资源简介

(共37张PPT)
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
第2章 一元二次方程
2.5.2图形面积问题
问题 某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m，则由题意列的
方程为_____________________.
C
B
D
A
(30 - 2x)(20 - x) = 6×78
问题引入
人教版初中数学九年级上册《2.5 一元二次方程的实际应用》教学资源包（含增长率、经济、面积问题）
本资源包以“旧知迁移—模型构建—分类突破—实践应用”为逻辑主线，衔接前序一元二次方程解法及韦达定理知识，聚焦增长率（降低率）、经济利润、图形面积三大核心应用场景，通过提炼通用公式、拆解解题步骤、分析典型例题及易错点，帮助学生掌握将实际问题转化为数学模型的方法，渗透数学建模与分类讨论思想。
一、教学过程（45分钟，可直接课堂实施）
（一）旧知衔接，情境引新（8分钟）
1. 双基回顾：①回顾一元二次方程常用解法：因式分解法、公式法、直接开平方法；②提问：生活中“产量两年翻番”“商品降价促销获利”等问题，数量关系如何用数学式子表示？引出课题：增长率问题与经济问题。
2. 情境感知：展示两个生活场景：
场景1：某工厂2023年利润为100万元，2025年利润增长到144万元，每年利润增长率相同，求该增长率；
3. 场景2：某商店销售进价为40元的玩具，原售价60元，每月卖200件，若每件降价1元，月销量增加20件，如何定价能使月利润达到4800元？
（二）模型构建，核心突破（15分钟）
1. 增长率（降低率）问题：核心公式与推导
基础模型：设初始量为\(a\)，平均增长率（降低率）为\(x\)，经过\(n\)次变化后，最终量为\(b\)。
- ①一次增长：\(a(1+x) = b\)；
- ②两次增长：\(a(1+x)^2 = b\)（最常用，如两年增长、连续两次降价）；
- ③一次降低：\(a(1-x) = b\)；
- ④两次降低：\(a(1-x)^2 = b\)。
关键说明：\(1+x\)表示“增长后的倍数”，\(1-x\)表示“降低后的倍数”，增长率（降低率）\(x\)用百分数或小数表示，结果需检验是否符合实际（如增长率不能为负，降低率不能超过1）。
2. 经济利润问题：核心公式与关系
基于“利润=收入-成本”推导核心公式：
- ①单件利润 = 售价 - 进价；
- ②总利润 = 单件利润 × 销售量；
- ③销售量与售价的关系：售价涨（降）\(x\)元，销售量减（增）对应数量（需结合题意确定变化规律）。
通用解题步骤（六步法）：①审题，找等量关系；②设未知数（带单位）；③列一元二次方程；④解方程；⑤检验（是否符合实际意义）；⑥写答句。
（三）分类应用，技能提升（18分钟）
1. 类型1：增长率与降低率问题（含检验技巧）
例题1（两次增长）：某校图书馆2022年底藏书5万册，2024年底藏书7.2万册，求这两年藏书的年均增长率。
解题示范：①设年均增长率为\(x\)；②初始量\(a=5\)，最终量\(b=7.2\)，次数\(n=2\)，列方程：\(5(1+x)^2 = 7.2\)；③解方程：两边除以5得\((1+x)^2 = 1.44\)，直接开平方得\(1+x=±1.2\)（负根舍去），故\(x=0.2=20\%\)；④检验：5×(1+20%) =5×1.44=7.2，符合题意；⑤答：年均增长率为20%。
例题2（降低率+后续计算）：某商品原价200元，连续两次降价后售价128元，求每次降价的百分率，并计算第一次降价后的售价。
解题示范：①设每次降价百分率为\(x\)，列方程：\(200(1-x)^2 = 128\)；②解方程：\((1-x)^2=0.64\)，\(1-x=0.8\)（正根保留），\(x=20\%\)；③第一次降价后售价：200×(1-20%)=160元；④检验：200×(1-20%) =128，符合题意。
易错提醒：解方程时，增长率/降低率的解需取正数且小于1（如\(x=1.5\)表示增长150%，需结合实际判断是否合理），负根直接舍去。
2. 类型2：经济利润问题（含销量变化）
例题3（降价促销）：某商贸公司以每千克40元购进干果，计划每千克60元销售，若每千克降价\(x\)元（\(0解题示范：①单件利润=（60-x）-40=20-x；②总利润=（20-x）(200+10x)=2090；③整理方程：\(200(20-x)+10x(20-x)=2090\)→\(-10x +4000-200x+200x=2090\)→\(x =191\)？ 修正：展开得\(4000+200x-200x-10x =2090\)→\(-10x +1910=0\)→\(x =191\)（实际数据调整：若总利润2240元，则方程为\(-10x +1910=2240\)→\(x -33=0\)，此处替换为中考真题数据：获利2090元时，正确方程为\((60-x-40)(100+10x)=2090\)→\((20-x)(100+10x)=2090\)→\(10x -100x+90=0\)→\(x -10x+9=0\)，因式分解得\((x-1)(x-9)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=9\)；④检验：因“让顾客得实惠”，选\(x=9\)；⑤答：每千克应降价9元。
例题4（涨价获利）：某服装每件盈利44元，每天售20件，若每件涨价1元，每天少售5件，在涨价幅度不超过10元的情况下，如何涨价使每天盈利1600元？
解题示范：①设涨价\(x\)元（\(0≤x≤10\)），单件利润=44+x，销售量=20-5x；②列方程：\((44+x)(20-5x)=1600\)；③整理：\(-5x +220x+880-100x=1600\)→\(-5x +120x-720=0\)→\(x -24x+144=0\)；④解方程：\((x-12) =0\)→\(x=12\)（超过10元，舍去），调整：若盈利1500元，方程为\((44+x)(20-5x)=1500\)→\(x -20x+52=0\)，解得\(x=10±2\sqrt{7}\)，取\(x≈10-5.29=4.71\)元（结合实际取整）。
（四）分层练习，巩固落实（5分钟）
1. 基础题：某农场2023年粮食产量800吨，2025年计划达到1000吨，求年均增长率（精确到1%）。（答案：11%）
2. 提高题：某手机进价3000元，售价4000元，每月卖50部，若每部降价50元，月销量增5部，求月利润达52500元时的售价。（答案：3500元或3750元）
3. 拓展题：某超市一月份营业额200万元，第一季度总营业额1000万元，求平均每月增长率。（提示：三个月营业额相加，方程：200+200(1+x)+200(1+x) =1000，答案：100%）
（五）课堂小结与答疑（3分钟）
1. 核心内容：增长率公式\(a(1±x)^2=b\)、利润公式“总利润=单件利润×销量”、六步解题法；
2. 易错点：增长率负根舍去、利润问题中销量与售价的变化关系、检验解的实际意义；
3. 解答“方程列错”“忽略取值范围”等问题。
（六）布置作业（1分钟）
1. 基础作业：教材对应习题，完成2道增长率、2道利润问题；2. 实践作业：调查家中某商品价格变化（如水果、蔬菜），编一道降低率问题并求解；3. 拓展作业：若某商品两次涨价后价格变为原价的1.44倍，求平均涨价率。
（七）衔接过渡与新知导入（5分钟）
回顾上节课核心：用一元二次方程解决实际问题的“六步法”（审题→设元→列方程→求解→检验→答）。提问：生活中“矩形花园改造”“铁皮折叠成盒”等几何场景，如何通过面积关系建立方程？引出新课题：2.5.2 图形面积问题。
（八）模型构建，核心突破（15分钟）
1. 面积问题解题核心要素
①基础依据：常见图形面积公式（必须熟记）：
- 矩形：面积=长×宽；正方形：面积=边长 ；
- 三角形：面积=1/2×底×高；梯形：面积=1/2×（上底+下底）×高。
②关键技巧：用含未知数的代数式表示“变化后的边长”，抓住“面积不变”“面积为定值”“面积变化量”等等量关系。
③通用原则：解需符合几何意义（边长为正、线段长度不超过原图形限制等）。
核心思路：几何图形的“变”与“不变”——边长、形状可能变化，但面积关系或部分边长关系固定，以此为突破口列方程。
2. 三大核心题型模型
根据图形变化特点，分为“纯图形计算”“折叠剪裁”“动态规划”三类，对应不同建模技巧：
- 类型A（纯图形计算）：已知图形周长/边长关系，求面积或边长；
- 类型B（折叠剪裁）：图形经剪拼、折叠后形成新图形，利用面积不变列方程；
- 类型C（动态规划）：在固定图形内设计子图形，满足面积要求（如矩形内修小路）。
（九）分类应用，技能提升（20分钟）
1. 类型A：纯图形计算（周长与面积关系）
例题5：一个矩形花园的周长为30米，面积为54平方米，求花园的长和宽（长>宽）。
解题示范：①审题：已知周长→长+宽=15米，设宽为x米，则长为(15-x)米；②列方程：x(15-x)=54（矩形面积公式）；③整理：x -15x+54=0；④解方程：因式分解得(x-6)(x-9)=0，解得x =6，x =9；⑤检验：长>宽，故宽=6米，长=9米（x=9时宽为6，符合要求）；⑥答：花园的长为9米，宽为6米。
2. 类型B：折叠剪裁问题（铁皮折盒）
例题6：一张长20cm、宽10cm的矩形铁皮，从四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，剩余部分折成无盖长方体纸盒，若纸盒底面积为144cm ，求剪去的正方形边长。
解题示范：①分析图形变化：剪去正方形后，纸盒底面长=20-2x，宽=10-2x（两边各剪去x）；②列方程：(20-2x)(10-2x)=144；③整理：4x -60x+56=0→x -15x+14=0；④解方程：因式分解得(x-1)(x-14)=0，解得x =1，x =14；⑤检验：x=14时，10-2x=-18（边长为负，舍去），故x=1；⑥答：剪去的正方形边长为1cm。
易错提醒：折叠剪裁问题中，“2x”的由来——图形两边均有裁剪/折叠，需注意边长表达式的合理性，避免出现负数值。
3. 类型C：动态规划问题（矩形内修小路）
例题7：一个长25米、宽18米的矩形操场，计划在中央修一个面积为300平方米的矩形草坪，四周留宽度相等的小路，求小路的宽度。
解题示范：①设小路宽度为x米，则草坪长=25-2x，宽=18-2x；②列方程：(25-2x)(18-2x)=300；③整理：4x -86x+150=0→2x -43x+75=0；④解方程：Δ=43 -4×2×75=1849-600=1249→x=(43±35.34)/4，得x ≈2.17，x ≈19.59（舍去，超过宽的一半）；⑤检验：25-2×2.17≈20.66米，18-2×2.17≈13.66米，面积≈300平方米，符合题意；⑥答：小路宽度约为2.2米（精确到0.1）。
（十）分层练习，巩固落实（5分钟）
1. 基础题：直角三角形两条直角边之和为17cm，斜边长13cm，求三角形面积。（提示：勾股定理+韦达定理，答案：30cm ）
2. 提高题：长15cm、宽10cm的矩形铁皮剪去正方形折盒，底面积126cm ，求剪去的正方形边长。（答案：3cm）
3. 拓展题：矩形折叠问题：将长10cm、宽8cm的矩形沿对角线折叠，重叠部分面积为多少？（提示：设未知数用勾股定理列方程，答案：32cm ）
（十一）全章总结与体系构建（5分钟）
1. 三大应用场景对比：
场景类型
核心等量关系
关键注意事项
增长率/降低率
a(1±x) =b
x为正，不超过1
经济利润
总利润=单件利润×销量
售价与销量的反向变化
图形面积
图形面积公式
边长为正，符合几何意义
2. 通用思想：建模思想（实际问题→数学方程）、检验思想（解的实际意义验证）。
（十二）全章作业布置（2分钟）
1. 基础作业：各场景选做3道题，熟练“六步法”；2. 实践作业：测量家中矩形物体（如书桌），设计一道“剪裁折叠”问题并求解；3. 拓展作业：结合三大场景，编一道综合应用题（如“增长率影响销量，进而影响利润”）。
二、PPT分页内容（共28页，可直接编辑使用）
第1页：标题页（全章总览）
- 标题：2.5 一元二次方程的实际应用
- 副标题：增长率、经济利润与图形面积问题 人教版九年级上册
- 作者：XXX
- 标题：2.5.1 增长率问题与经济问题
- 副标题：一元二次方程的实际应用 人教版九年级上册
- 作者：XXX
第2页：复习与导入
- 旧知回顾：1. 一元二次方程解法：______；2. 韦达定理：x +x =-b/a，x x =c/a
- 生活情境：①图书馆藏书增长；②玩具定价获利
- 课题：用一元二次方程解决实际问题
第3页：增长率问题核心公式
- 基本量：初始量a，增长率x，最终量b，次数n
- 公式：
1. 一次增长：a(1+x)=b
2. 两次增长：a(1+x) =b（常用）
3. 两次降低：a(1-x) =b
- 注意：x为正数，且1+x/1-x>0
第4页：例题1：藏书年均增长率
- 题目：5万册→7.2万册（两年），求年均增长率
- 解答：
1. 设增长率为x，列方程：5(1+x) =7.2
2. 解方程：(1+x) =1.44→1+x=1.2（负根舍）
3. x=20%
- 检验：5×(1+20%) =7.2，符合题意
第5页：增长率问题易错点
- 1. 混淆“增长到”与“增长了”：增长到是最终量，增长了是变化量；
- 2. 忽略检验：如x=1.5（150%），需结合实际判断；
- 3. 单位错误：x用小数或百分数表示，前后单位统一。
第6页：经济利润核心公式
- 核心关系：
1. 单件利润=售价-进价
2. 总利润=单件利润×销售量
- 关键：售价变化→销售量反向变化（涨则减，降则增）
- 解题步骤：审题→设元→列方程→求解→检验→答
第7页：例题2：干果降价获利
- 题目：进价40元，原售价60元，降价x元，销量y=200+10x，获利2090元
- 解答：
1. 单件利润=60-x-40=20-x
2. 总利润=(20-x)(200+10x)=2090
3. 解方程：x -0x-191=0（调整后x=1或9）
4. 选x=9（让顾客得实惠）
第8页：利润问题常用技巧
- 1. 设未知数技巧：设“涨/降x元”比设“售价x元”更简便；
- 2. 销量变化：明确“每变1元，销量变多少”；
- 3. 检验依据：题目隐含条件（如“降价幅度不超过10元”）。
第9页：练习1：基础增长率
- 题目：800吨→1000吨（两年），求年均增长率
- 提示：800(1+x) =1000→(1+x) =1.25→x≈11%
- 留白：供学生书写解题过程
第10页：练习2：手机定价问题
- 题目：进价3000元，原售价4000元，降价50元增销5部，利润52500元
- 提示：设降价x个50元，列方程：(1000-50x)(50+5x)=52500
- 答案：x=1或x=5，售价3500元或3750元
第11页：拓展题：季度营业额增长
- 题目：一月份200万，一季度共1000万，求月增长率
- 关键：三个月营业额相加：200+200(1+x)+200(1+x) =1000
- 化简：(1+x) +(1+x)-4=0，设t=1+x，得t +t-4=0→t≈1.56（x≈56%）
第12页：三类问题核心对比
问题类型
核心公式
关键量
检验重点
增长率/降低率
a(1±x) =b
a、b、增长次数
x为正，且1±x合理
经济利润
总利润=单件利润×销量
售价、进价、销量变化
售价与销量的实际范围
图形面积
矩形：长×宽等面积公式
变化后边长、面积定值
边长为正，符合几何意义
问题类型
核心公式
关键量
检验重点
增长率/降低率
a(1±x) =b
a、b、增长次数
x为正，且1±x合理
经济利润
总利润=单件利润×销量
售价、进价、销量变化
售价与销量的实际范围
第13页：中考真题再现（增长率）
- 题目（2019广西贵港）：藏书5万册→7.2万册（两年），求年均增长率及古典名著占比
- 第一问解答：同例题1，增长率20%
- 第二问提示：2024年藏书量=7.2万册，若古典名著占比从5.6%提升到6%，则古典名著藏书量=7.2×6%=0.432万册=4320册
第14页：面积问题导入页
- 旧知回顾：用一元二次方程解决实际问题的“六步法”
- 生活场景：①矩形花园改造；②铁皮折叠成盒；③操场修小路
- 课题：2.5.2 图形面积问题
第15页：面积问题核心要素
- 必备公式：
1. 矩形：长×宽；正方形：边长
2. 三角形：1/2×底×高；梯形：1/2×（上底+下底）×高
- 解题关键：用未知数表示“变化后的边长”
- 检验原则：边长为正，符合几何逻辑
第16页：核心题型分类
- 类型A：纯图形计算（周长→面积）
特征：已知边长关系/周长，求面积或边长
- 类型B：折叠剪裁（如铁皮折盒）
特征：剪拼后形成新图形，面积关系固定
- 类型C：动态规划（如修小路）
特征：固定图形内设计子图形，满足面积要求
第17页：例题5：矩形花园问题
- 题目：周长30米，面积54平方米，求长和宽（长>宽）
- 解答步骤：
1. 设宽为x米，长=15-x米（周长→长+宽=15）
2. 列方程：x(15-x)=54→x -15x+54=0
3. 解方程：x=6或9，取长9米，宽6米
- 关键：用周长简化边长表达式
第18页：例题6：铁皮折叠问题
- 题目：长20cm、宽10cm铁皮，剪正方形折盒，底面积144cm
- 图形示意：（留白，画矩形剪去四角正方形）
- 解答关键：
1. 盒底长=20-2x，宽=10-2x（两边各剪x）
2. 方程：(20-2x)(10-2x)=144→x=1（x=14舍去）
第19页：面积问题易错点
- 1. 边长表达式错误：忽略“两边变化”，误写为“20-x”而非“20-2x”；
- 2. 未检验几何意义：解出边长为负或超过原图形尺寸，未及时舍去；
- 3. 公式混淆：误用三角形或梯形面积公式计算矩形面积；
- 4. 单位不统一：如将“米”与“厘米”混用，导致面积单位错误。
几何图形与一元二次方程
合作探究
引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？
27 cm
21cm
分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右边衬的宽度
之比为 : .
9
9
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为
9
7
7
7
27 cm
21cm
设上下边衬的宽均为 9x cm，左右边衬宽为 7x cm，则中央的矩形的长为 (27 18x) cm，宽为 (21 14x) cm.
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.
27 cm
21cm
于是可列出方程
解得
故上下边衬的宽为
故左右边衬的宽为
方程的哪个根符合实际意义
为什么
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
整理，得 16x2 48x + 9 = 0.
27 cm
21cm
解2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得
解得
故上下边衬的宽度为
左右边衬的宽度为
27 cm
21cm
试一试：如图，一块长和宽分别为 40 cm，28 cm 的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 364 cm2. 求截去的小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长为 x cm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为 (40 - 2x)cm，(28 - 2x)cm.
根据题意，有 (40 - 2x)(28 - 2x) = 364．
解得 x1 = 27，x2 = 7．
整理得， x2 - 34x + 189 = 0.
如果截去的小正方形的边长为 27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为 54 cm，这超过了矩形铁皮的长 40 cm. 因此 x1 = 27 不合题意，应当舍去．
即所截去的小正方形的边长为 7 cm.
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
典例精析
还有其他列法吗？
方法一：
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 x
32 x
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 x1= 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴ 取 x = 2.
答：道路的宽为 2 m.
方法二：
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜20.
(32 x)(20 x) = 540，
可列方程为
变式一
x
20-x
32-x
答：道路的宽为 2 m.
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2.
20
32
x
2x
20-x
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜16.
(32 2x)(20 x) = 540.
可列方程为
变式二
32-2x
解得 x1 = 18 -
x2 = 18 +
(舍去).
答：道路的宽为 (18 - ) m.
20
32
2x
2x
32 2x
20 2x
在宽为 20 m，长为 32 m
的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜10.
(32 2x)(20 2x) = 540.
可列方程为
变式三
∴ x = 1.
答：道路的宽为 1 m.
解得 x1 = 25(舍去)，x2= 1.
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为 3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少（保留两位小数）？
变式四
32 cm
20 cm
2x
3x
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解：设横、竖小路的宽度分别为 3x m、2x m，
于是可列方程
20 cm
32 cm
3x
2x
32 4x
(32 4x)(20 6x) = —×20×32.
4
3
3x
2x
6x
4x
32 4x
20 6x
20 6x
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
∴ x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24.
解得 x1=
x2=
(舍).
答：横、竖小路的宽度分别约为 1.86 m、1.24 m.
视频：平移求面积动态展示
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解：设 AB 长是 x m.
(100 - 4x)x = 400
整理得 x2 - 25x + 100 = 0.
解得 x1 = 5，x2 = 20.
当 x1 = 5，100 - 4x1 = 80 > 25，x = 5 (舍去)；
当 x2 = 20，100 - 4x2 = 20 < 25.
答：羊舍的边长 AB 和 BC 的长各是 20 m，20 m.
例2 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？
D
C
B
A
25 m
变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
住房墙
1m
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
由题意得 x(25 2x + 1) = 80，
解得 x1 = 5，x2 = 8.
当 x = 5 时，26 2x = 16 > 12(舍去)；
当 x = 8 时，26 2x = 10 < 12.
故所围矩形鸡场的长为 10 m，宽为 8 m.
则平行于住房墙的一边长 (25 2x + 1) m.
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC =
8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm ？
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm.
解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm .
整理，得
解得 x1 = x2 = 3.
答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm .
则有
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
方法点拨
1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ）
A．x2 + 130x - 1400 = 0
B．x2 + 65x - 350 = 0
C．x2 - 130x - 1400 = 0
D．x2 - 65x - 350 = 0
80 cm
x
x
x
x
50 cm
B
2. 一块矩形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5 cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为 x cm，则长为 2x cm.
列方程，得 5(2x 10)(x 10) = 3000，
整理，得 x2 15x 250 = 0.
解得 x1 = 25，x2 = 10 (舍去)，所以 2x = 50.
答：铁板的长为 50 cm，宽为 25 cm.
3. 如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向、竖向彩条的宽度分别为 2x cm、3x cm，则
则
答：横竖条的宽度分别是
解得
∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0，
∴ x＜
知识点1 利用一元二次方程解决四边形问题
1.学校植物园里有一块矩形草地，草地的标识牌上注明了草地的周长为
,面积为，你能算出矩形草地的长（注：长 宽）吗？若
设草地的长为，则草地的宽为_________，根据“矩形面积 长×宽”
可得方程________________，解得 ____（只写出合理解），即草地
的长为____ .
30
30
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2.［2025娄底月考］如图，公园原有一块正方形空
地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花
（阴影部分），原空地一边减少了 ，另一边减
少了，剩余空地面积为 ，求正方形空地原
来的边长.
解：设正方形空地原来的边长为 ,
根据题意，得 ,
整理，得 ，
解得（不合题意，舍去）， .
答：原正方形空地的边长为 .
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知识点2 边框与通道问题
3.为加快推动生态文明建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，
林路相随”的生态格局，某市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建
草坪，如图，矩形长为，宽为 ，在矩形内的四周修筑同样宽的道
路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为 ，道路的宽度应为多少 设
矩形地块四周道路的宽度为 ，根据题意，下列方程不正确的是 ( )
B
A.
B.
C.
D.
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4. 如图，在一个长为,宽为 的矩形场地内修筑两条等宽
的道路（阴影部分），剩余部分为绿化用地，若绿化用地的面积为
，则道路的宽为_____.
（第4题）
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5.如图是一个长为,宽为 的矩形花园，现要在花园中修建等宽
的小道（阴影部分），剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为
，那么小道的宽度应为___ .
2
（第5题）
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知识点3 围墙问题
（第6题）
6.［2025郴州校级期中］如图，小程的爸爸用一
段 长的铁丝网围成一个一边靠墙
（墙长）的矩形鸭舍，其面积为 ，
在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门
（由其他材料制成），则 的长为( )
C
A.或 B.或 C. D.
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知识点4 动点问题
（第7题）
7.［教材P52“例4”变式］如图，在 中，
，，，动点从点 出
发沿边以的速度向点移动，同时点从点
出发沿边以的速度向点移动，， 两点中
有一点到达终点，另一点也停止移动，当 的面积
为 时，移动的时间为_________.
或
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8.［2025怀化校级调研］如图，在 中，
，,,动点 ，
分别从点， 同时开始运动（运动方向如箭头
所示），点的速度为,点 的速度为
,点运动到点后停止，点 也随之停止运
A
A. B.或 C. D.
动，当四边形的面积为时，点 的运动时间是( )
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9. 对联是中华传统文化的瑰宝，
对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称
为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般
情况下，天头长与地头长的比是 ，左、右
边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 .
某人要装裱一副对联，对联的长为 ，
宽为 .若要求装裱后的对联面积为
，求边的宽和天头长.
解：根据题意，设天头长为，则地头长为 ，
左、右边的宽为 ，
装裱后的长为 ，
宽为 ，
，
整理，得 ，
解得， （不符合题意，舍去），
边的宽为，天头长为 ．
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几何图形问题与一元二次方程
几何图形
运用常见几何图形的
面积公式构建等量关系
类 型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移聚零为整，方便列方程
动点面积问题
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