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多项式与多项式相乘
人教版八年级上册
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顾旧知
单项式乘单项式的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘多项式的法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
如：2x2y·3xy2z
6·(x2·x)(y·y2)·z
6x3y3z
如：x(2x y 1)
x·2x x·y x·1
2x2 xy x
理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则.
能够运用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算.
让学生主动参与到探索过程中，培养学生思维的严密性和初步解决问题的能力.
学
习
目
标
重点
难点
素养
课标要求
某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方形林区，若长增加了n米，宽增加了b米，请你计算这块林区现在的面积.
a
m
b
n
新课精讲
知识点
多项式乘多项式的法则
计算(a+b)(p+q)，可以先把其中的一个多项式，如p+q，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得。
(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)
再利用单项式与多项式相乘的法则，得。
a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq
总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即。
ma
na
mb
nb
a
m
b
n
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？
这块林区现在长为(m+n)米，宽为(a+b)米.
(m+n)(a+b)
m(a+b)+n(a+b)
ma+mb+na+nb
方法一：
方法二：
方法三：
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有：
(m+n)(a+b)=
ma
+ mb
+ na
+ nb
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
实际上，把(a+b)看成一个整体，有。
= ma+mb+na+nb
(m+n)(a+b)
= m(a+b)+n(a+b)
(m+n)X=
mX+nX
？
若X=a+b，如何计算？
探究
ap aq bp bq
(a b)(p q)
a(p q) b(p q)
(a b)p (a b)q
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
“多乘多” 顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面.
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
多项式乘以多项式
计算：（1）( 1 - x ) ( 0.6 - x ) ；（2）( 2 x + y ) ( x - y ) ．
例
（1）( 1 - x ) ( 0.6 - x )
=1×0.6 - 1×x - x ×0.6 +x ×x
= 0.6 - 1.6 x + x 2 ；
（2）( 2 x + y ) ( x - y )
= 2x·x-2x·y+y·x -y·y
=2x2-2 xy+xy-y2
=2x2 -xy-y2 ．
解：
需要注意的几个问题:
(1)不要漏乘;
(2)符号问题;
(3)最后结果应化成最简形式.
提
示
课堂练习
多项式乘法的法则的运用
例 计算: (1)(3x+1)(x+2)； (2)(x–8y)(x–y)；
解： (1) 原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
(2) 原式=x·x–xy–8xy+8y2
结果中有同类项的要合并同类项.
=3x2+7x+2；
计算时要注意符号问题.
=x2–9xy+8y2；
素养考点
用多项式乘以多项式法则进行计算
(3) 原式=x·x2–x·xy+xy2+x2y–xy2+y·y2
=x3–x2y+xy2+x2y–xy2+y3
= x3+y3.
需要注意的几个问题：(1)漏乘；(2)符号问题；(3)最后结果应化成最简形式.
计算时不能漏乘.
(3) (x+y)(x2–xy+y2).
多项式乘以多项式时，应注意以下几点：
(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；
(3)相乘后，若有同类项应该合并．
(x 1)(x 2)
=x2 2x x 2
=x2 3x 2
4项
快速训练:
(1) (2x+1)(x+3); (2) (m+2n)(m+3n):
(3) ( a – 1)2 ； (4) (a+3b)(a –3b ).
(5) (x+2)(x+3); (6) (x–4)(x+1)
(7) (y+4)(y–2); (8) (y–5)(y–3)
a2–9b2
2x2+7x+3
m2+5mn+6n2
a2–2a+1
x2+5x+6
x2–3x–4
y2+2y–8
y2–8y+15
例 先化简，再求值：(a–2b)(a2＋2ab＋4b2)–a(a–5b)(a＋3b)，其中a＝–1，b＝1.
当a＝–1，b＝1时.
解：原式＝a3–8b3–(a2–5ab)(a＋3b)
＝a3–8b3–a3–3a2b＋5a2b＋15ab2
＝–8b3＋2a2b＋15ab2.
原式＝–8＋2–15＝–21.
素养考点
用多项式乘以多项式法则进行化简求值
先化简，再求值.
(x–y)(x–2y) – (2x–3y)(x+2y)，其中 .
x= –2，y=
解：(x–y)(x–2y) – (2x–3y)(x+2y)
=x2–2xy–xy+2y2–(2x2+4xy–3xy–6y2)
=x2–2xy–xy+2y2–2x2–xy+6y2
= –x2–4xy+8y2
当x= –2，y= 时.
原式= –6
例 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x–2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x–2)
＝3ax3–2ax2＋3bx2–2bx＋3x–2
∵积不含x2的项，也不含x的项.
方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程(组)解答．
拓展思考：计算
(1)(x+2)(x+3)=__________；
(2)(x-4)(x+1)=__________；
(3)(y+4)(y-2)=__________；
(4)(y-5)(y-3)=__________.
x2+5x+6
x2-3x-4
y2+2y-8
y2-8y+15
由上面计算的结果找规律，观察填空.
(x+p)(x+q)=___2+______x+_______.
x
(p+q)
pq
已知等式(x+a)(x+b)= x2+mx+28，其中a、b、m均为正整数，你认为m可取哪些值？它与a、b的取值有关吗？请你写出所有满足题意的m的值.
解：由题意可得a+b=m,ab=28.
因为a,b均为正整数，故可分以下情况讨论：
①a=1,b=28或a=28,b=1，此时m=29;
②a=2,b=14或a=14,b=2，此时m=16;
③a=4,b=7或a=7,b=4，此时m=11.
综上所述，m的取值与a,b的取值有关，m的值为29或16或11.
考考你
选择题.
(1)计算m2–(m+1)(m–5)的结果正确的是( )
A.–4m–5 B.4m+5
C.m2–4m+5 D.m2+4m–5
(2)(1+x)(2x2+ax+1)的结果中x2项的系数为–2，则a的值为( ).
A.–2 B.1
C.–4 D.以上都不对
B
C
课堂练习
1. 计算(a–2)(a+3)的结果是( )
A．a2–6 B．a2+a–6
C．a2+6 D．a2–a+6
B
连接中考
2.（福州）计算（2x-3）（3x+4）的结果，与下列哪一个式子相同？（　　）
A．-7x+4 B．-7x-12 C．6x2-12 D．6x2-x-12
3.（南京）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）
解：（x+y）（x2﹣xy+y2）
=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
=x3+y3．
D
4. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD–AB=2时，S2–S1的值为( 　).
A．2a B．2b C．2a–2b D．–2b
B
我们一起来 吧!
2. 如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项，那么a、b满足(　　).
A．a=b B．a=0 C．a=–b D．b=0
C
1. 计算(x–1)(x–2)的结果为(　　)
A．x2+3x–2 B．x2–3x–2
C．x2+3x+2 D．x2–3x+2
D
基础巩固题
3. 已知ab=a+b+1，则(a–1)(b–1)=_____．
2
4.计算m2-(m+1)(m-5)的结果正确的是( )
A.-4m-5 B.4m+5
C.m2-4m+5 D.m2+4m-5
B
5. 判别下列解法是否正确，若不正确，请说出理由.
解：原式
漏乘
解：原式
运算法则混淆
6.计算：(1)(x 3y)(x+7y)； (2)(2x + 5y)(3x 2y).
解:
(1) (x 3y)(x+7y)
=
x2 +4xy-21y2；
（2） (2x +5 y)(3x 2y)
+
7xy
3yx

21y2
=x2
=
2x 3x
2x 2y
+5 y 3x

5y 2y
=
6x2
4xy
+ 15xy
10y2
=
6x2 +11xy 10y2.
7.化简求值：
(4x+3y)(4x–3y)+(2x+y)(3x–5y)，其中x=1，y= –2.
解:原式=
当x=1，y= –2时.
原式=22×1–7×1×(–2)–14×(–2)2
=22+14 –56
=–20.
解方程与不等式：
(1)(3x+6)(3x–6)＜9(x–2)(x+3)．
解：(1)原式去括号，得:9x2–36＜9x2+9x–54.
移项合并，得:9x＞18.
解得:x＞2 ．
能力提升题
解方程：(2)(x-3)(x-2)+18=(x+9)(x+1)；
(3)(3x+6)(3x-6)=9(x-2)(x+3)．
解：(2)去括号，得x2-5x+6+18=x2+10x+9.
移项合并，得15x=15。
解得x=1；
(3)去括号，得9x2-36=9x2+9x-54。
移项合并，得9x=18。
解得x=2 ．
小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米，那么小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？
八年级(上)
姓名：____________
数学
c
b
a
拓广探索题
a
b
c
m
b
m
面积：(2m+2b+c)(2m+a)
解：(2m+2b+c)(2m+a)
= 4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca.
答：小东应在挂历画上裁下一块
(4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca)平方厘米的长方形.
多项式×多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注意
不要漏乘；正确确定各符号；结果要最简。
实质上是转化为单项式×多项式的运算。
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢
谢
再 见
下课了!
谢谢观看
初中数学人教版八年级上册

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