意数列前n项和的定义与求法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组就可求出首项，公比q的值，从而得出等比数列｛｝的通项公式；（2）根据题意确定出数列{}各项的值，利用任意数列前n项和的定义与求法就可求出数列｛｝的前100项的和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的首项为，公比为q，=q，=，=， 20，+==8，q+=20①，=8②，联立①②解得：q=2，=2，或=32，
q=，q>1， q=2，=2，=2=；（2）1<=22，2<==44，4<==88，10<==1616，30<==3232，60<==6464，=
=128>100，=0，==1，====2，==-----==3，==-----
==4，==-----==5，==-----=6，=0+12+24+38+416
+532+637=0+2+8+24+64+160+236=484。
12、已知公比大于1的等比数列｛｝满足+=20，=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求-+------+（2020全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式的定义与求法；③④对数的定义与性质；⑤等比数列前n项和公式定义与运用；⑥错项相减求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）运用等比数列的性质，求等比数列通项公式的基本方法，结合问题条件求出等比数列首项和公比q的值，从而得到等比数列的通项公式；（2）根据（1）得到=.=，从而知道-+------+
中奇次项为正，偶次项为负，将奇次项组合在一起得到一个等比数列，偶次项组合在一起也得到一个等比数列，利用等比数列前n项和公式分别求出两个等比数列的和再相加就可求出-+------+，这里需要注意项数为奇数和偶数两种情况的不同结果。
【详细解答】（1）设等比数列的首项为，公比为q，+=q（1+）=20，==8，
=32，q=，或=2，q=2，q>1，=2，q=2，=2=；（2）
=.=，-+------+=-+-+----
+=（++-------）-（++-------），①当n为奇数时，-+------+=+-=-+++-=8+（1-4）+=8-+；②当n为偶数时，-+------+=-=-++-=8+（1-4）=8-。
〖思考问题3〗
（1）【典例3】是等差数列，等比数列之间的综合问题，解答这类问题需要理解等差数列，
等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题；
第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题一般是求数列的前n项和，解答时应该分辨清楚数列是等差数列，还是等比数列，然后直接选用相应的前n项和公式通过运算求出结果。
[练习3]解答下列问题：
1、已知数列{ }和{ }满足=1，=0，4=3-+4，4=3--4。
（1）证明：{ +}是等比数列，{ -}是等差数列；
（2）求数列{ }和{ }的通项公式。（2020全国高考新课标II）（答案：（1）提示：运用证明等差数列和等比数列的基本方法；（2） =+n-，=-n+。）
2、记为等差数列{ }的前n项和，已知=-。
（1）若=4，求数列{ }的通项公式；
（2）若＞0，求使得的n的取值范围（2019全国高考新课标I）（答案：（1）=-2n+10；（2）当时，n的取值范围是[1，10]。）
3、已知{ }是各项均为正数的等比数列，=2，=2+16。
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）设= ，求数列{ }的前n项和（2019全国高考新课标II）（答案：（1）=；（2）=。）
【典例4】解答下列问题：
1、已知正项数列｛｝的前n项和为，且（2-）=1。
（1）求，；
（2）证明：数列｛｝是等差数列；
（3）求数列｛｝的前n项和。（成都市2022级高三三珍）
【解析】
【考点】①数列定义与性质；②等差数列定义与性质；③数列通项定义与性质；④数列前n项和定义与性质；⑤数列通项与数列前n项和的关系及运用；⑥判断（或证明）一个数列是等差数列的基本方法；⑦求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列，数列通项与数列前n项和的性质，运用数列通项与数列前n项和的关系，结合问题条件就可求出，；（2）根据数列，等差数列，数列通项与数列前n项和的性质，运用数列通项与数列前n项和的关系和判断（或证明）一个数列是等差数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列｛｝是等差数列；（3）据随数列，数列通项与数列前n项和的性质，运用求数列前n项和的基本方法，结合问题条件就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）当n=1时，（2-）=（2-）==1，>0，=1，
==1；当n=2时，（2-）=（2+2-）=+2=1，>0，=-1，
=+=1+-1=；（2）证明：当n≥2时，（2-）=1，（-）（2-+）=（-）（+）=-=1，-=2-1=1，数列｛｝是以1为首项，公差为1的等差数列；（3）由（2）可得=1+（n-1）1=1+n-1=n，>0，=，===-，
数列｛｝的前n项和=（-1+-+---+-+-）=-1。
2、记为数列｛｝的前n项和，已知=1，{}是公差为的等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）证明：+ +------+ <2（2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前N项和公式及运用；④数列前N项和公式与通项公式之间的关系及运用；⑤裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，结合问题条件得到与之间的关系式，求出，从而得到关于，的等式，运用判断一个数列是等差数列的基本方法判断数列｛｝是等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝的首项为，公差为d的方程组，求解方程组求出等差数列｛｝的首项为，公差为d的值就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）=1，==1，=1，{}是公差为的等差数列，
=1+（n-1）=n+，=（n+），=（n+）（n2），
-==n（-）+-，（n-1）-（n+1）=0，
=，=，-------，=，=，=，=1+=，
3（+）=4，=3=3，=（n2），当n=1时，=
=1成立，数列｛｝的通项公式为： =；（2）证明：由（1）知，=，
==2（-），+ +------+ =2（1-+-+-------+-
+-）=2（1-）<21=2，+ +------+ <2。
3、为数列｛｝的前n项和，已知>0，+2=4+3。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=，求数列｛｝的前n项和。（2022全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④判断（或证明）一个数列是等差数列的基本方法；⑤等差数列前n
项和公式及运用；⑥裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件求出，从而得到关于，的等式，运用判断（或证明）一个数列是等差数列的基本方法判断数列｛｝是等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据等差数列的性质，运用等差数列前n项和公式和裂项相消求数列前n项和的基本方法，结合问题条件就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）当n=1时， +2=4+3，=4，=3或=-1，>0，=3；当n2时，+2=4+3①，+2=4+3②，①-②得：
-+2-2=4（-）=4，（+）（-）-2（+）=（+）
（--2）=0，+>0，--2=0，-,=2，+2=4（+）+3，=16，=5或=-3，>0，=5，当n2时，数列｛｝是以5为首项，2为公差的等差数列，=5+2（n-2）=2n+1（n2），当n=1时，=21+1
2+1=3成立，数列｛｝的通项公式为： =2n+1；（2）==
=（-），=++------+=（-+-+-------+-
+-）=（-）=，即数列｛｝的前n项和为。
4、已知等差数列｛｝的前n项和满足：=0，=-5。
（1）数列｛｝的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列的性质，运用等差数列前n项和公式和通项公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝的首项为，公差为d的方程组，求解方程组求出等差数列｛｝的首项为，公差为d的值就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据等差数列的性质，运用等差数列的通项公式和裂项相消求数列前n项和的基本方法，结合问题条件就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=3+3d=0①，=5+10d=-5②，联立①②解得：=1，d=-1，=1-（n-1）=2-n，即数列｛｝的通项公式为： =2-n；（2）===（
-），=（-1-1+1-+-+-+-------+-+-）=（-1-）=-，即数列｛｝的前n项和为-。
〖思考问题4〗
（1）【典例4】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果；
（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是一个分式，分式的分子为常数，分母是几个连续整数的积这一结果特征，然后利用裂项相消法求出数列的前n项和。
[练习4]解答下列问题：
1、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2021成都市高三二珍）（答案：（1）=；（2）=。）
2、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=2，=66.
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）若数列｛｝满足=，求证：++------+＜1。（2021成都市高三零珍）（答案：（1）=n；（2）提示：运用裂项相消法求出数列的前n项和的基本方法求出，就可证明结论。）
3、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=2，=66.
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）若数列｛｝满足=，求数列｛｝的前n项和（2020成都市高三零珍）（答案：（1）=n；（2）=-2。）
【典例5】解答下列问题：
1、记为数列{}的前n项和，已知+n=2+1。
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②数列通项公式与前n项和公式之间的关系及运用；③证明数列是等差数列的基本方法；④等差数列通项公式及运用；⑤等比中项定义与性质；⑥等差数列前n项和公式及运用；⑦求一元二次函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用证明数列是等差数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列{}是等差数列；（2）根据等差数列通项公式表示出，，关于的式子，运用等比中项的性质得到关于的方程，求解方程求出的值，由等差数列前n和公式得到关于n的一元二次函数，利用一元二次函数求最值的基本方法就可求出的最小值。
【详细解答】（1）证明：当n2时， +n=2+1， 2=2n+n-①，2=2（n-1）+n-1-②，①-②得：2（-）=2=2n+n--2（n-1）-n+1
+，2（n-1）-2（n-1）=2（n-1），-=1（n2，n），当n=2时，- =1，数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）知，=+3，=+6，=+8，，，成等比数列， =（+3）（+8），=-12，数列{}是以-12为首项，1为公差的等差数列，=-12n+1=-n，当且仅当n=-==13（或n=12）时，取得最小值为= = =（13-25）=-78，若，，成等比数列，则的最小值为-78。
2、设为等差数列｛｝的前n项和，已知=-7，=-15。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求，并求的最小值（2018全国高考新课标II卷（理））
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列前n项和公式及运用；③等差数列通项公式及运用；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用等差数列｛｝的前n项和公式得到关于公差d的方程，求解方程求出公差d的值，从而求出数列｛｝的通项公式；（2）由（1）得到关于n的函数，
利用求函数最值的基本方法就可求出的最小值。
【详细解答】（1）设等差数列｛｝的公差为d，=-7，=3+3d=-15，d=2，数列｛｝的通项公式为：=-7+（n-1）2=2n-9；（2）由（1）得=-7n+2
=-8n，当且仅当n=-=4时，=16-84=-16为最小，的最小值是-16。
〖思考问题5〗
（1）【典例5】是等差数列，等比数列之间的综合与求等差数列前n项和的最值问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意等差数列前n项和是关于n的二次函数，运用求函数最值的基本方法就可求出结果；
（2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是求等差数列前n项和的最值问题，解答时注意等差数列前n项和是关于n的二次函数，利用求函数最值的基本方法就可求出等差数列的前n项和的最值。
[练习5]解答下列问题：
1、设{ }是等差数列，=-10，+10，+8，+6成等比数列。
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）记{ }的前n项和为，求的最小值（2019全国高考北京）（答案：（1）=2n-12；（2）的最小值是-25。）

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