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整式的除法
人教版八年级上册
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1、同底数幂的乘法：am · an=am+n
(m、n都是正整数）
即：同底幂相乘，底数不变，指数相加。
2、幂的乘方：（am）n=amn(m、n都是正整数）
即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方：（ab）n=anbn(n是正整数）
即：积的乘方，等于积中各个因式分别乘方的积。
三种幂的运算
掌握同底数幂除法的运算法则并能正确计算.
知道除0以外任何数的0次幂都等于1.掌握单项式除以单项式及多项式除以单项式的运算法则并能正确计算.
让学生主动参与到探索过程中，培养学生思维的严密性和初步解决问题的能力.
学
习
目
标
重点
难点
素养
课标要求
探究发现
1.计算：
（1）109×103=？ （2）10m-n·10n=
（3）(-3)m×(-3)n=？
1012
10m
(-3)m+n
2.填空：
（1）（ ）（ ）×103=1012 （2）10n·（ ）（ ）=10m
（3）（ ）（ ）×(-3)n=(-3)m+n
10
9
10
m-n
-3
m
本题直接利用同底数幂的乘法法则计算
本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算
相当于求1012 ÷103=？
相当于求10m÷10n=？
相当于求(-3)m+n ÷(-3)n=？
同底数幂的除法
知识点 1
新课精讲
4. 试猜想：am ÷an= (m，n都是正整数，且m>n.)
3. 观察下面的等式，你能发现什么规律？
(1)28 ÷23=25
(2)x10÷x6=x4
(3) 2m+n ÷2n=2m
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
am ÷an=am–n
=28–3
=x10–6
=2(m+n)–n
验证：因为am–n ·an=am–n+n=am，所以am ÷an=am–n.
∴ am÷an=
证明: (法一) 用逆运算与同底数幂的乘法.
∵ an×a( ) =am.
m–n
am–n .
(法二) 用幂的定义:
am÷an=
个a
m
个a
n
个a
m–n
= am–n .
一般地，我们有.
am ÷an=am–n (a ≠0，m，n都是正整数，且m>n.)
即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
想一想：am÷am= (a≠0)
答：am÷am=1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am=a0.
规定
a0 =1(a ≠0)
这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.
同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
即
同底数幂的除法法则:
条件：①除法 ②同底数幂　
结果：①底数不变 ②指数相减
注意:
讨论为什么a≠0？m、n都是正整数，且m>n ？
(1) a7÷a4 ; (2) (-x)6÷(-x)3;
(3) (xy)4÷(xy) ; (4) b2m+2÷b2 .
= a7–4
= a3 ;
(1) a7÷a4
解：
(2) (-x)6÷(-x)3
= (-x)6–3
= (-x)3
(3) (xy)4÷ (xy)
=(xy)4–1
(4) b2m+2÷b2
= b2m+2 – 2
= -x3 ;
=(xy)3
=x3y3；
= b2m .
最后结果中幂的形式应是最简的.
① 幂的指数、底数都应是最简的；
③ 幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n=an an.
②底数中系数不能为负；
考查同底数幂除法法则的应用能力
例
计算:
注意：
素养考点
例 计算：
(1)x8 ÷x2 ; (2) (ab)5 ÷(ab)2.
解：(1)x8 ÷x2=x8–2=x6;
(2) (ab)5 ÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．
计算：
(1)(–xy)13÷(–xy)8； (2)(x–2y)3÷(2y–x)2；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
(3)原式＝(a2＋1)6–4–2＝(a2＋1)0＝1.
解：(1)原式＝(–xy)13–8＝(–xy)5＝–x5y5；
(2)原式＝(x–2y)3÷(x–2y)2＝x–2y；
例2 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am–n–1的值．
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am–n–1进行变形，再代入数值进行计算．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3，
∴am–n–1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
素养考点 2
同底数幂除法法则的逆运用
(1)已知xa=32，xb=4，求xa–b；
解：xa–b=xa ÷ xb=32 ÷ 4=8；
(2)已知xm=5，xn=3，求x2m–3n.
解：x2m–3n=(xm)2÷(xn)3=52 ÷ 33= .
想一想
3
2
1
猜一猜
？
0
–1
–2
–3
3
2
1
0
–1
–2
–3
我们规定：
a0 — 零指数幂；
a–p — 负指数幂.
知识点 2
零指数幂和负指数幂
规定: a = 1 , (a≠0).
0
a-p =
(a≠ 0 ,p是正整数.)
任何不等于零的数的零次幂都等于1.
任何不等于零的数的-P(P是正整数)次幂，等于这个数的P次幂的倒数.
零指数幂、负指数幂的理解
为使“同底数幂的运算法则am÷an=am–n 通行无阻：
∴ 规定 a0 =1；
am–m
am÷am=
（a≠0, m、n都是正整数.）
=
a0
1=
当p是正整数时
=a0÷a p
=a0–p
=a–p
∴ 规定 ：
（1） ； （2） ； （3）
解:
注意a0 =1、
用小数或分数表示下列各数：
例
素养考点
零指数幂与负指数幂
(1)
(2)
(3)
判断正误，并改正.
，30=1 ，得2=3.
×
原式=-1
×
原式=1
×
20=30
变式训练
（1）
（2）(-1)0=-1
（3）20=1
单项式除以单项式
(1)计算：4a2x3·3ab2= ;
(2)计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2= .
12a3b2x3
4a2x3
解法2：原式=4a2x3 · 3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3.
理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.
解法1： 12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3.
由(1)可知括号里应填4a2x3.
知识点 3
计算下列各题, 并说说你的理由:
(1) (x5y) ÷x2 ;
(2) (8m2n2) ÷(2m2n) ;
(3) (a4b2c)÷(3a2b) .
解：(1) (x5y)÷x2
把除法式子写成分数形式
=
把幂写成乘积形式
约分.
=
= x·x·x·y
=x3y ；
可以用类似于分数约分的方法来计算.
(1) (x5y) ÷ x2 = x5 2 ·y
(2) (8m2n2) ÷ (2m2n) = (8÷2 )·m2 2·n2 1 ;
(3) (a4b2c) ÷ (3a2b) = (1÷3 )·a4 2·b2 1·c .
商式
被除式
除式
（1）计算：2m2n·4n= ;
（2）计算：8m2n2 ÷ 2m2n= .
8m2n2
4n
解法2：原式=2m2n·4n ÷ 2m2n=4n.
理解：上面的商式4n的系数4=8 ÷2；n的指数1=2-1，m的指数0=2-2，而m0=1.
解法1： 8m2n2 ÷ 2m2n相当于求（ ）·2m2n=8m2n2.由（1）可知括号里应填4n.
(1) (8m2n2) ÷ (2m2n) = (8÷2 )·m2 2·n2 1 ;
(2) (a4b2c) ÷ (3a2b) = (1÷3 )·a4 2·b2 1·c .
商式
被除式
除式
仔细观察分析一下，大家发现了什么？
单项式除以单项式，其结果(商式)仍是.
一个单项式;
观察 归纳
底数不变，指数相减。
保留在商里作为因式。
商式 ＝ 系数 同底数的幂 被除式里单独字母的幂
单项式相除， 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
理解
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
被除式的系数
除式的系数
单项式除以单项式的法则
单项式相乘 单项式相除
第一步
第二步
第三步
系数相乘
系数相除
同底数幂相乘
同底数幂相除
其余字母不变连同其指数作为积的因式.
只在被除式里含有的字母连同其指数一起作为商的因式.
对比 学习
例 计算：
(1)28x4y2 ÷7x3y；
(2)–5a5b3c ÷15a4b.
=4xy；
(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c
解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1
= ab2c.
素养考点
单项式除法以单项式法则的应用
多项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.
下列计算错在哪里？怎样改正？
(1)4a8 ÷2a 2= 2a 4 ( )
(2)10a3 ÷5a2=5a ( )
(3)(–9x5) ÷(–3x) =–3x4 ( )
(4)12a3b ÷4a2=3a ( )
2a6
2a
3x4
7ab
×
×
×
×
系数相除
同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.
求商的系数，应注意符号.
计算：
(1)(2a2b2c)4z÷(–2ab2c2)2；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z．
解：(1)原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；
(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.
方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，在计算过程中注意有乘方的先算乘方，再算乘除．
多项式除以单项式
一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.
面积为(a+b)m=ma+mb.
若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？
长为(ma+mb)÷m.
知识点 4
问题1：
问题2：
如何计算(am+bm) ÷m
计算(am+bm) ÷m就相当于求( ) ·m=am+bm.
因此不难推断出括里应填a+b.
又知am ÷m+bm ÷m=a+b.
即 (am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m
问题3：
计算下列各题，说说你的理由．
（1）( ad + bd )÷d = ；
（2）( a2b + 3ab )÷a = ；
（3）( xy 3 - 2 xy )÷xy = ．
a+b
ab+3b
y2 - 2
多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .
单项式
每一项
相加
关键：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
(28x3y 14x2y2 7x) 7x
示例：
归纳
多项式除以单项式
单项式除以单项式
转化
28x3y 7x 14x2y2 7x 7x 7x
4x2y 2xy2 1
例 计算(12a3–6a2+3a) ÷3a.
解： (12a3–6a2+3a) ÷3a
=12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a
=4a2+(–2a)+1
=4a2–2a+1.
方法总结：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.
素养考点
多项式除以单项式的法则的应用
计算：(1)(6x3y4z–4x2y3z＋2xy3)÷2xy3；
(2)(72x3y4–36x2y3＋9xy2)÷(–9xy2)．
(2)原式= 72x3y4÷(–9xy2)＋(–36x2y3)÷(–9xy2)＋9xy2÷(–9xy2)
= –8x2y2＋4xy–1.
解：(1)原式=6x3y4z÷2xy3–4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3
=3x2yz–2xz＋1；
例 先化简，后求值：[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.
解：原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y
原式＝x–y＝2015–2014＝1.
＝x–y.
把x＝2015，y＝2014代入上式，得.
素养考点
多项式除以单项式的化简求值问题
求值：(21x4y3–35x3y2+7x2y2)÷(–7x2y)，其中x=1，y= –2
解:原式
=21x4y3 ÷(–7x2y) –35x3y2 ÷(–7x2y) +7x2y2 ÷(–7x2y)
= –3x2y2 + 5xy – y
把x＝1，y＝–2代入上式，得
原式＝–312(–2)2+51(–2) –(–2)
＝–12–10+2＝–20.
1. 计算：a4÷a=　　．
2. 已知am=3，an=2，则a2m–n的值为　　．
解析：∵am=3，∴a2m=32=9.
∴a2m–n= = =4.5．
a3
4.5
连接中考
3.（武汉）计算：[a3 a5+（3a4）2]÷a2．
解：原式＝（a8+9a8）÷a2
＝10a8÷a2
＝10a6．
4.（玉林）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2
B．3a2-2a＝a
C．（-a）3 （﹣a2）＝﹣a5
D．（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2
D
计算：
　　（1）　　　　　　（2）
　　（3）　　　　　　（4）
１．乘除混合运算的顺序与有理数混合运算顺序相同（即“从左到右”）.
２．若底数不同，先化为同底数，后运用法则．
３．可以把整个代数式看作底．
４．运算结果能化简的要进行化简．
教你几招
解题后的反思
攀登高峰
我们一起来 吧!
1．下列说法正确的是 ( )
A．(π–3.14)0没有意义
B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103
D．若(x＋4)0＝1，则x≠–4
D
基础巩固题
2.下列算式中，不正确的是( )
A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4
B．9xmyn–1÷3xm–2yn–3＝3x2y2
C. 4a2b3÷2ab＝2ab2
D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)
D
3.计算：
（1） (a-b)7 ÷ (b-a)3 =
（2）m19 ÷ m14 ╳ m3 ÷ m =
（3） (b2 ) 3 ╳(-b 3)4 ÷(b 5)3 =
（4） 98 ╳ 27 2 ÷ (-3) 18 =
-(a-b)4
m7
b 3
81
6. 已知一多项式与单项式–7x5y4 的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是 .
–3y3+4xy
5.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.
a+2
4.已知28a3bm÷28anb2=b2，那么m，n的取值为(　　).
A．m=4，n=3 B．m=4，n=1
C．m=1，n=3 D．m=2，n=3
A
7.计算： (1)6a3÷2a2； (2)24a2b3÷3ab；
(3)–21a2b3c÷3ab; (4)(14m3–7m2+14m)÷7m.
解：(1) 6a3÷2a2
=(6÷2)(a3÷a2)
=3a.
(2) 24a2b3÷3ab
=(24÷3)a2–1b3–1
=8ab2.
(3)–21a2b3c÷3ab
=(–21÷3)a2–1b3–1c
= –7ab2c;
(4)(14m3–7m2+14m)÷7m
=14m3÷7m7m2÷7m+14m÷7m
= 2m2–m+2.
ZYT
8.若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
解：因为a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2
所以ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2
所以a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2.
解得a＝36，m＝2，n＝5.
方法总结：熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键．
1.先化简，再求值：(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.
解：原式＝x2–y2–2x2＋4y2
原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.
当x＝1，y＝–3时.
＝–x2＋3y2.
能力提升题
2.若ax= 3 , ay= 5, 求.
（1） ax-y的值？ （2） a3x-2y的值？
解：（1）原式=ax÷ay
=3÷5
（2）原式=a3x÷a2y
=(ax )3÷(ay )2
=33÷52
ZYT
如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，三个球的体积之和占整个盒子容积的几分之几？
1
2
3
解：设球的半径为r，则盒子的底面半径也为r，高为6r .
拓广探索题
（1）若32 92x+1÷27x+1=81，求x的值;
解：(1)32 34x+2÷33x+3=81， 即 3x+1=34， 解得x=3；
（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．
(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．
4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．
（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值;
(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．
整式的除法
同底数幂的除法
单项式除以单项式
底数不变，指数相减.
1.系数相除；
2.同底数的幂相除；
3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式.
多项式除以单项式
转化为单项式除以单项式的问题.
0指数幂的性质
除0以外任何数的0次幂都等于1.
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢
谢
再 见
下课了!
谢谢观看
初中数学人教版八年级上册

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