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第二十九章　直线与圆的位置关系
29．5 正多边形与圆
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D
1.
下列说法中不正确的是(　　)
A．正多边形一定有一个外接圆
B．各边相等且各角相等的多边形一定是正多边形
C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形
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2.
C
若正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
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3.
B
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4.
D
[2024济宁中考]如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为(　　)
A．1
B．2
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5.
10
[2024镇江中考]如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝________.
6.
(4分)[教材P17例2变式]如图，正三角形ABC外接圆⊙O的半径为2，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积.
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7.
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC.甲、乙两人的作法分别是：
甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于点B，C；②连接AB，AC，BC，△ABC即为所求的三角形.
乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于点B，C；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形.
A
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(　　)
A．甲、乙均正确
B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
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8.
解：如图所示：
(1)正八边形　　　(2)正三角形　
(4分)[教材P17例1变式]分别按要求作出如图所示⊙O的内接正多边形．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
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9.
D
两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是(　　)
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10.
D
[2025山东中考]在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图，这是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
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11.
105
如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝________°.
12.
(12分)如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE等正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
解：连接OB，OC. ∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，∴∠BOC＝120°.
∵OB＝OC，∴∠OBN＝∠OCN＝30°，
∴∠OBM＝30°＝∠OCN.
又∵BM＝CN，∴△OBM≌△OCN(SAS)．
∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON＝∠BOM＋∠BON＝∠CON＋∠BON＝∠BOC＝120°.
90°
(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
72°
(3)直接写出∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系.
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第二十九章　直线与圆的位置关系
29．1 点与圆的位置关系
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内
1.
已知⊙O的半径是3，当OP＝2时，点P在⊙O______；当OP＝3时，点P在⊙O______；当OP＝5时，点P在⊙O________.
上
外　
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2.
＜
已知⊙O的半径为4，若点P在⊙O内，则OP________4.(填“＞”“＝”或“＜”)
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3.
5
已知⊙O的直径为10 cm，点P不在⊙O外，则OP的最大长度是________cm.
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4.
D
[2025石家庄期末]如图，已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为4，则该点可能是(　　)
A．点P
B．点Q
C．点M
D．点N
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5.
D
已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA的长可能为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
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6.
B
若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为(3，4)，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是(　　)
A．点O在⊙P内
B．点O在⊙P上
C．点O在⊙P外
D．无法确定
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7.
C
如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点M在这条圆弧所在圆的(　　)
A．内部
B．外部
C．圆上
D．不确定
8.
解：若点A，B在⊙C外，则AC＞r.
∵AC＝3，∴0＜r＜3.
(8分)[教材P3例题变式]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？
解：若点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC.
∵AC＝3，BC＝4，∴3＜r＜4.
(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
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9.
A
在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA的长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为(　　)
A．E，F，G
B．F，G，H
C．G，H，E
D．H，E，F
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10.
(4分)如图，以点A为圆心，半径为5 m的圆形区域内有猫活动，一只老鼠从点O出发，沿着OB方向水平运动，AB⊥OB，若OA＝8 m，OB＝6 m，则老鼠有没有被捕捉的风险？
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11.
C
已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2－4x－5＝0的一个根，则点P与⊙O的位置关系为(　　)
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．不能确定
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12.
B
[教材P4习题B组T1变式][2025邯郸期末]如图，在半径为5的⊙O中，弦AB的长为6，若点P在⊙O上，且P到AB的距离为2，则点P的位置可以有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．3个以上
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13.
A
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是(　　)
A．8＜r＜10 B．6＜r＜8
C．6＜r＜10 D．2＜r＜14
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14.
如图，半径为1个单位长度的⊙O的圆心在数轴的原点处，若⊙O以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时原点右边距原点7个单位长度处的点P以每秒2个单位长度的速度向左运动，________秒时，点P在⊙O上.
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15.
9 cm或3 cm
已知点M到一个圆的最小距离为3 cm，最大距离为
6 cm，则该圆的直径是____________.
16.
(8分) 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，
∠QON＝30°.公路PQ上A处距离O点240 m．如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，那么当火车在铁路MN上沿MN方向以72 km/h的速度行驶时，A处是否会受到火车噪音的影响？如果不影响，请说明理由；如果受到影响，求受到影响的时间.
解：受影响．如图，过点A作AC⊥ON.
∵∠QON＝30°，OA＝240 m，
∴AC＝120 m.
∵120 m＜200 m，
∴A处会受到火车噪音的影响．
假设火车到点B时开始对A处产生噪音影响，
经过点D后不再对A处产生噪音影响，
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17.
(12分)如图，一个直角锯齿卡尺(所有角均为直角)，K0，K1，K11都在圆上，且K0K1＝K0K11＝5.卡尺所有锯齿高度和水平宽度都为1，如K1K2＝K2K3＝1.
(1)圆心在卡尺内部还是外部？说明理由；
解：圆心在卡尺内部，理由如下：连接K1K11，
易知线段K1K11在卡尺内部．∵K0，K1，K11都在圆上，
且∠K1K0K11＝90°，
∴K1K11为圆的直径，
∴圆心在Rt△K1K0K11的斜边K1K11上，∴圆心在卡尺内部．
(2)过K0，K1，K11的圆的半径是多少？
解： K7在⊙K0内，K9在⊙K0上．
(3)若以K0为圆心，K0K3为半径画圆，直接写出K7，K9与⊙K0的位置关系.
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第二十九章　直线与圆的位置关系
29．4 切线长定理*
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B
1.
如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B
两点，若PA＝6，则PB＝(　　)
A．3
B．6
C．9
D．12
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2.
A
如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B
两点，若∠APB＝60°，则∠APO的度数为(　　)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
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3.
如图，已知PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若∠APB＝60°，PA＝6，则⊙O的半径是________.
4.
6
(8分)[教材P12例1变式]如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，△PCD的周长为12，∠P＝60°.
(1)PA＝________；
(2)求∠COD的度数.
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5.
B
要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形(　　)
A．三边高线的交点
B．三个角的平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三边中线的交点
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6.
B
如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为8，则△ACO的面积为(　　)
A．8
B．6
C．7.2
D．4.8
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7.
1
[教材P14习题A组T2变式][2025邯郸期中]如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若AE＝2，CD＝1，BF＝3，则内切圆的半径r＝________.
8.
(4分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，求△ABC的周长.
解：连接OE，OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x.
∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC. 又∵∠C＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF为正方形．∵⊙O的半径为2，∴CE＝CF＝2.
又∵BC＝5，∴BD＝BF＝BC－CF＝3.
在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(x＋2)2＋52＝(x＋3)2，
解得x＝10，∴AD＝AE＝10，∴AB＝13，AC＝12，
∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝12＋5＋13＝30.
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9.
D
[2025自贡中考]PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为(　　)
A．50°
B．100°
C．130°
D．50°或130°
10.
如图，在等边三角形DEF的边上分别取点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，BC，AC.甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：△ABC一定是等边三角形．
乙：若点O是△ABC的外心，则它一定也是△DEF的外心．
丙：若AB⊥DE，则AB的长是△DEF内切圆半径的长的2倍．
D
则下列判断正确的是(　　)
A．只有甲的说法不正确
B．只有丙的说法不正确
C．只有乙的说法不正确
D．甲、乙、丙的说法都正确
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11.
11
如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，
BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为________.
12.
(8分)如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC.
(1)求证：∠AOC＝2∠PAC；
证明：如图，过点O作OH⊥AC于点H，∴∠OHA＝90°，
∴∠AOH＋∠OAC＝90°.
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，
∴∠OAC＋∠PAC＝90°，
∴∠AOH＝∠PAC.
∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠AOC＝2∠AOH，
∴∠AOC＝2∠PAC.
(2)连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长.
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13.
[2024滨州中考]刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB，BC，CA的长分别为c，a，b.
则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是(　　)
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D(共20张PPT)
第二十九章　直线与圆的位置关系
29．3 切线的性质和判定
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40°
1.
[2024浙江中考]如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC.若∠ACB＝50°，则∠B的度数为________.
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2.
D
[2024山西中考]如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　　)
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
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3.
D
[教材P9练习T1变式]如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，
OB＝4，则线段OP的长为(　　)
4.
(4分)[2025天津中考节选]如图，已知AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点．求∠CED的大小.
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5.
D
下列直线中，一定为圆的切线的是(　　)
A．垂直于半径的直线
B．与圆有公共点的直线
C．过直径端点的直线
D．圆心到直线的距离等于圆的半径的直线
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6.
D
如图，在△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是(　　)
A．∠O＋∠P＝90°
B．∠O＋∠P＝∠OMP
C．OM2＋PM2＝OP2
D．点N是OP的中点
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7.
60°
如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝________时，AC与⊙O相切.
8.
(4分)[2025山东中考节选]如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线．求证：AB为⊙O的切线.
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证明：∵AD⊥OB于点D，∴∠ADB＝90°.
∵AC是∠BAD的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∴∠BAC＋∠OAC＝∠DAC＋∠OCA＝
180°－∠ADB＝90°，即∠OAB＝90°，∴AB⊥OA.
又∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线．
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9.
C
[教材P23习题B组T3变式][2025福建中考]如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
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10.
B
如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(　　)
A．点(0，3)
B．点(1，3)
C．点(6，0)
D．点(6，1)
11.
(8分)[2025陕西中考]如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°.
(1)求证：AB＝AC；
证明：连接OD.∵∠F＝45°，
∴∠DOE＝2∠F＝90°.
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA＝90°＝∠DOE，
∴AB∥OE，∴∠OEC＝∠B.
∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C，
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
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12.
1
(12分)如图，半圆O的直径DE＝12 cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm，半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为t s，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8 cm.
(1)当t＝________时，半圆O与AC
所在直线第一次相切；点C到
直线AB的距离为________．
6 cm
解：如图①，过点C作CF⊥AB于点F，由(1)得OF＝6 cm，
当直线AB与半圆O所在的圆相切时，
圆心O到直线AB的距离为12÷2＝6(cm)，
又∵圆心O在直线BC上，
∴当点O运动到点C处时，直线AB与半圆O所在的圆相切，
此时，点O运动了8 cm，t＝8÷2＝4.
(2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？
如图②，当点O运动到点B的右侧时，过点O作OQ⊥AB，
交直线AB于点Q，易得OQ＝6 cm.
在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°，
则OB＝2OQ＝12 cm，
此时点O运动了8＋12＋12＝32(cm)，
t＝32÷2＝16.
综上所述，当t＝4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切．
(3)当△ABC的一边所在直线与半圆O相切时，若半圆O与△ABC有重叠部分，直接写出重叠部分的面积.
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第二十九章　直线与圆的位置关系
29．2 直线与圆的位置关系
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相交
1.
已知圆的半径为5 cm，设圆心到直线的距离为d.若d＝4 cm，则直线与圆________，直线与圆有________个公共点；若d＝5 cm，则直线与圆________，直线与圆有________个公共点；若d＝6 cm，则直线与圆________，直线与圆有________个公共点.
2
相切
1
相离
0
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2.
相交
[教材P6练习T1变式]⊙O的直径为17 cm，若圆心O与直线l的距离为7.5 cm，则l与⊙O的位置关系是________．(填“相交”“相切”或“相离”)
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3.
D
[2025唐山期末]如图，这是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆，它们的位置关系是(　　)
A．相切
B．相交
C．平行
D．相离
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4.
C
[2025保定期末]半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆是(　　)
A．⊙O1
B．⊙O2
C．⊙O3
D．⊙O4
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5.
C
已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O有2个交点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是(　　)
A．d＝3
B．d＞3
C．0≤d＜3
D．d＜3
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6.
B
[2025邯郸模拟]已知直线l与⊙O相交，点P在直线l上，若点P到点O的距离等于⊙O的半径，则点P的数量为(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．3个以上
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7.
C
[教材P7练习T2变式]如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，CD⊥OA于点D，以点C为圆心，1为半径的圆与直线OA的位置关系是(　　)
A．相交
B．相切　
C．相离
D．以上三种都有可能
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8.
C
[教材P7习题A组T2变式]在平面直角坐标系中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆(　　)
A．与x轴有2个交点，与y轴有1个交点
B．与x轴没有交点，与y轴有2个交点
C．与x轴有1个交点，与y轴有2个交点
D．与x轴有1个交点，与y轴没有交点
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9.
D
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是(　　)
A．点B在⊙A内
B．直线BC与⊙A相离
C．点C在⊙A上
D．直线BC与⊙A相切
10.
(12分)[教材P6例题变式]如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4.以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？
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11.
C
已知⊙O的半径是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A．相交　
B．相切　
C．相离　
D．无法确定
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12.
D
则下列判断正确的是(　　)
A．只有乙的答案对
B．甲、乙的答案合在一起才对
C．乙、丙的答案合在一起才对
D．三人的答案合在一起才对
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13.
1
如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个点到直线l的距离等于1，即m＝4，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝________；
(2)当m＝2时，d的取值范围是________．
1＜d＜3
14.
(2)写出⊙M与射线OA的公共点个数的所有可能的情况及对应的r的取值范围.
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15.
(8分)如图，半圆的圆心与坐标原点重合，该半圆的半径为1，直线l的表达式为y＝x＋t.
(1)若直线l与半圆只有一个交点，求t的取值范围；
解：若直线l与半圆只有一个交点，则直线l和半圆相切或从直线l过点A开始到直线l过点B结束(不包括直线l过点A)．
易知直线l与x轴所夹的锐角是45°.
当直线l和半圆相切于点C时，连接OC，则OC⊥l，过点C作CD⊥AB于D，则∠COD＝45°.
(2)若直线l与半圆有两个交点，求t的取值范围.
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