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(共23张PPT)
人若有志,万事可为
——斯迈尔斯
一、复习引入
画出方向图(表示东南西北四个方向的)并依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线。
北
南
西
东
O
⌒
65°
⌒
45°
⌒
45°
⌒
34°
28.1 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数
第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
认真阅读课本第76页-77页的内容,本节课在前面研究了解直角三角形的方法,通过例3、例4介绍了利用直角三角形中余弦、正切关系解决有关测量、建筑等方面的实际问题的基础上,结合“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题介绍解直角三角形的理论在实际中的应用,进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具,在思想和方法上的提升.
学习目标：
1.了解方位角、坡角、坡度；
2.会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题；
3.体会数形结合和数学模型思想．
学习重点：
把实际问题转化为解直角三角形的问题．
二、教学目标
三、研学教材
解直角三角形的应用
例5:一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向,距离灯塔80nmile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果取整数)
思考: (1)根据题意,你能画出示意图吗？
(2)结合题目的条件,你能确定图中哪些线段和
角？求什么？怎样求？
(3)你能写出解题过程吗(要求过程完整规范)？
(4)想一想,求解本题的关键是什么？
三、研学教材
解直角三角形的应用
解:如图, 在Rt△APC中,
PC=PA· =80× ≈ .
在Rt△BPC中,
PB= = ≈130(n mile)
因此,当海轮到达位于灯塔P的南
偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130nmile.
cos(90°－65）
cos25°
72.505
三、研学教材
解直角三角形的应用
方向角
1.概念:一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的小于90度的水平角.
2.度量:方向角系分由南北起算,角度值在0度及90度之间.方向角的表示方式乃是在角度值之前冠以南北字样,其后则书出东西字样.
三、研学教材
方向角
正北:北偏东0度或者北偏西0度; 正南:南偏东0度或者南偏西0度; 正东:北偏东90度或者南偏东90度; 正西:北偏西90度或者南偏西90度;东北:北偏东45度;
西北:北偏西45度;
东南:南偏东45度;
西南:南偏西45度.
三、研学教材
方向角
例1:请读出下图的方向角.
45°
60°
65°
24°
A
B
D
E
F
30°
OA:东北方向或北偏东45°
OB:南偏东25°
OC:西南方向或南偏东45°
OD:南偏西60°
OE:北偏西66°
OF:北偏西30°
C
三、研学教材
1.海岛A的周围8 n mile内有暗礁,鱼船跟踪鱼群由西向东航行,在点B测得海岛A位于北偏东60°,航行12 n mile到达点D处又测得海岛A位于北偏东30°,如果鱼船不改变航向继续向东航行,有没有触礁的危险？
三、研学教材
练一练
三、研学教材
练一练
思考:
(1)渔船由B向东航行,到什么位置离海岛A最近
(2)最近的距离怎样求
(3)如何判断渔船有没有触礁
解：过点A作AC⊥BD,垂足为C，
设AC＝x,依题意得：
D
C
∟
整理得：
∴x≈10.392
∵10.392＞8
∴没有触礁的危险.
三、研学教材
练一练
问题:如图,从山脚到山顶有两条路AB与BC,问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
三、研学教材
“坡度”、“坡角”的概念
如图所示,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i=h:l .
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.
α
l
h
i= h : l
♀坡角:
♀坡度(或坡比):
坡度通常写成 1∶m的形式, 如i=1∶6.
坡面
水平面
在修路,挖河,开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度,如图.
三、研学教材
“坡度”、“坡角”的概念
♀ 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
显然,坡度越大,坡角α就 ,
坡面就 .
越大
越陡
三、研学教材
“坡度”、“坡角”的概念
2.斜坡的坡度是 ,则坡角α=___度.
3.斜坡的坡角是45°,则坡比是_____.
4.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
三、研学教材
练一练
广东省怀集县马宁镇初级中学 徐志才
5.如图2,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=1:1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比,斜面坡度i=1:3是指DE与CE的比,根据图中数据求：
(1)坡角α和β；
(2)斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).
三、研学教材
练一练
解：(1)由已知：
（2）在Rt△ABF中，
三、研学教材
练一练
6.如图1,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5米,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树间的坡面距离(结果保留小数点后一位)
解:设坡面的距离为x米,则由题意可知：
故斜坡上相邻两树间的坡面距离为6.0米。
三、研学教材
练一练
1.回顾利用直角三角形的知识解决实际问题的过程,你认为一般步骤是什么 关键是什么
2.有的同学说,类似于方程、函数、不等式,解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具,对此你有什么看法？
四、课堂小结
四、课堂小结
3.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为 的问题)；
(2)根据问题中的条件,适当选用
等去解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到 的答案.
解直角三角形
锐角三角形函数
实际问题

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