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3.4第 2 课时 工程问题
第3章 一元一次方程
1. 经历建立一元一次方程模型解决实际问题的过程，培养学生解决实际问题的基本技能.
2. 能通过工作量、工作效率、工作时间的关系列方程解决实际问题.
重点：读懂题意，分析数量关系.
难点：间接设未知数法.
教学目标
1.工程问题中涉及到的三个量之间有什么关系？
工作效率×工作时间= 工作量
工作量÷工作效率=工作时间
工作量÷工作时间=工作效率
2.在工程问题中通常把哪个量看作整体“1”？
在未知总工作量具体数据时，通常把总工作量看作整体“1”.
例1 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要 15 天才能完成，乙单独绣需要 12 天才能完成. 现在甲先单独绣 1 天，接着乙又单独绣 4 天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品
工作时间 工作效率 工作总量
甲
乙
设再合绣 x 天
x + 1
x + 4
本题中等量关系为：
甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝总工作量.
解得 x＝4.
解：设剩下的工作由甲、乙两人合绣 x 天可以完成，则根据题意，得
答：甲、乙两人再合绣 4 天就可以完成这件作品.
练1 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起做 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
工程问题：整理完成这批图书.
分析：
总工作量＝人均效率×人数×时间
列表分析：
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 x＋2 8
×
×
＝
×
＝
×
解：先安排 x 人先做 4 h.
根据先后两个时间段的工作量之和等于工作总量，列出方程
解方程，得
4x＋8(x＋2)＝40.
4x＋8x＋16＝40.
12x＝24.
x＝2.
答：应安排 2 人先做 4 h.
　工作总量是具体数量的问题
1. 某车间原计划15小时生产一批零件，后来每小时多生产10个，用了12小时不但完
成任务，而且还多生产60个，设原计划每小时生产 x 个零件，所列方程为（　B　）
A. 15 x ＝12（ x ＋10）＋60
B. 12（ x ＋10）＝15 x ＋60
C. － ＝10
D. － ＝10
B
2. 甲、乙两个工程队共同承担1000m的排污管道建设任务，已知甲工程队每天可以
完成100m，乙工程队每天可以完成80m，开始工作后， 甲先工作一天，乙才开始工
作，则乙加入后，还需 天才能完成这项工程.
3. 入冬以后，一些传染病开始流行，口罩的需求量剧增，某口罩厂原计划每天生产
60箱口罩，更新设备后，工作效率提高20％，这样不仅提前5天完成了生产任务，
并且比原计划多生产了48箱口罩，求原计划要生产多少箱口罩？
解：设原计划要生产 x 箱口罩，根据题意，
得 － ＝5，
解得 x ＝2040.
答：原计划要生产2040箱口罩.
5　
解：设原计划要生产 x 箱口罩，根据题意，
得 － ＝5，
解得 x ＝2040.
答：原计划要生产2040箱口罩.
　用整体“1”作为工作总量的问题
4. 某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作
完成此项工作，若设甲一共做了 x 天，则所列方程为（　C　）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＋ ＝1
5. 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，4h可把空水池灌满；单独开乙
水龙头，6h可把满池水放完.如果要灌满水池的 ，则需同时开甲、乙水龙头的时间
是（　C　）
A. 4h B. h C. 8h D. h
C
C
6. 一个工人加工一批零件，限期完成，若他每小时加工10个，到期可超额完成3
个；若他每小时加工11个，则可提前1h完成任务，他一共要加工多少个零件？限期
多少小时完成？设限期xh完成，则根据题意，可列方程为 .
7. 收割一块小麦，甲组需要4小时收割完，乙组需要6小时收割完.现在两组合作，
中间乙组因其他事情离开一段时间，从开工后3小时完成任务，则乙组离开了
小时.
　10x－3＝11（x－1）　
　
8. 若9人合作14天完成一件工作的 ，而余下的工作要在4天内完成，假设每个人的
工作效率相同，则需增加（　B　）
A. 11人 B. 12人 C. 13人 D. 14人
9. 某项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再加
入合作，直到完成这项工程，求甲完成这项工程所用的时间.若设甲完成此项工程
一共用 x 天，可列方程为 .
B
＋ ＝1　
做一做
10. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ，
第二天耕了剩余部分的 ，还剩下 42 公顷，则
这片地共有 公顷.
解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得
解得 x = 189.
189
11. 某工作甲单独做需15h完成，乙单独做需12h完成，若甲先单独做1h，之后乙再
单独做4h，剩下的工作由甲、乙两人一起做.问再做多久可以完成全部工作？
解：设再做x可完成全部工作.
＋ ＋（ ＋ ）x＝1，
解得x＝4.
答：再做4h可以完成全部工作.
解：设再做xh可完成全部工作.
＋ ＋（ ＋ ）x＝1，
解得x＝4.
答：再做4h可以完成全部工作.
12. （答题模板）限期完成一项工程，甲队单独做4天可完成，乙队则需10天完成，
现甲队工作2天后，余下的由乙队去做，正好按期完成，问原计划需多少天完成？
解：设原计划需 x 天完成，则甲队完成了 　 　，乙队完成了 　 　，
由题意列方程为 ，
解得 x ＝ .
答：原计划需 天完成.
　
　
＋ ＝1　
7　
7　
13. 七年级（1）班小芳和小华在做室内值日时，小芳单独做需15min完成，小华单独
做需9min完成.若小芳先单独做3min后，小华才到，剩下的由两人共同完成，则还
需要几分钟才能做完？若5min后要上课了，则她们能在上课前做完吗？
解：设还需要 x min完成.
根据题意，得 ＋（ ＋ ） x ＝1，解得 x ＝4.5.
答：还需要4.5min才能做完.若5min后要上课了，则她们能在上课前做完.
解：设还需要 x min完成.
根据题意，得 ＋（ ＋ ） x ＝1，解得 x ＝4.5.
答：还需要4.5min才能做完.若5min后要上课了，则她们能在上课前做完.
解：设这批加工任务共有 x 件，由题意，得
－ ＝4.
解得 x ＝3360.
答：这批加工任务共有3360件.
解：设这批加工任务共有 x 件，由题意，得
－ ＝4.
解得 x ＝3360.
答：这批加工任务共有3360件.
14. 某车间接到一批加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，实际加工时每
天多加工20件，结果提前4天完成任务，则这批加工任务共有多少件？
15. 甲班有45人，乙班有39人，现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加歌咏
比赛.如果从甲班抽调的人数比从乙班抽调的人数多1人，那么甲班剩余人数恰好是
乙班剩余人数的2倍.请问从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？
解：设从甲班抽调了 x 人，那么从乙班抽调了（ x －1）人.
由题意，得45－ x ＝2[39－（ x －1）]，解得 x ＝35.
则 x －1＝35－1＝34.
答：从甲班抽调了35人参加歌咏比赛，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛.
解：设从甲班抽调了 x 人，那么从乙班抽调了（ x －1）人.
由题意，得45－ x ＝2[39－（ x －1）]，解得 x ＝35.
则 x －1＝35－1＝34.
答：从甲班抽调了35人参加歌咏比赛，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛.
16. 某报社需要在40min内将一篇紧急宣传文稿输入电脑.已知独立完成此项任务，
小王需要50min，小李需要30min.小王独自输入了30min后，因为急于完成任务，请
求小李帮助他（求助时间忽略不计），他们能在要求的时间内完成任务吗？请说明
理由.
解：能.理由：设小李加入后， x min完成任务，根据题意，得 ＋ ＝1，
解得 x ＝7.5，
则他们完成共用时37.5min.
因为37.5＜40，
所以他们能在要求的时间内完成任务.
解：能.理由：设小李加入后， x min完成任务，根据题意，得 ＋ ＝1，
解得 x ＝7.5，
则他们完成共用时37.5min.
因为37.5＜40，
所以他们能在要求的时间内完成任务.
17.一件工作，甲单独做 15 天完成，乙单独做 12 天完成．甲先单独做 6 天，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少天才能完成这件工作？
解：设两人合作还要 x 天才能完成这件工作.
依题意，得
答：两人合作还要 8 天才能完成这件工作.
解得 x = 8.
或者
18. (姜堰区校级月考) 为打造绿色生态环境，一段长
为 2 400 米的河道整治任务交给甲、乙两个工程队接力完成，共耗时 80 天. 已知甲队每天整治 32 米，乙队每天整治 24 米. 求甲、乙两队分别整治河道多少米 (写出完整的解答过程).
解：设甲队工作时间 x 天，乙队工作时间是 (80－x ).
根据河道总长是 2 400 米，列出方程
32x ＋24(80－x)＝2 400.
x＝60.
甲：32×60＝1920 米；
乙：24×20＝480 米.
答：甲、乙两队分别整治河道 1 920 米、480 米.
方法二：
解：设甲队整治河道 x 米，乙队两整治河道 (2 400－x) 米.
根据工作总时间是 80 天，列出方程
x＝1920.
乙：2400－1920＝480 (米).
答：甲、乙两队分别整治河道 1 920 米、480米.
19. （核心素养·应用意识）甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙
单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元，甲、乙两人经
商量后签订了该合同.
（1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？
解：（1）设甲、乙两人合作完成此项工程需 x 天，
则 ＋ ＝1，解得 x ＝12.
因为12＜15，
所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同.
解：（1）设甲、乙两人合作完成此项工程需 x 天，
则 ＋ ＝1，解得 x ＝12.
因为12＜15，
所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同.
（2）现两人合作了这项工程的75％，因别处有急事，必须调走1人，问调走谁更合
适？为什么？
解：（2）设两人合作 a 天完成工作的75％.
则 ＋ ＝ ，解得 a ＝9.
若调走甲，则乙还需 ÷ ＝5（天）；
若调走乙，则甲还需 ÷ ＝7.5（天）.
因为9＋5＝14（天）＜15天，
9＋7.5＝16.5（天）＞15天，
所以调走甲更合适.
解：（2）设两人合作 a 天完成工作的75％.
则 ＋ ＝ ，解得 a ＝9.
若调走甲，则乙还需 ÷ ＝5（天）；
若调走乙，则甲还需 ÷ ＝7.5（天）.
因为9＋5＝14（天）＜15天，
9＋7.5＝16.5（天）＞15天，
所以调走甲更合适.

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