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(共62张PPT)
幂的乘方与积的乘方
人教版八年级上册
复习回顾
am · an
(a·a· … ·a)
n个a
=(a·a· … ·a)
m个a
= a·a· … ·a
(m+n)个a
= am+n
幂的意义:
a·a· … ·a
n个a
an
=
同底数幂乘法的运算性质：
am · an
=
am+n
（m,n都是正整数。）
使学生经历探索积的乘方的过程，掌握积的乘方的运算法则.
能利用积的乘方的运算法则进行相应的计算和化简.
掌握转化的数学思想，提高学生应用数学的意识和能力.
学
习
目
标
重点
难点
素养
课标要求
地球、太阳可以近似地看作球体.太阳的半径是地球的 倍，太阳的体积约是地球的 倍
怎么读呢？
属于什么运算呢？
该怎么计算呢？
地球
太阳
幂的乘方的法则(较简单的)
知识点 1
根据乘方的意义及同底数幂的乘法性质填空
2
3
= × × =10 + + = 10 × .
102
102
102
3个102 相乘
乘方的意义
2 2 2
3个2 相加
同底数幂
乘法性质
2 3
乘法的意义
2
3
2
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑ2
ɑ2
ɑ2
2 2 2
2 3
2
3
m
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑm
ɑm
ɑm
m m m
m 3
算式
结果
观察算式和结果，你能发现什么规律？
规律
根据乘方的意义及同底数幂的乘法性质填空
= × × =10 + + = 10 × .
102
102
102
3个102 相乘
乘方的意义
2 2 2
3个2 相加
同底数幂
乘法性质
2 3
乘法的意义
2
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑ2
ɑ2
ɑ2
2 2 2
2 3
2
3
m
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑm
ɑm
ɑm
m m m
m 3
算式
结果
幂的乘方
底数不变，指数相加.
猜想
m
3
m
n
mn
观察算式和结果，你能发现什么规律？
？
= × × =10 + + = 10 × .
102
102
102
3个102 相乘
乘方的意义
2 2 2
3个2 相加
同底数幂
乘法性质
2 3
乘法的意义
2
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑ2
ɑ2
ɑ2
2 2 2
2 3
2
3
m
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑm
ɑm
ɑm
m m m
m 3
根据乘方的意义及同底数幂的乘法性质填空
规律
算式
结果
幂的乘方
底数不变，指数相加.
m
3
猜想
m
n
m n
我探究，我收获.
= × × =10 + + = 10 × .
102
102
102
2 2 2
2 3
2
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑ2
ɑ2
ɑ2
2 2 2
2 3
2
3
m
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑm
ɑm
ɑm
m m m
m 3
m
3
性质
m
n
m n
（m,n都是正整数.）
我探究，我收获
= × × =10 + + = 10 × .
102
102
102
2 2 2
2 3
2
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑ2
ɑ2
ɑ2
2 2 2
2 3
2
3
m
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑm
ɑm
ɑm
m m m
m 3
性质
m
n
m n
（m,n都是正整数.）
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
我探究，我收获.
= × × =10 + + = 10 × .
102
102
102
2 2 2
2 3
2
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑ2
ɑ2
ɑ2
2 2 2
2 3
2
3
m
3
= × × = ɑ + + = ɑ × .
ɑm
ɑm
ɑm
m m m
m 3
性质
m
n
m n
（m,n都是正整数.）
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
(am)n
幂的乘方法则
(am)n= amn　
(m，n都是正整数.)
即幂的乘方，底数______，指数＿__＿.
不变
相乘
=am·am·am…am
n个am
=am+m+…+m
n个m
证明猜想
幂的乘方， 底数不变， 指数相乘.
m · n = .
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂的乘法和幂的乘方的异同：
( m)n= .
说一说
a
a
a
a
a
m + n
m n
相同点
不同点
运用对比
运算 种类 公式 法则 中运算 计算结果
底数 指数
同底数幂乘法
幂的乘方
乘法
乘方
不变
不变
指数
相加
指数
相乘
am · an = am+n
我应用，我展示.
练习
× 6
+ 5
判断对错，如果有错，如何改正？
—
2
例 计算：
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015；
(2) (a2)4 = a2×4 = a8；
(3) (am)2 =am·2=a2m；
(3)(am)2；
(4) –(x4)3 =–x4×3=–x12.
(1)(103)5 ；
(2)(a2)4；
(4)–(x4)3；
(6) [(–x)4]3.
(5) [(x+y)2]3；
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6；
(6)[(–x)4]3= (–x)4×3 = (–x)12 = x12.
素养考点
幂的乘方的法则的应用
方法点拨
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．在运算时，注意把底数看成一个整体，同时注意“负号”.
计算：
① (103)7； ② (b3)4；
③ (xn)3； ④ –(x7)7
=103×7
=1021
=b3×4
=b12
=x3n
= –x7×7= –x49
⑤[(–x)3]3
=(–x)3×3=–x9
⑥[(–x)5]4
=(–x)5×4=(–x)20=x20
(–a5)2表示2个–a5相乘，结果没有负号.
(–a2)5和(–a5)2的结果相同吗 为什么
不相同.
(–a2)5表示5个–a2相乘，其结果带有负号.
n为偶数
n为奇数
知识点 2
幂的乘方的法则(较复杂的)
想一想
下面这道题该怎么进行计算呢？
幂的乘方:
＝(a6)4
=a24
[(y5)2]2=______=________
[(x5)m]n=______=________
练一练：
(y10)2
y20
(x5m)n
x5mn
例1 计算：
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(–a)2(–a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(–a)2(–a2)3＋a10
= –a2·a2·a6＋a10
= –a10＋a10 = 0.
忆一忆有理数混合运算的顺序
先乘方，再乘除。
先乘方，再乘除，最后算加减。
底数的符号要统一
素养考点
有关幂的乘方的混合运算
方法点拨
与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
计算：
(1) (x3)4·x2 ； (2) 2(x2)n–(xn)2 ；
(3)[(x2)3]7 ； (4)[(–m)3]2 ·(m2) 4.
(1)原式= x12 ·x2
= x14.
(2)原式= 2x2n –x2n
=x2n.
(3)原式=(x2)21
= x42.
解：
(4)原式=(–m)3×2·m2×4
= m6·m8
= m14.
我巩固，我提升.
说一说
如果把幂的乘方公式从右往左看，你得到了什么？
m n
n m
幂的乘方逆用公式：
练习 请你把x12写成“幂的乘方”的形式
4 3
3 4
2 6
6 2
例 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求值的式子正确变形，然后代入已知条件求值即可.
素养考点
指数中含有字母的幂的乘方的计算
(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
(2) 因为2x＋5y－3＝0.
所以2x＋5y＝3.
则4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
完成下列题目
变式训练
例 比较3500,4400,5300的大小.
分析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过观察,发现指数都是100的倍数,可以考虑逆用幂的乘方法则.
解: 3500=(35)100=243100, 4400=(44)100=256100, 5300=(53)100=125100.
∵256100>243100>125100
∴4400>3500>5300
素养考点
幂的大小的比较
方法点拨
比较底数大于1的幂的大小的方法有两种:
1. 底数相同,指数越大,幂就越大;
2. 指数相同,底数越大,幂就越大.
故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较.
比较大小：233____322
233=(23) 11=811
322=(32) 11=911
＜
∵811＜911
∴233＜322
解析：
1.计算a3 (a3)2的结果是(　　)
A．a8 B．a9 C．a11 D．a18
2.若2x=5，2y=3，则22x+y=_____．
解析：∵2x=5，2y=3.
∴22x+y=(2x)2×2y=52×3=75．
B
75
我们居住的地球
大约6.4×103km
你知道地球的体积大约是多少吗？
球的体积计算公式：
地球的体积约为
知识点3
积的乘方的法则
下列两题有什么特点？
(1)
(2)
底数为两个因式相乘，积的形式.
这种形式为积的乘方.
我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？
问题：
同理：
(乘方的意义)
(乘法交换律、结合律)
(同底数幂相乘的法则)
根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算：
(ab)n =
问题：
猜想
(ab)n=
anbn
(ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n个ab
=(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b)
n个a
n个b
= anbn.
证明：
思考问题：积的乘方(ab)n =
猜想结论：
因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数).
(ab)n=anbn (n为正整数)
积的乘方,等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂________.
(ab)n = anbn (n为正整数)
三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn (n为正整数)
积的乘方法则
乘方
相乘
想一想
计算：
① (ab)5； ② (2a)3； ③ (-xy)4；
④ -(ab)3 ⑤ 2(ab2)3
=a5b5
=8a3
=-a3b3
=2a3b6
=x4y4
方法总结：
运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
若底数中含有“-”号，应将其视为“-1”,并将其作为一个因式，防止漏乘.
“同底数幂相乘的法则”与“幂的乘方法则”异同：
法则 符号语言 运算 结果
同底数幂相乘
幂的乘方
乘法运算
乘方运算
底数不变，指数相加.
底数不变，指数相乘.
解：（1）(3x)2 = 32x2=9x2；
（2）(-2b)5 = (-2)5b5= -32b5 ；
（3）(-2xy)4 = (-2)4x4y4=16x4y4；
（4）(3a2)n = 3n(a2)n=3na2n ．
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
计算：
（1）(3x)2 ；（2）(-2b)5 ；（3）(-2xy)4 ；（4）( 3a2 )n ．
例
素养考点
利用积的乘方进行运算
计算：
(1)(－5ab)3； (2)－(3x2y)2；
(3)(－3ab2c3)3； (4)(－xmy3m)2.
(4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m.
解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3；
(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2；
(3)(－3ab2c3)3＝(－3)3a3b6c9＝－27a3b6c9；
变式训练
　　　
×
√
×
(1)(3cd)3=9c3d3;
(2)(-3a3)2= -9a6;
(3)(-2x3y)3= -8x6y3;
×
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
(4)(-ab2)2= a2b4.
变式训练
例 计算:
(1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解：(1)原式=－4xy2·x2y4·(－8x6)
=32x9y6;
(2)原式=a6b12+(－a6b12)
=0.
含有积的乘方的混合运算
素养考点
方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．
计算：
（1）( - 3 n )3 ·4n2； （2）( 5xy)3 -（5x）2·2xy3；
（3）- a3+(-4a)2a．
解：（1）( - 3 n )3·4n2 = ( - 3 )3 n3 ·4n2= - 27n3 ·4n2=-108n5；
（2） ( 5xy)3 -（5x）2·2xy3 = 53x3y3 -52x2 ·2xy3
= 125x3y3 -50x3y3 =75x3y3；
（3）- a3+(-4a)2a = - a3+42a2a= - a3+16a3=15a3 ．
变式训练
=(0.22)2004 × 54008
=(0.2)4008 × 54008
=(0.2 ×5)4008
=14008
(0.04)2004×[(-5)2004]2
=1.
解法一：
=(0.04)2004 × [(-5)2]2004
=(0.04×25)2004
=12004
=1.
= (0.04)2004 ×(25)2004
(0.04)2004×[(-5)2004]2
解法二：
素养考点
积的乘方的逆用
如何简便计算(0.04)2004×[(-5)2004]2
例
方法总结
逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算．
解：原式
计算:
变式训练
2.（深圳）下列运算正确的是（　　）
A．a+2a＝3a2 B．a2 a3＝a5
C．（ab）3＝ab3 D．（﹣a3）2＝﹣a6
1.（陕西）计算：（﹣ x2y）3＝（　　）
A．﹣2x6y3 B． x6y3 C．﹣ x6y3 D．﹣ x5y4
C
B
我们一起来 吧!
1．（a4）5=　　　．
2.下列各式的括号内，应填入b4的是( )。
A．b12＝(　　)8 B．b12＝(　　)6
C．b12＝(　　)3 D．b12＝(　　)2
C
基础巩固题
a20
3．下列计算中，错误的是( ).
A．(a2)3＝a6 B．(b2)5＝b7
C．[(－b)3]n＝(－b)3n D．[(－b)3]2＝b6
B
4．如果(9n)2＝312，那么n的值是( ).
A．4 B．3
C．2 D．1
B
基础巩固题
5．计算：
(1)(102)8；
(2)(xm)2；
(3)[(－a)3]5；
(4)－(x2)m.
解：(1)(102)8＝1016.
(2)(xm)2＝x2m.
(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.
(4)－(x2)m＝－x2m.
基础巩固题
6．计算：
(1)5(a3)4－13(a6)2；
(2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
解：(1)原式＝5a12－13a12＝－8a12.
(2)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16.
基础巩固题
8.下列运算正确的是( )
A. x x2=x2 B. (xy)2=xy2
C. (x2)3=x6 D. x2+x2=x4
C
7.计算 (–x2y)2的结果是(　　)
A．x4y2 B．–x4y2
C．x2y2 D．–x2y2
A
基础巩固题
9. 计算：(1) 82016×0.1252015= ________;
(2) ________;
(3) (0.04)2013×[(–5)2013]2=________.
8
–3
1
(1)(ab2)3=ab6 ( )
×
×
×
(2) (3xy)3=9x3y3 ( )
×
(3) (–2a2)2=–4a4 ( )
(4) –(–ab2)2=a2b4 ( )
10. 判断:
(1) (ab)8 ; (2) (2m)3 ; (3) (–xy)5;
(4) (5ab2)3 ; (5) (2×102)2 ; (6) (–3×103)3.
11.计算:
解：(1)原式=a8b8;
(2)原式= 23 ·m3=8m3;
(3)原式=(–x)5 ·y5= –x5y5;
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6;
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104;
(6)原式=(–3)3 ×(103)3= –27 ×109= –2.7 ×1010.
1.已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值.
解:因为3x+4y-5=0.所以3x+4y=5.则27x·81y=(33)x·(34)y
=33x·34y
=33x+4y
=35
=243.　
能力提升题
(1) 2(x3)2·x3–(3x3)3+(5x)2·x7;
(2)(3xy2)2+(–4xy3) · (–xy) ;
(3)(–2x3)3·(x2)2.
解：原式=2x6·x3–27x9+25x2·x7
= 2x9–27x9+25x9 = 0;
解：原式=9x2y4 +4x2y4
=13x2y4;
解：原式= –8x9·x4 =–8x13.
2.计算:
能力提升题
解：因为am=3, an=5
所以a3m+2n=a3m·a2n
=(am)3·(an)2
=33×52
=675.
1.已知：am=2,an=5.求a3m+2n的值
拓广探索题
2.如果(an bm b)3=a9b15,求m, n的值.
(an)3 (bm)3 b3=a9b15
a 3n b 3m b3=a9b15
a 3n b 3m+3=a9b15
3n=9 ,3m+3=15.
n=3,m=4.
解：∵(an bm b)3=a9b15
拓广探索题
课堂小结
幂的乘方
法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（am）n=amn (m,n都是正整数。）
注意反向运用
幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m
积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数。)
幂的乘方与积的乘方
法则
积的乘方法则的逆用：an·bn = (ab)n
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢
谢
再 见
下课了!
谢谢观看
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