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第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
第 1 课时
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．
2．理解一元二次方程及其相关概念．
一、学习目标
1．什么是方程？什么是一元一次方程？
二、复习引入
答：含有未知数的等式叫做方程．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程．通常标准形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
解：（1）（4）．
二、复习引入
2．指出下列方程哪些是一元一次方程？
（1）3x+4=1； （2）6x-5y=7； （3） ；
（4） ； （5）x2-70x+825=0； （6） ；
（7）x(x+5)=150； （8） ．
二、复习引入
答：“元”是指方程中含有的未知数；
“次”是指方程中含有的未知数的次数．
3．什么是“元”？什么是“次”？
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
想一想
1．幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，那么这个宽度应是多少米？
如果设这个宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？
答： (8-2x)(5-2x)=18．
三、探究新知
2．观察等式：102+112+122=132+142．你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数呢？根据题意，你能列出怎样的方程？
答：x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2．
三、探究新知
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
3．如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程？
答：(x+6)2+72=102．
三、探究新知
议一议 ：
方程(8-2x)(5-2x)=18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2及
(x+6)2+72=102有什么共同特点呢？
答：方程(8-2x)(5-2x)=18可化为2x2-13x+11=0，
x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2可化为x2-8x-20=0，
方程(x+6)2+72=102可化为x2+12x-15=0．
三、探究新知
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
共同特点是：
（1）都只含有一个未知数x；
（2）都可化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)；
（3）未知数的最高次数都是2；
（4）等号两边都是整式．
归纳：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且
未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
三、探究新知
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
其中ax2是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项．
三、探究新知
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
解：（2）是一元二次方程；
（1）（3）（4）不是一元二次方程；
（1）是一元一次方程，
（3）是分式方程，
（4）是二元二次方程．
四、典例精析
例1 下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？
（1）3x+2=5x-3；（2）4y2=5y；（3） ；
（4）x2+y=2．
例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）x2=0； （2）4x+1=x2；
（3）2x2= -3x+1；（4）x(x+3)= -2．
解：（1）x2=0化为一元二次方程的一般形式仍为x2=0；
（2）移项，得一元二次方程的一般形式为x2-4x-1=0；
四、典例精析
（3）移项，得一元二次方程的一般形式为2x2+3x-1=0；
（4）去括号，移项，得一元二次方程的一般形式为x2+3x+2=0．
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
方程 二次项系数 一次项系数 常数项
x2=0 1 0 0
4x+1=x2 1 -4 -1
2x2= -3x+1 2 3 -1
x(x+3)= -2 1 3 2
四、典例精析
A
五、课堂练习
1．下列关于x的方程：
（1）(m-3)x2- -2=0； （2）k2x+5k+6=0；
（3） ；（4） ．
其中是一元二次方程的个数是（ 　 ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
2．下列关于x的方程中，一元二次方程的个数有（ ）．
① ； ② ；
③ kx2-3x+1=0； ④ x2-x2(x2+1)-3=0；
⑤ (k+3)x2-3kx+2k-1=0．
A．0 B．1 C．2 D．3
B
五、课堂练习
3．将方程2x2=1-3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）．
A．2，1，-3 B．2，3，-1
C．2，3，1 D．2，1，3
B
五、课堂练习
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
4．将方程(x-1)(x+3)=12化为ax2+bx+c=0的形式后，
a，b，c的值分别为（ ）．
A．1，-2，-15 B．1，-2，-15
C．1，2，-15 D．-1，2，-15
C
5．若方程 是一元二次方程，
则m=______．
4
五、课堂练习
答：方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式为
5x2+36x-32=0．其中二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为-32．
6．把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
五、课堂练习
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
答：（1）∵ k2－1≠0 ∴k ≠±1；
（2）∵k2－1=0且k+1≠0 ∴k＝1．
7．已知关于x的方程 (k2-1)x2+2(k+1)x+3(k-1)=0
（1）当k为何值时，方程 (k2-1)x2+2(k+1)x+3(k-1)=0 是关于x的一元二次方程．
（2）当k为何值时，方程 (k2-1)x2+2(k+1)x+3(k-1)=0 是关于x的一元一次方程．
五、课堂练习
　　本节课我们主要学习了：
　　1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
　　2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
六、课堂小结
海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10 。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。
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