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(共9张PPT)
第三十章　二次函数
专项突破7
二次函数的图像与图形的交点问题
2
1.
3
x1＝－1，x2＝3
(2)抛物线的表达式为________________；
(3)不等式y1x<－1或x>3
－1＜x＜3
返回
2.
(8分)如图，抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A，B两点，交y轴于点C.
(1)求点A，B，C的坐标；
解：对于y＝x2－2x－3，
当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，
x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)．
当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)．
(2)将图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原图像其余部分组成一个新图像，若直线y＝m与新图像有四个交点，直接写出m的取值范围.
解： m的取值范围为0返回
3.
(12分)2024德州中考]已知抛物线y＝x2－4mx＋2m＋1，m为实数．
(1)如果该抛物线经过点(4，3)，求该抛物线的顶点坐标；
解：∵该抛物线经过点(4，3)，
∴3＝42－16m＋2m＋1，解得m＝1，
∴y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴该抛物线的顶点坐标为(2，－1)．
(2)如果当2m－3≤x≤2m＋1时，y的最大值为4，求m的值；
(3)已知点O(0，0)，点A(1，0)，如果该抛物线与线段OA(不含端点)恰有一个交点，求m的取值范围.
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第三十章　二次函数
河北特色题型专练二
1.
2.
(16分)如图，已知b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴的右交点为D.
(1)若AB＝8，则b的值为________，此时L的对称轴与a的交点坐标为________；
4
(2，－2)
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝ 2 019.5时“美点”的个数.
解：当b＝2 019时，“美点”的个数为4 040，
当b＝2 019.5时，“美点”的个数为1 010.(共11张PPT)
第三十章　二次函数
专项突破3
求二次函数的表达式
返回
y＝－4x2＋4x＋2
1.
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过(1，2)和(－1，－6)两点，且与y轴的交点坐标为(0，2)，则该抛物线的表达式为_______________.
2.
(8分)[教材P40习题A组T1变式]已知二次函数
y＝x2＋bx＋c的图像过点(－1，0)和点(4，5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点P(x，y)是该二次函数图像上的一点，且－4≤x≤4，请求出y的取值范围.
解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，函数有最小值－4.
∵当x＝－4时，y＝x2－2x－3＝16＋8－3＝21，
当x＝4时，y＝x2－2x－3＝16－8－3＝5，
∴当－4≤x≤4时，－4≤y≤21.
返回
返回
3.
C
返回
4.
已知二次函数的图像经过点(－1，2)和(－3，2)，且该二次函数有最大值3，则该二次函数的表达式为________________.
y＝－(x＋2)2＋3
返回
5.
抛物线与x轴交于点(－3，0)和(1，0)，且与y轴交于点(0，3)，则该抛物线的表达式为(　　)
A．y＝x2－2x＋3
B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝－x2＋2x＋3
D．y＝－x2－2x＋3
D
返回
6.
已知某二次函数图像的对称轴是直线x＝1，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点(0，－6)，若AB＝4，则该二次函数的表达式为____________.
y＝2x2－4x－6
返回
7.
D
8.
(2)若把它的图像绕x轴翻折，求所得图像的函数表达式.
返回(共21张PPT)
第三十章　二次函数
阶段练习(30.1~30.3)
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B
1.
下列函数一定是二次函数的是(　　)
一、选择题(每小题5分，共40分)
返回
2.
下列关于二次函数y＝－x2＋x＋2的图像和性质的说法中，正确的是(　　)
A．图像开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是(－1，2)
D．点(－1，0)在此函数图像上
D
返回
3.
将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为(　　)
A．y＝(x＋1)2－3
B．y＝(x＋1)2－2
C．y＝(x－1)2－3
D．y＝(x－1)2－2
A
返回
4.
[2025威海中考]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A．y1>y2>y3
B．y1>y3>y2
C．y2>y1>y3
D．y3>y2>y1
C
返回
5.
已知二次函数y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为(　　)
A．－2
B．－1
C．0
D．2
D
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6.
[2025石家庄期中]一次函数y＝ax＋b与二次函数
y＝ax2＋bx＋b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是(　　)
D
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7.
已知a(a＜0)，h(0＜h＜10)，k为三个常数，且二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像经过(0，5)，(10，8)两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是(　　)
结论Ⅰ：h的值可能为5；
结论Ⅱ：点P(m，n)在二次函数的图像上，若n＝8，则满足条件的点P有两个．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对
C
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8.
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，给出下列说法：①ac>0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＝0；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤当y>0时，－1A．②⑤
B．③⑤
C．①③④
D．②③④
A
返回
9.
已知二次函数y＝(m＋1)x2的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是________.
m＜－1
二、填空题(每小题5分，共20分)
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10.
返回
11.
函数y＝2x2－4x＋m(m为常数)满足以下条件：当2－6
返回
12.
13.
(10分)已知二次函数y＝2(x－1)(x－3)．
(1)用配方法把这个二次函数的表达式化为顶点式的形式，并写出这个函数图像的对称轴和顶点坐标；
解：y＝2(x－1)(x－3)＝2(x2－4x＋3)＝2(x－2)2－2，
∴这个函数图像的对称轴是直线x＝2，
顶点坐标是(2，－2)．
三、解答题(共40分)
(2)将这条抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为____________________________________.
y＝2(x＋2)2(或y＝2x2＋8x＋8)
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14.
(14分) 九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数y＝|x2－1|的图像和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
(1)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中m＝________，n＝________；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图像补充完整．
解：如图所示．
(2)观察图像，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为_______________________．
(3)除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图像特征或性质：
①_______________________；
②_______________________________.
(4)若点(p，a)与(q，b)在函数图像上，且|q|<|p|<1，则a与b的大小关系是________.
－11
函数图像是轴对称图形
函数值y都是非负数(答案不唯一)
a返回
15.
(16分)[2024福建中考]如图，已知二次函数
y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图像上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.
返回(共5张PPT)
第三十章　二次函数
微专项2 抛物线对称性的应用
C
1.
已知A(2，m)，B(－4，m)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上两点，则该抛物线的对称轴为(　　)
A．y轴
B．直线x＝1
C．直线x＝－1
D．直线x＝－2
2.
已知点A(－2，a)在抛物线y＝x2－4x－10上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为(　　)
A．(0，2)　
B．(5，2)　
C．(6，0)　
D．(6，2)
D
3.
A
4.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x和函数y的几组对应值如下表：

(1)这个二次函数的图像的对称轴是直线________；
(2)m的值为________；
(3)当0x＝2
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 －1 0 m 8 …
3
－1≤y＜3(共7张PPT)
第三十章　二次函数
专项突破2
根据函数性质判断函数图像
返回
C
1.
二次函数y＝ax2＋4x＋1和一次函数y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是(　　)
返回
2.
在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx的图像可能是(　　)
D
返回
3.
C
返回
4.
一次函数y＝ax＋b的图像如图所示，则二次函数
y＝ax2＋bx的图像大致是(　　)
A
返回
5.
已知二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图像如图所示，则一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图像大致为(　　)
C
返回
6.
A
个y
X
A
B
C
D
冲
y
A
B
C
D
X
A
B
C
D
y
A
B
y
C
D
y不
衣
x
y个
A
B
O
主
y个
y个
O
C
D
54321
54321
O
12345x
012345x
A
B
1
O
54321
54321
012345
0
12345x
C
D(共13张PPT)
第三十章　二次函数
培优拔高练 二次函数的综合应用
(－4，3)
1.
【点拨】
如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵斜坡的坡度为3∶4，∴设AD＝3a m，则OD＝4a m，
∵OA＝5 m，∴(3a)2＋(4a)2＝52，
解得a＝1(负值舍去)，∴AD＝3 m，OD＝4 m，
∴点A的坐标是(－4，3)．
(2)①求b，c所满足的数量关系；
②当小球恰好落到原点时，求抛物线的表达式；
(3)如图，在点O右侧5 m处有一堵高为2 m的墙BC，若要小球能触碰到墙面，求b的取值范围.
2.
(1)求b，c的值及点P的坐标．
(3)直线AE：y＝kx＋n(k＞0)交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半．
①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值；
②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值.(共25张PPT)
第三十章　二次函数
章末整合练
返回
B
1.
函数y＝ax2－2x＋1(a≠0)在平面直角坐标系中的图像可能是(　　)
返回
2.
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点(2，0)，(4，0)，则当y随x的增大而增大时，x的取值范围是(　　)
A．x＞3
B．x＞2
C．x＜3
D．x＜6
A
返回
3.
若A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)为二次函数
y＝x2＋2x＋c图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A．y2＜y1＜y3
B．y1＜y2＜y3
C．y3＜y1＜y2
D．y1＜y3＜y2
A
返回
4.
[2025保定一模]现要在抛物线y＝(m＋3)x2＋(m＋2)x－2(m为常数，m≠－3)上找点P(k，2k－1)，所能找到点P的个数是(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
B
返回
5.
[2025浙江中考]为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图①，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图②，y关于x的函数图像与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点．下列选项正确的是(　　)
A．m＝12
B．n＝24
C．点C的纵坐标为240　
D．点(15，85)在该函数图像上
D
返回
6.
将二次函数y＝x2＋2x的图像向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图像的顶点坐标是________.
(0，1)
7.
(16分)如图，x轴上依次有A，B，D，C四个点，且
AB＝BD＝DC＝2，从点A处向右上方沿抛物线
y＝－(x＋2)(x－6)发出一个带光的点P.
(1)求点A的横坐标，并在图中补画出y轴；
解：令y＝0，则－(x＋2)(x－6)＝0，
解得x＝－2或x＝6，
∴点A的横坐标为－2.y轴如图所示．
(2)通过计算说明点P是否会落在点C处，并补全抛物线；
解：由(1)可知抛物线与x轴的两个交点为A(－2，0)，(6，0)，
∴点P落在x轴上点(6，0)处．
∵AB＝BD＝DC＝2，
∴C(4，0)，∴点P不会落在点C处．
补全抛物线如图所示．
(3)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
解： ∵y＝－(x＋2)(x－6)＝－(x－2)2＋16，
∴抛物线的顶点坐标为(2，16)，对称轴为直线x＝2.
(4)在x轴上从左到右有两点E，F，且EF＝2，从点F向上作GF⊥x轴，且GF＝1.连接GE，在△GFE沿x轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P能落在边EG(包括端点)上，直接写出点G的横坐标的最大值与最小值.
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8.
已知二次函数的图像以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)，则这个二次函数的表达式为________________.
y＝－x2－2x＋3
9.
(12分)已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0.
(1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图像，指出此时y的最小值，并写出t的值；
解：∵抛物线y＝ax2＋bx和它的对称轴经过点A，
∴点A(－3，－3)为抛物线的顶点．
由题图可知a>0，
∴y的最小值为－3.
易得点P和点O关于直线x＝－3对称，∴t＝－6.
(2)若t＝－4，求抛物线的表达式，并指出此时抛物线的开口方向；
(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.
－1(答案不唯一)．
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10.
[2025保定二模]已知抛物线y＝x2＋2x－4与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)，则(a＋1)·(b＋1)的值为(　　)
A．－5
B．－1
C．3
D．7
A
返回
11.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图像如图所示，对称轴为直线x＝－1，则当y＜0时，x的取值范围是(　　)
A．x＜1
B．x＞－1
C．－3＜x＜1
D．－4≤x≤1
C
返回
12.
已知抛物线y＝x2－mx＋m－3.
(1)若抛物线关于y轴对称，则抛物线与y轴的交点坐标为________．
(2)若抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点，则m的取值范围是________.
(0，－3)
m≤3
13.
[2025石家庄月考]图①是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB＝8 cm，杯底CD＝4 cm，且AB∥CD，杯深12 cm.如图②，将盛有部分水的水杯倾斜45°(即∠ABP＝45°)，水面正好经过点B.嘉淇在图①中建立了平面直角坐标系(抛物线的顶点在y轴上)，对于下列结论，
判断正确的是(　　)
B
结论Ⅰ：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的表达式为y＝x2－16；
结论Ⅱ：图②中，点P到杯口AB的距离为5 cm.
A．Ⅰ不对，Ⅱ对
B．Ⅰ对，Ⅱ不对
C．Ⅰ和Ⅱ都对
D．Ⅰ和Ⅱ都不对
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14.
(8分)[2025陕西中考]某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线形，水平横梁AC＝16 m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线L1的表达式；
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第三十章　二次函数
专项突破5
生活背景中的抛物线问题
返回
B
1.
如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落地点为B，网球飞行路线是一条抛物线，小明在线段AB上点C的右侧竖直向上摆放若干个无盖、直径为0.5米，高为0.3米的圆柱形桶(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．已知AB＝4米，AC＝ 3米，网球飞行的最大高度OM＝3米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放圆柱形桶(　　)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
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2.
如图，它是河北赵州桥的示意图，可以近似看作一条抛物线，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为8 m，AB＝40 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为10 m，则DE的长为________m.
60
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3.
如图①为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图②所示．升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线形，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面
2米高时，喷射的水柱在距升降杆1米处达到最高，高度为2.25 米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射水柱的
落地点与点O的距离为________米.
6
4.
(8分) 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．
某同学借此情境编了一道数学题，
请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长．嘉嘉在点A(6，1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：
(1)写出抛物线C1最高点的坐标，并求出a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.
返回(共7张PPT)
第三十章　二次函数
微专项3 函数值的大小比较
A
1.
若二次函数y＝x2＋1的图像过点(1，y1)和点(2，y2)，则y1，y2的大小关系为(　　)
A．y1＜y2
B．y1＞y2
C．y1＝y2
D．y1≥y2
2.
若点(0，a)，(－1，b)，(4，c)均在抛物线y＝－2(x－1)2＋3上，则a，b，c的大小关系为________．(用“<”连接)
c＜b＜a
3.
已知抛物线y＝x2－2x＋c，若点(－1，y1)，(0，y2)，(4，y3)都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是________．(用“＜”连接)
y24.
已知点(3，y1)，(－2，y2)，(0，y3)都在抛物线y＝mx2－4mx＋n(m＜0)上，则y1，y2，y3的大小关系为________．(用“＜”连接)
y2＜y3＜y1
5.
已知点A(0，y1)，B(1，y2)，C(5，y3)在抛物线y＝ax2－2ax－5(a为常数且a＜0)上，则y1，y2，y3的大小关系是________．(用“＜”连接)
y36.
已知点A(－2，a)，B(－1，b)，C(5，c)都是二次函数
y＝mx2－2mx＋n(m＜0)图像上的点，则a，b，c的大小关系为________．(用“＜”连接)
c＜a＜b(共7张PPT)
第三十章　二次函数
专项突破6
二次函数图像与字母系数的关系
返回
B
1.
在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．a＜0
B．b＝0
C．c＜0
D．a，c异号
返回
2.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则点P(a，b)所在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D
返回
3.
二次函数y＝－x2＋bx－c的图像如图所示，则下列判断正确的是(　　)
A．b>0，c>0
B．b>0，c<0
C．b<0，c>0
D．b<0，c<0
D
返回
4.
[2025安徽中考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则(　　)
A．abc<0
B．2a＋b<0
C．2b－c<0
D．a－b＋c<0
C
5.
[2024泰安中考]如图，这是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图像，该函数图像的对称轴是直线x＝1，图像与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：
①2a＋b＝0；
②方程ax2＋bx＋c＝0一定有
一个根在－2和－1之间；
B
返回(共10张PPT)
第三十章　二次函数
专项突破4 与二次函数的增减性相关的最值问题
减小
1.
二次函数y＝x2－2x＋2的图像如图所示．
(1)若－1≤x≤0，则y随x的增大而________；当x＝________时，y有最小值，为________；当x＝________时，y有最大值，为________．
0
2
－1
5
(2)若2≤x≤3，则y随x的增大而________；当x＝________时，y有最小值，为______；当x＝________时，y有最大值，为________．
(3)若0≤x≤3，则当x＝________时，y有最小值，为________；当x＝________时，y有最大值，为________.
增大
2
2
3
5
1
1
3
5
返回
2.
(8分)已知二次函数y＝－x2＋10x－9.
(1)求该二次函数图像的顶点坐标；
解：∵y＝－x2＋10x－9＝－(x－5)2＋16，
∴该二次函数图像的顶点坐标为(5，16)．
(2)当1≤x≤7时，函数的最大值和最小值分别为多少？
∵该二次函数图像的顶点坐标为(5，16)，－1<0，
∴当x＝5时，y最大值＝16.
∵当x＝1时，y＝0，当x＝7时，y＝12，∴y最小值＝0.
∴当1≤x≤7时，函数的最大值为16，最小值为0.
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3.
若二次函数y＝－x2＋ax＋1取最大值时x＝1，则a的值为(　　)
A．－1
B．1
C．2
D．－2
C
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4.
当a－2≤x≤a时，二次函数y＝x2－4x＋3的最小值为15，则a的值为(　　)
A．－2或8
B．8
C．6
D．－2或6
A
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5.
[2025邯郸期末]已知二次函数y＝ax2－2ax＋3的图像不经过第四象限，当－1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差是12，则a的值是(　　)
A．－3
B．3
C．4
D．12
B
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6.
在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋ax＋6的图像关于直线x＝－2对称．若当m≤x≤0时，y有最大值6，最小值2，则m的取值范围是___________.
－4≤m≤－2
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7.
已知二次函数y＝mx2－2mx＋2(m≠0)．
(1)该二次函数图像的对称轴为直线______，与y轴的交点坐标是________；
(2)当x满足－2≤x＜2时，y的最小值是－2，则m的值为________.
x＝1
(0，2)

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