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(共53张PPT)
单项式与单项式、多项式相乘
人教版八年级上册
复习回顾
1.幂的运算性质有哪几条？
同底数幂的乘法法则：am·an=am+n ( m、n都是正整数).
幂的乘方法则：(am)n=amn ( m、n都是正整数).
积的乘方法则：(ab)n=anbn ( m、n都是正整数).
2.计算：(1)x2 · x3 · x4= ;
(2)(x3)6= ; (3)(–2a4b2)3= ;
(4) (a2)3 · a4= ；
(5) （- ）5·（- ）5 = .
x9
x18
–8a12b6
a10
1
回
顾旧知
掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则.
能够灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算.
让学生主动参与到探索过程中，培养学生思维的严密性和初步解决问题的能力.
学
习
目
标
重点
难点
素养
课标要求
x
mx
x
x
x
若两张画纸同样大小请大家列式计算一下两幅画的面积
第一幅的面积是
第二幅的面积是
mx
x(mx)
(mx)( )
单位：米
这是两个单项式相乘，结果可以表达得更简单些吗？
新课精讲
对于上面的问题的结果：
这两个结果可以表达得更简单些吗？说说你的理由？
第一幅画的画面面积是 米2 .
第二幅画的画面面积是 米2 .
根据乘法的交换律、结合律，幂的运算性质.
知识点1
单项式与单项式相乘
光的速度约是3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗
地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102)km.
(3×105)×(5×102)
=(3×5)×(105×102)
=15×107.
乘法交换律、结合律
同底数幂的乘法
这样书写规范吗？
不规范，应为1.5×108.
怎样计算(3 ×105)×(5 ×102)？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？
想一想
如果将上式中的数字改为字母，比如ac5 ·bc2，怎样计算这个式子？
根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？
ac5 · bc2 =(a ·b) ·(c5·c2) (乘法交换律、结合律)
=abc5+2 (同底数幂的乘法)
=abc7.
如果将上式中的系数改为不是1的，比如3a2b ·2ab3,怎样计算这个式子？
根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？
3a2b ·2ab3 =（3×2）(a2 ·a) ·(b·b3) (乘法交换律、结合律）
=6a2+1b1+3 (同底数幂的乘法）
=6a3b4.
解：
=
=
相同字母的指数的和作为积里这个字母的指数
只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。
各因式系数的积作为积的系数
单项式乘以单项式的结果仍是单项式.
例
解：原式=
=－3a2b3c
c
(a a)
(b b2)
各系数因数
结合成一组
相同的字母
结合成一组
你能叙述单项式与单项式相乘的法则吗？
不能遗漏
法则
尝试解答：
计算：(－2abc) ( ab2 )
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
[(－2) ]
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与单项式的乘法法则
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
注意
例 计算：
(1)(–5a2b)(–3a)； (2)(2x)3(–5xy2).
解:(1) (–5a2b)(–3a)
= [(–5)×(–3)](a2 a)b
= 15a3b；
(2) (2x)3(–5xy2)
=8x3(–5xy2)
=[8×(–5)](x3 x)y2
= –40x4y2.
单项式与单项式相乘
有理数的乘法与同底数幂的乘法
乘法交换律和结合律
转化
单项式相乘的结果仍是单项式.
素养考点
单项式乘以单项式法则的应用
计算：（1） ；
（2） - 2 a2b3 · ( - 3a) ；
（3） 7 xy 2z·(2xyz) 2.
例
（1） ；
（2）- 2 a2b3·( - 3a) = [ ( - 2)·( - 3) ] ( a2 a)·b3
= 6 a3b3 ；
（3）7 xy 2z·(2xyz) 2=7xy2z ·4x2y2z2= 28x3y4z3 ；
解：
单项式相乘的结果仍是单项式
单相乘，系数乘，相同字母分别乘；
单独字母连指数，写在积里作因式。
单项式与单项式相乘
注意事项：
1.把系数相乘，注意符号；
2.相同字母因式相乘（同底数幂的乘法，底数不变，指数相加）
3.只在一个单项式里单独含有的字母，要连同它的指数作为积的因式（照抄），防止遗漏；
4.若某一单项式是乘方的形式时，要先乘方，再算乘法；
5.单项式乘以单项式的结果仍然是一个单项式，结果要把系数写在字母因式的前面；
下面各题的计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)3a3·2a2=6a6 ( ) 改正： .
(2)2x2·3x2=6x4 ( ) 改正： .
(3)3x2·4x2=12x2 ( ) 改正： .
(4)5y3·3y5=15y15 ( ) 改正： .
3a3 ·2a2=6a5
3x2 ·4x2=12x4
5y3·3y5=15y8
×
×
×
计算：
(1) 3x2 ·5x3 ； (2)4y ·(–2xy2)；
(3) (–3x)2 ·4x2 ； (4)(–2a)3(–3a)2.
解：(1)原式=(3×5)(x2·x3)=15x5；
(2)原式=[4×(–2)](y·y2) ·x= –8xy3；
(3) 原式=9x2·4x2 =(9×4)(x2·x2)=36x4；
(4)原式= –8a3·9a2 =[(–8)×9](a3·a2)= –72a5
单独因式x别漏乘、漏写
有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
例2 已知–2x3m＋1y2n与7xn–6y–3–m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
解：∵–2x3m＋1y2n与7xn–6y–3–m的积与x4y是同类项.
∴m2＋n＝7.
解得：
方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可．
素养考点
利用单项式乘法的法则求字母的值
解得：
∴m、n的值分别是m=1，n=2.
已知 求 的值.
解：
1．计算：(2x3y)2·(－3x2y3z)．
解：原式＝4x6y2·(－3x2y3z)＝－12x8y5.
以上解法错在什么地方？请你改正过来．
解： 1.在计算时漏乘了第二项中的z.
正解：原式＝4x6y2·(－3x2y3z)＝－12x8y5z.
以上解法错误的原因是什么？请你改正过来．
解：错因：单项式乘单项式时，有积的乘方时要先算乘方，再算乘法，不能忽视积的乘方运算的优先性．
单项式与多项式相乘
问题 如图，试求出三块草坪的总面积是多少？
如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____.
p
p
a
b
p
c
pa
pc
pb
知识点2
c
b
a
p
如果把它看成一个大长方形，那么它的长为________，面积可表示为_________.
p(a+b+c)
(a+b+c)
如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____.
如果把它看成一个大长方形，那么它的面积可表示为_________.
c
b
a
p
pa
pc
pb
p(a+b+c)
pa+pb+pc
p(a+b+c)
pa+pb+pc
p(a+b+c)
p (a + b+ c)
pb
+
pc
pa
+
根据乘法的分配律
探究
你还能通过别的方法得到等式p(a b c) pa pb pc吗？
类比单项式乘单项式，说说这是什么运算？
单项式乘多项式
探究
尝试计算：2x(x 2y)
2x(x 2y)
2x·x 2x·2y
2x2 4xy
乘法分配律
单项式乘单项式
讨论
尝试归纳单项式乘以多项式的运算法则.
单项式乘多项式
解：
转化
单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
1. 依据是乘法分配律.
2. 积的项数与多项式的项数相同.
注意
P
b
p
a
p
c
单项式乘以多项式的法则
单项式乘以多项式的法则
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
（1）依据是乘法分配律
（2）积的项数与多项式的项数相同.
提示
m
b
p
a
p
c
p(a+b+c)= pa+pb+pc
(p,a,b,c都是单项式.)
例 计算：
(1)(–4x)·(2x2+3x–1)；
解：(1)(–4x)·(2x2+3x–1)
＝
＝–8x3–12x2+4x；
(–4x)·(2x2)
(–4x)·3x
(–4x)·(–1)
+
+
(2)原式
单项式与多项式相乘
单项式与单项式相乘
乘法分配律
转化
素养考点
利用单项式乘以多项式的法则进行运算
方法总结：1.用单项式去乘多项式的每一项，结果是一个多项式，项数与因式中多项式的项数相同.2.含有混合运算的应注意运算顺序，有同类项必须合并同类项，从而得到最简结果.
（2）（ab2-2ab）·ab
计算：
(1) 3a(5a 2b)； (2) (x 3y)( 6x)
解：(1) 3a(5a 2b)
3a·5a 3a·2b
15a2 6ab
异号得负
同号得正
(2) (x 3y)( 6x)
x·6x 3y·6x
6x2 18xy
①
②
③
下列各题的解法是否正确，如果错了，指出错在什么地方，并改正过来.
×
×
×
漏了单独字母
漏乘1
符号没有变化
1.注意符号；
2.不要漏乘，尤其是“1， 1”.
例先化简，再求值：3a(2a2–4a＋3)–2a2(3a＋4)， 其中a＝–2.
当a＝–2时
解：3a(2a2–4a＋3)–2a2(3a＋4)
＝6a3–12a2＋9a–6a3–8a2
＝–20a2＋9a.
原式＝–20×(–2)2+9×(–2)
= –20×4–9×2
＝–98.
方法总结：按运算法则进行化简，然后代入求值，特别注意的是代入“负数”要用括号括起来．
素养考点
单项式乘以多项式的化简求值问题
先化简再求值:
解:原式=
原式=
例 如果(－3x)2(x2－2nx＋2)的展开式中不含x3项，求n的值．
方法总结：当要求多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0.
解：(－3x)2(x2－2nx＋2)
＝9x2(x2－2nx＋2)
＝9x4－18nx3＋18x2.
因为展开式中不含x3项，所以n＝0.
单项式乘以多项式的化简求字母的值
素养考点
方法总结：在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序.注意当要求多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0.
如果(x+a)x–2(x+a)的结果中不含x项，那么a的值为(　　).
A.2　　 B.–2　　 C.0.5　 　D.–0.5
解析：(x+a)x–2(x+a)=x2+ax–2x–2a
=x2+(a–2)x–2a
∵ x2+(a–2)x–2a中不含x项.
∴ a–2=0，即a=2.
A
1. 计算：(2a) (ab)=(　　)
A．2ab B．2a2b
C．3ab D．3a2b
2. 计算：x (–2x2)3= ．
B
–4x7
3.（岳阳）已知x2+2x＝﹣1，则代数式5+x（x+2）的值为________．
4.（桂林）计算：ab （a+1）＝________．
4
a2b+ab
我们一起来 吧!
1.计算 3a2·2a3的结果是( )
A.5a5 B.6a5 C.5a6 D.6a6
2.计算(–9a2b3)·8ab2的结果是( )
A.–72a2b5 B.72a2b5 C.–72a3b5 D.72a3b5
3.若(ambn)·(a2b)=a5b3 那么m+n=( )
A.8 B.7 C.6 D.5
B
C
D
基础巩固题
(1)4(a–b+1)=___________________；
4a–4b+4
(2)3x(2x–y2)=___________________；
6x2–3xy2
(3)(2x–5y+6z)(–3x) =___________________；
–6x2+15xy–18xz
(4)(–2a2)2(–a–2b+c)=___________________.
–4a5–8a4b+4a4c
4.计算:
5. 计算：–2x2·(xy+y2)–5x(x2y–xy2).
解：原式=( –2x2) ·xy+(–2x2) ·y2+(–5x) ·x2y+(–5x) ·(–xy2)
= –2x3 y+(–2x2y2)+(–5x3y)+5x2y2
= –7x3 y+3x2y2.
6. 解方程：8x(5–x)=34–2x(4x–3).
解得： x=1.
解：原式去括号，得：40x–8x2=34–8x2+6x，
移项，得： 40x–6x=34，
合并同类项，得：34x=34，
6.要使(x2+ax+1)(-6x3)的展开式中不含x4的项，则a应等于( ).
A.6 B.-1 C. D.0
D
7.一个长方体的长、宽、高分别是3a-4，2a，a，它的体积等
于( ).
A.3a3-4a2 B.a2 C.6a3-8a2 D.6a3-8a
C
8.计算：(x2-2y)(xy2)2=_____________.
x4y4-2x2y5
4a-4b+4
6x2-3xy2
-6x2+15xy-18xz
-4a5-8a4b+4a4c
9.计算
(1)4(a-b+1)=___________________；
(2)3x(2x-y2)=___________________；
(3)(2x-5y+6z)(-3x) =___________________；
(4)(-2a2)2(-a-2b+c)=___________________.
(5)4m(3a-2b+n)=___________________；
(6)2x(3y+2x-7)=___________________；
12ma-8mb+4mn
6xy+4x2-14x
10. 先化简,再求值：
2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b= -3.
因为 a=2,b=-3.
=29
解: 原式=2a2 –2ab –2ab+b2 +2ab
= 2a2 -2ab +b2
2
2
所以原式= 2a2 -2ab +b2
= 2× -2×2× (-3)＋
= 8 + 12+ 9
22
(-3)
2
2
2
住宅用地
人民广场
商业用地
3a
3a+2b
2a–b
4a
1.如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.
解：4a[(3a+2b)+(2a–b)]
＝4a(5a+b)
＝4a·5a+4a·b
＝ 20a2+4ab.
答：这块地的面积为20a2+4ab.
能力提升题
2.某同学在计算一个多项式乘以-3x2时，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-2x＋1，那么正确的计算结果是多少？
解：设这个多项式为A，则.
A＝4x2－2x＋1.
所以A·(－3x2)＝(4x2－2x＋1)(－3x2)
A＋(－3x2)＝x2－2x＋1.
＝－12x4＋6x3－3x2.
1.某同学在计算一个多项式乘以–3x2时，算成了加上–3x2，得到的答案是x2–2x＋1，那么正确的计算结果是多少？
解：设这个多项式为A，则.
∴A＝4x2–2x＋1.
∴A·(–3x2)＝(4x2–2x＋1)(–3x2)
A＋(–3x2)＝x2–2x＋1.
＝–12x4＋6x3–3x2.
拓广探索题
2.若(x+4)(x-3)=x2+mx-n，则( ).
A.m=-1，n=12. B.m=-1，n=-12.
C.m=1，n=-12. D.m=1，n=12.
解析:因为(x+4)(x-3)=x2+x-12.
而(x+4)(x-3)=x2+mx-n.
所以x2+x-12=x2+mx-n.
则m=1，n=12.
D
拓广探索题
单项式与单项式、多项式相乘
单项式乘单项式
实质上是转化为同底数幂的运算
单项式乘
多项式
实质上是转化为单项式×单项式
四点注意
(1)计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负.
(2)不要出现漏乘现象.
(3)运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减.
(4)对于混合运算，注意最后应合并同类项.
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢
谢
再 见
下课了!
谢谢观看
初中数学人教版八年级上册

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