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第26章　二次函数
26．2二次函数的图象与性质
3. 求二次函数的表达式
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1. 已知二次函数的图象经过点(－1，0)，(1，－4)和(0，－3)，则这个二次函数的表达式为(　　)
A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－3
B
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2
2．抛物线y＝mx2－3x＋m2－4的开口向上，且经过原点，则m的值为________.
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3．二次函数y＝ax2＋bx＋1中的x，y的部分对应值如表所示：
(1)该二次函数的表达式是____________；
(2)表中m的值为________.
y＝x2－3x＋1
x －1 0 1 2 3
y m 1 －1 －1 1
5
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4. 一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过点(0，－4)，则该二次函数的表达式为(　　)
A．y＝－2(x＋2)2－4
B．y＝－2(x－2)2＋4
C．y＝2(x＋2)2＋4
D．y＝2(x－2)2＋4
B
5．某抛物线与二次函数y＝－5x2的图象开口大小、方向均相同，且顶点坐标为(－1，2 026)，则该抛物线的表达式为___________________.
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y＝－5(x＋1)2＋2 026
6．已知二次函数的图象经过点(－2，13)和(6，13)，且该二次函数的最小值为－3，则该二次函数的表达式为____________.
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y＝(x－2)2－3
7. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(－1，0)，(5，0)，与y轴交于点(0，－4)，则可设二次函数的表达式为y＝a(x＋________)(x－________)，把(0，－4)代入表达式，解得a＝________，所以二次函数的表达式为_______________________________.
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1
5
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D
8．某二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则这个二次函数的表达式为(　　)
A．y＝－x2＋2x＋3
B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝－x2＋2x－3
D．y＝－x2－2x＋3
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10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，a)，B(1，－2)，要求该抛物线的表达式，还需补充一个条件：___________，则该抛物线的表达式为_________________________.
y＝4x2－10x＋4(答案不唯一)
11．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，如果OB＝2OC＝2OA＝2，则该抛物线的表达式为______________.
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12.抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(0，2)，B(4，3)，C三点，点C在直线x＝2上，且到对称轴的距离等于1，则抛物线的表达式为______________________________.
13．[2025吉林期末]如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4过△ABC的顶点，BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，AC＝BC，则a＝______.
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14．(8分)在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方8 m的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门OB的水平距离为2 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.
(1)求抛物线(足球飞行路线)的函数表达式；
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(2)已知球门高OB为2.44 m，通过计算判断球能否被射进球门．
15．(12分)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与y轴的交点为B，且△ABO的面积为5.
(1)求抛物线的表达式；
(2)平移该抛物线，点B恰好落在点A的位置，求平移后的抛物线表达式；
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解：－52
3．将抛物线y＝x2＋1沿x轴向下翻折，得到的新抛物线的表达式为____________．
y＝－x2－1
4．抛物线y＝－3x2＋2x－5绕坐标原点旋转180°所得抛物线的表达式为______________．
y＝3x2＋2x＋5
5．抛物线C1：y＝(x＋2)2－4与C2关于点(1，0)中心对称，则抛物线C2的表达式为______________．
y＝－(x－4)2＋4(共26张PPT)
第26章　二次函数
26．2二次函数的图象与性质
1. 二次函数y＝ax2的图象与性质
1.下列选项中可能是二次函数y＝2x2的图象的是(　　)
C
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B
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C
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3．已知抛物线y＝(m＋1)x2的开口向上，则m的取值范围是(　　)
A．m＜－1 B．m＜1 C．m＞－1 D．m＞－2
(1，－1)
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4．下列各点：(1，－1)，(1，1)，(－2，4)，(3，9)，不在函数y＝x2图象上的是________.
(1)列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝2x2 … …
y＝－x2 … …
8
2
0
8
2
－2
0
－2
(2)在图中描点、连线．
【解】描点、连线如图所示．
≠0
(3)由图象可知，开口较大的抛物线是________；
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下
6. 已知二次函数y＝x2，当x＜0时，y随x的增大而______；当x＞0时，y随x的增大而______．此函数图象有最______点，即当x＝______时，y有最______值，为______.
减小
增大
低
0
小
0
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7．已知抛物线y＝－2x2过A(－2，y1)，B(－1，y2)两点，则y1，y2，0之间的大小关系是________．(用“＜”连接)
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y1＜y2＜0
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8．已知点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为____________．(用“＞”连接)
y1＜y2＜0
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9．抛物线y＝(m－4)x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为________.
m＜4
10．(12分)已知A(3，m)是抛物线y＝－x2上的一点.
(1)m的值为________；
(2)当x>0时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)；
－9
减小
(3)点A关于x轴的对称点B的坐标为______，点A关于y轴的对称点C的坐标为__________，点A关于原点O的对称点D的坐标为________；
(4)直接写出在点B，C，D中，哪些点在抛物线y＝－x2上，哪些点在抛物线y＝x2上；
(3，9)
(－3，－9)
(－3，9)
点C在抛物线y＝－x2上，点B，D在抛物线y＝x2上．
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(5)拓展设问若点(m，n)在抛物线y＝－x2上，则点(m，－n)，(－m，n)，(－m，－n)，(n，m)中一定在该抛物线上的是________．
(－m，n)
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D
返回
D
12．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　)
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D
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14．二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为____________．(用“＞”连接)
a1＞a2＞a3
15．[2025重庆期中]对于二次函数y＝ax2和y＝bx2，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，则m＝________，d－c＝________.
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1
x －1 m(m≠－1)
y＝ax2 c c
y＝bx2 c＋3 d
3
16. [2025长春期末]如图，Rt△OAB的顶点A(－3，6)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与抛物线交于点P，则点P的坐标为
________.
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17．(12分)已知函数y＝(k＋2)xk2＋k－4是关于x的二次函数.
(1)求k的值；
解：根据题意得k＋2≠0且k2＋k－4＝2，
解得k1＝－3，k2＝2.
(2)当该函数图象有最低点时，k＝________，此时若y随x的增大而增大，则x的取值范围是________；
2
x＞0
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(3)当该函数有最大值时，k＝____，此时若点P(m，n)是该二次函数图象上一点，则当－2≤m≤1时，求n的取值范围．
－3
解：当k＝－3时，y＝－x2，
所以当x＝0时，y最大，为0.
因为当x＝－2时，y＝－4；
当x＝1时，y＝－1，所以n的取值范围为－4≤n≤0.
18.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A
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第26章　二次函数
26．1二次函数
2
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1.函数y＝x2＋3x－1中，自变量x的最高次数是________，该函数是________函数，其中二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________.
二次
1
3
－1
C
返回
B
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3．若y关于x的函数y＝3xm－1－x＋1是二次函数，则m的值为(　　)
A．2 B．3 C．0 D．－1
1
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4.已知y＝(m＋1)x|m|＋1＋2x－3是二次函数，则m的值为________.
a≠2，b为任意实数
a＝2且b≠－2
5. [2025南阳联考]已知关于x的函数y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.
(1)当_________________时，此函数是二次函数；
(2)当____________时，此函数是一次函数．
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6．(12分)教材P4习题T3变式已知二次函数y＝ax2＋bx，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝－6.
(1)求a，b的值；
(2)当x＝3时，求y的值；
解：由(1)可知二次函数的表达式为y＝－4x2＋5x，
所以当x＝3时，y＝－4×32＋5×3＝－21.
(3)当y＝－6时，求x的值.
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7. 如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为(　　)
A．正比例函数关系　 B．反比例函数关系
C．一次函数关系　　 D．二次函数关系
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D
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y＝38(1＋x)2
8．目前，3D打印技术在医学领域应用广泛．报告显示2024年全球医疗3D打印应用的市场规模约为38亿美元，若2026年的市场规模约为y亿美元，且年均增长率为x，则y与x之间的函数关系式为______________.
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9．菱形两条对角线的长度和为24 cm，则菱形的面积S(cm2)与其中一条对角线的长x(cm)之间的函数关系式为____________.
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10．[2025莆田质检]已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数关系式为____________．
11．(8分)[教材P4习题T4变式]如图，一个窗户的上部是由4个扇形组成的半圆，下部是由4个边长相同的小正方形组成的正方形.
(1)求窗户面积S(m2)与小正方形边长a(m)之间的函数关系式；
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(2)当a＝4时，求窗户的面积．(结果保留π)
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C
12．下列一定是关于x的二次函数的是(　　)
A．y＝(m＋1)2x2　　 　 B．y＝(x＋1)x－x2
C．y＝(m2＋1)x2　　　 D．y＝ax2＋bx＋c
13．如图，正方形ABCD和圆O的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(　　)
A．反比例函数关系，二次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
返回
D
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14．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6，AD＝4，点E，F分别在线段AD，DC上(不与端点重合)，若∠BEF＝120°，AE＝x，DF＝y，则y关于x的函数关系式为________________.
15．[教材P2问题1变式]如图，用24 m的篱笆围一个中间隔有一道篱笆的矩形花圃，一边靠墙(墙长10 m)，中间篱笆垂直于墙．设AB为x m，花圃的面积为S m2，则S与x之间的函数关系式及自变量取值范围为________________________.
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16．(8分)洛邑古城的《永远的盛唐》沉浸式XR体验项目，因使人有“身临”盛唐时代的震撼效果而持续火爆．该项目体验成本为25元/次，场馆日固定成本为6 000元．定价为89元/次时，日均客流量为200人．为响应文旅惠民行动，运营方要降低价格，且每次降价不超过20元，调研发现，每次每降价1元，日客流量可增加8人.
(1)若每次降价x元时日利润为y元，求y与x的函数关系式；
解：每次降价x元时，每次利润为89－x－25＝(64－x)元，
日均接待游客(200＋8x)人，
由题意，得y＝ (64－x)( 200＋8x)－6 000＝
－8x2＋312x＋6 800.
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(2)要使日利润为9 600元，每次应降价多少元？
解：由题意，得－8x2＋312x＋6 800＝9 600，
整理，得x2－39x＋350＝0，
解得x＝14或x＝25，
∵每次降价不超过20元，∴x＝14.
答：要使日利润为9 600元，每次应降价14元．
17．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度运动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度运动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动
到点C时，两点停止运动．设运动时间为
x s，多边形APQC的面积为y cm2.
(1)y与x之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围为________；
y＝x2－6x＋24
0≤x≤4
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(2)多边形APQC的面积能否等于14 cm2？若能，求出运动的时间；若不能，请说明理由．
解：不能，理由：令x2－6x＋24＝14，
即x2－6x＋10＝0，
因为Δ＝(－6)2－4×1×10＝－4<0，
所以该方程无实数根，
所以多边形APQC的面积不能等于14 cm2.(共26张PPT)
第26章　二次函数
26．2二次函数的图象与性质
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋k
的图象与性质
上
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2
下
2
C
返回
B
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3．将抛物线y＝2x2向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为(　　)
A．y＝2x2＋3 B．y＝2x2－3
C．y＝2(x－3)2 D．y＝2(x＋3)2
y＝－2x2
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4．把抛物线向上平移3个单位得到新抛物线y＝－2x2＋3，则原抛物线的表达式是________.
5. 抛物线y＝－x2＋1的开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______，因为a＝－1<0，所以当x________时，y随x的增大而增大；当x________时，y随x的增大而减小．当x________时，y有最________值，为________.
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下
y轴
(0，1)
＜0
＞0
＝0
大
1
6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝2x2＋1的大致图象是(　　)
A
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7．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　)
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0y2
D．若x1y2
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D
返回
－1(答案不唯一)
8. 已知关于x的二次函数y＝－x2＋c的图象不经过第一、二象限，则常数c的值可以为_______________.
2
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝ax2＋c的图象；
列表如下：
描点、连线可得图象，如图．
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(3)写出函数y＝ax2＋c的三条性质．
①函数图象的开口向下；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③当x>0时，y随x的增大而减小．(答案合理即可)
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B
11.已知二次函数y＝x2－1，当－1≤x≤2时，函数值y的取值范围是(　　)
A．－1≤y≤3　　　　　 B．－1≤y≤0
C．0≤y≤1　　　　　 　 D．0≤y≤3
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A
返回
A
12.已知y＝ax2＋k的图象上有A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)三点，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是(　　)
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
返回
3
返回
14. 将x轴向上平移3个单位，抛物线y＝2x2＋2保持不动，则在新直角坐标系下的抛物线表达式为________.
y＝2x2－1
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8
16．[2025南阳模拟]如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋6上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，则m－n＝________.
1
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17．(8分)2025太原期中已知抛物线的对称轴是y轴，且该函数的最大值是3，点(1，1)在该抛物线上．
(1)求此抛物线的函数表达式；
解：由题意可设y＝ax2＋3，
把点(1，1)的坐标代入，得1＝a＋3，
所以a＝－2，所以此抛物线的函数表达式为y＝－2x2＋3.
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(2)把此抛物线向下平移1个单位后所得的抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，在新抛物线上有点C(－2，m)，求△ABC的面积.
由题意可知，新抛物线的函数表达式为y＝－2x2＋2，
令y＝0，得x＝±1，所以A(－1，0)，B(1，0)，所以AB＝2.
18.如图，将二次函数y＝x2－4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新的函数图象(图中实线).
(1)当x＝－3时，新函数值为________，当x＝1时，新函数值为________；
(2)当x＝________时，新函数取最小值；
(3)当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是_______________；
5
3
－2或2
－22
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a>4或a＝0(共31张PPT)
第26章　二次函数
26．3实践与探索
第3课时　探索二次函数与一元二次
方程、一元二次不等式的关系
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1. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是(－6，0)和(4，0)，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是_____________.
x1＝－6，x2＝4
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B
2．如表是二次函数y＝ax2＋bx－5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋bx－5＝0的一个根所在的范围是(　　)
A．1～1.1 B．1.1～1.2 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
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3．抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的交点有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C
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4．抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为________.
2
5．[2025驻马店期中]关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为－3和1，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线________.
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x＝－1
6．[2025吉林期中]抛物线y＝2x2－4x＋m的部分图象如图所示，则一元二次方程2x2－4x＋m＝0的解是______________.
x1＝－1，x2＝3
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7．如图，二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m的图象交于A，B两点，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝kx＋m的解是________________．
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x1＝－1，x2＝3
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1
8．[2024徐州中考]在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x－2 023)(x－2 024)＋5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P，Q，则PQ＝________.
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返回
x＞3或x＜－1
－1＜x＜3
0＜x＜2
x＜0
返回
返回
C
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为2，则(　　)
A．a＞0，b2－4ac＞0　　 B．a＜0，b2－4ac＞0
C. a＞0，b2－4ac＜0　　 D．a＜0，b2－4ac＜0
13.已知函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为__________.
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－1或2或1
易错点睛：本题易忽略函数为一次函数的情况．
14. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式a(x－2)2＋b(x－2)＋c＜0的解集为____________.
x＜3或x＞5
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【点拨】由题中函数图象可知，当x＝1或x＝3时，y＝0，
所以当a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0时，x－2＝1或x－2＝3，所以a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0的解为x1＝3，x2＝5，
易得不等式a(x－2)2＋b(x－2)＋c＜0的解集为x＜3或x＞5.
15．如图为抛物线y＝ax2＋bx－3，则一元二次方程ax2＋bx＝0的根为________________.
返回
x1＝－3，x2＝0
16．(12分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(1，0)，(3，0)，顶点为(2，2)，根据图象解答下列问题：
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为____________，不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为________；
(2)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________；
x1＝1，x2＝3
x≤1或x≥3
k<2
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(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c－t＝0在1解：因为二次函数图象的顶点坐标为(2，2)，
所以设二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋2，
把点(1，0)的坐标代入，得0＝a＋2，所以a＝－2，
所以二次函数的表达式为y＝－2(x－2)2＋2，
把x＝4代入，得y＝－6，观察题中图象可知，
当1＜x＜4时，－6＜y≤2，所以t的取值范围是－617．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2x＋c与x轴交于A，B(3，0) 两点，与直线AM：y＝kx＋b交于A，M(4，5) 两点，点C为抛物线顶点.
(1)求抛物线的表达式及顶点C和点A的坐标；
(2)由图象可知不等式ax2－2x＋c>kx＋b的解集为____________；
x<－1或x>4
(3)将直线AM向下平移，在平移过程中与抛物线BC 部分图象有交点时(包含B，C端点)，请求出b 的取值范围．
设直线AM向下平移后的表达式为y＝x＋b，
当直线AM向下平移经过点B(3，0) 时，
则3＋b＝0，解得b＝－3；
当直线AM向下平移经过点C(1，－4) 时，
则1＋b＝－4，解得b＝－5.
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1．[2025陕西中考]在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(　　)
A．图象的开口向下
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于－3
D．当x＝2时，y＜0
D
2≤m<7
3．抛物线y＝－x2＋m2x和y＝x2－m2与x轴均有两个交点，每相邻两交点的距离都相等，则两条抛物线对称轴间的距离为________．
2
4．抛物线y＝x2＋2x－n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2－2x－n与x轴交于C，D两点，若AD＝2BC，n＞0，则n＝________．
8(共21张PPT)
第26章　二次函数
26．3实践与探索
第2课时　探索二次函数与利润问题
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1. 若一种服装的销售盈利y(万元)与销售数量x(万件)满足函数关系式y＝－x2＋2x＋10，则盈利的(　　)
A．最大值为9万元 B．最大值为11万元
C．最小值为9万元 D．最小值为11万元
B
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125
2．大理洱海乘船游览项目深受游客喜爱，某游船公司调研发现，当船票单价为x元时，日销量为(－2x＋500)张，则当x＝________时，日售船票总收入最大.
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3．便民商店经营一种商品，在销售中发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2x2＋80x＋758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润________元.
1 556
4．(8分)五一期间，某影城开业，影城每天运营成本为1 000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y(张)与电影票售价x(元/张)之间满足一次函数关系：y＝－4x＋220(10≤x≤50，且x是整数)，设影城每天的利润为w(元)(利润＝票房收入－运营成本)．
(1)试求w与x之间的函数关系式；
解：根据题意，得w与x之间的函数关系式为w＝(－4x＋220)x－1 000＝－4x2＋220x－1 000(10≤x≤50，且x是整数)．
解：因为w＝－4x2＋220x－1 000＝
－4(x－27.5)2＋2 025(10≤x≤50，且x是整数)，－4<0，
所以当x＝27或28时，w取得最大值，最大值为－4×0.25＋2 025＝2 024.
答：影城将电影票售价定为27元/张或28元/张时，
每天获利最大，最大利润是2 024元．
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(2)影城将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？
5. 将进货单价为30元的某种商品按零售价100元卖出时，每天能卖出20件．若该商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润决定降价x元(零售价不小于进货单价)．
(1)每件商品的利润为__________元，每日销售量为__________件；
(2)每日的利润y＝______________，其中自变量x的取值范围为____________；
(3)当每件降价________元时，可获得最大利润，最大利润是________元.
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(70－x)
(20＋x)
－x2＋50x＋1 400
0≤x≤70
25
2 025
6．(8分)色彩艳丽、小巧精美的傣族花包以独有的民族特色成为游客首选的纪念品．每个花包的成本为10元，某老板发现，当售价定为12元/个时，每天的销售量为200个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个.
(1)当每个花包的售价定为16元时，每天的销售量为________个；当每个花包的售价定为x元时，每天的销售量为____________个；
160
(－10x＋320)
(2)当花包的售价定为多少时，该老板每天获得的利润最大？最大利润是多少？
解：设该老板每天获得的利润为W元，则W＝(x－10)(－10x＋320)＝－10x2＋420x－3 200＝－10(x－21)2＋1 210，
因为－10＜0，所以当x＝21时，W取得最大值，为1 210.
答：当花包的售价定为21元/个时，该老板每天获得的利润最大，最大利润是1 210元．
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7．某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y(万元)和销售时间第x天(1≤x≤30且x为整数)之间满足二次函数关系y＝－(x－h)2＋k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第________天的销售额最大.
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16
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5
8. 某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图①所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图②所示，则________月出售这种蔬菜，每千克的收益最大.
9．(8分) [2025成都一模]2025年春节，奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，销售一款成本为20元/件的哪吒模型．经销售发现，当售价为30元/件时，日销量为100件；售价每上涨2元，日销量减少4件；售价每下降1元，日销量增加5件．设该模型的售价为x元/件(x为整数且20(1)求出y与x的函数关系式；
(2)该模型售价定为多少时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？
解：设商家获得的利润为w元，
当30因为30所以当x＝50时，w取得最大值，最大值为1 800；
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当20－5x2＋350x－5 000＝－5(x－35)2＋1 125，
因为20所以此时w随x的增大而增大，
所以当x＝30时，w取得最大值，最大值为1 000.
综上所述，当售价定为50元/件时，商家每天获得的销售利润最大，最大利润为1 800元．
10．(10分)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量)．经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外的其他成本为8元/件．
(1)该产品第一年的利润w(万元)与售价x(元/件)之间的函数关系式为_________________；
(2)该产品第一年的利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件．
①该产品第一年的售价为________元/件；
w＝－x2＋32x－252
16
②若第二年售价不高于第一年，且销售量不超过13万件，则第二年的利润最少是多少万元？
返回(共25张PPT)
第26章　二次函数
26．2二次函数的图象与性质
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第5课时　利用二次函数求最值
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1. [教材P20练习T1变式]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向下，顶点坐标为(－3，2)，那么该函数有(　　)
A．最小值－3 B．最大值－3
C．最小值2 D．最大值2
D
C
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2．二次函数y＝x2－2x＋6的最小值为(　　)
A．－1 B．1 C．5 D．－5
C
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3．已知二次函数y＝－(x＋1)2＋3，若－3≤x≤2，则该函数的最小值和最大值分别是(　　)
A．－1，3 B．0，3
C．－6，3 D．－6，－1
B
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4. [教材P20练习T2变式]为搞好环保，某公司准备修建一个长方体形状的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(　　)
A．600 m2 B．625 m2 C．650 m2 D．675 m2
5．如图，若用长10 m的铁丝借助墙AB(足够长)围成一个斜边为ED的直角三角形ECD，则所围成的△ECD的最大面积为(　　)
A．5.5 m2 B．7.5 m2
C．10.5 m2 D．12.5 m2
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D
6．如图是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为(　　)
A．1 B．1.5
C．2 D．4
C
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7．(8分)2025洛阳月考手工课上，小明准备做一个轴对称的四边形风筝，如图，这个风筝关于AC所在直线对称，它的两条对角线长度之和为100 cm，风筝的面积为S cm2，对角线BD＝2x cm.
(1)S与x的函数关系式为_______________；(不要求写出自变量x的取值范围)
S＝－2x2＋100x
(2)当x是多少时，风筝的面积最大？最大面积是多少？
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3.75
8. 加工爆米花时，爆开且不煳粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(min)满足函数关系式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为________min.
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9．[教材P20练习T3]变式若两个负数的和为－50，则这两个负数积的最大值为________.
625
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10．[2025厦门期中]已知某烟花弹的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数关系式为h＝－2 t2＋16t＋2，且该烟花每隔1.6 s发射一枚花弹，当第一枚花弹在最高点时，第二枚花弹的飞行高度为________m.
28.88
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B
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D
12.当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为(　　)
A．－1 B．2
C．0或2 D．－1或2
13．[教材P19例5变式]有一个铝合金窗户形状如图所示，上部分是由两个正方形组成的矩形，下部分也是一个矩形．若做该窗户共用铝合金材料6 m，则窗户透光的最大面积为________．(铝合金宽度不计)
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14．[2025太原期中]如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是BC边上的动点，连结AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F.在点E运动的过程中，CF的最大值为________.
(1)若以28 m/s的速度行驶进行刹车测试，此时s与t之间的关系式为____________．
s＝－4t2＋28t
(2)在(1)的条件下，若此时的刹车距离在48 m到52 m的范围为合格，请计算说明此款新型汽车刹车距离是否合格？
(3)测试员驾驶该款汽车以16 m/s的速度在公路上行驶，在发现汽车正前方26 m处有一障碍物后立刻刹车，试计算在汽车刹车过程中，经过多长时间汽车与障碍物相距14 m.
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(1)①用含x的式子表示DE的长为__________m，x的取值范围是________；
②当菜园面积为90m2时，求出此时x的值；
5≤x<11
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(2)求菜园面积的最大值．(共24张PPT)
第26章　二次函数
26．2二次函数的图象与性质
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k
的图象与性质
左
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3
下
2
B
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2．将抛物线y＝－x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为(　　)
A．y＝－(x＋2)2＋1　 B．y＝－(x－2)2＋1
C．y＝－(x＋2)2－1　 D．y＝－(x－2)2－1
y＝3(x＋1)2－1
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3．已知抛物线y＝3x2，将x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为_____________.
下
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4. 抛物线y＝－(x－2)2＋1的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________，因为a＝－1<0，所以当x______时，y随x的增大而增大；当x________时，y随x的增大而减小．当x________时，y有最________值，为________.
直线x＝2
(2，1)
＜2
＞2
＝2
大
1
5．函数y＝(x＋1)2－2的大致图象是(　　)
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C
6．[教材P16练习T3变式]关于二次函数y＝2(x－3)2＋2，下列叙述正确的是(　　)
A．其图象开口向下
B．y有最大值，为2
C．当x>3时，y随x的增大而减小
D．其图象的对称轴为直线x＝3
D
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7．若二次函数y＝(x－1)2－1的图象如图所示，则坐标原点是(　　)
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
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A
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1
8．若二次函数y＝(x－h)2＋k的图象经过点(－3，0)和(5，0)，则h的值为________.
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y1>y2
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10．[教材P16练习T4变式]为举办中国国际花炮文化节，某烟花厂制作了一种花炮，其升空高度h(m)与飞行时间t(s)之间的关系式是h＝－5t2＋30t，该花炮升空到最高点时引爆，则从发射到引爆需要的时间为________s.
3
2
－1
(2)设原函数图象与y轴的交点为P，求点P的坐标；
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(3)当1≤x≤5时，求原函数y的取值范围.
返回
C
返回
C
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14．抛物线y＝(x－3)2向下平移2个单位，再向左平移________个单位后经过点(－1，2).
2或6
15.已知二次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为_________________.
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－1＜x≤0或2≤x＜3
16. [2025吉林模拟]如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，过点A，B的抛物线y＝a(x－2)2＋c的顶点为E，若△ABE为等腰直角三角形，则a＝________.
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17．(8分)[2025新乡期末]在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝(x－h)2－1.
(1)当x≤1时，y随着x的增大而减小，则h的最小值为________；
1
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解：当抛物线y＝(x－h)2－1经过点A(3，0)时，
易得h＝2或h＝4，
当抛物线y＝(x－h)2－1经过点B(5，0)时，易得h＝6或h＝4.
当h＝4时，抛物线y＝(x－h)2－1同时经过点A和点B，
不合题意，∴h≠4，则h的取值范围是2≤h≤6且h≠4.
18．(8分) 如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，并且抛物线C2的顶点也在抛物线C1上，那么我们称抛物线C1与C2关联．
关联
返回(共20张PPT)
第26章　二次函数
26．3实践与探索
第1课时　探索抛物线形问题
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1. 如图，已知实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－(x－1)2＋4，则该同学此次投掷实心球的成绩是(　　)
A．2 m　　 B．3 m
C．3.5 m　　 D．4 m
B
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2
2．如图，以一定速度将小球按一定角度击出，小球的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间为________s.
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3．[2025大同期中]如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1 m处
达到最高点C，点C的高度为3 m，水柱
落地点D离池中心A处3 m，则水管AB
的长为________m.
2.25
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B
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16
6．[2025吉林期末]某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门，现把该拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN.若抛物线形拱门的跨度ON＝12 m，
拱高PE＝4 m，则抛物线的函数
表达式为______________.
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7．(8分)[教材P28上方练习变式]如图，隧道截面由抛物线和长方形构成，长方形长16 m，宽6 m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7 m，宽为4 m，如果该隧道内设双向行车道，请计算说明这辆货车能否安全通过.
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解：根据题意，把x＝±4代入抛物线表达式，得y＝7.5.
因为7.5 m>7 m，所以这辆货车能安全通过．
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9．花园点O处竖直安装一水管，其喷头上下移动，喷出的抛物线形水柱也随之平移，水柱落点与点O在同一水平面．喷头在不同高度时，水柱落点
与O点的距离如图所示，则水柱落
点距O点2 m时，喷头高________m.
10．(8分)如图①所示的藉车是中国古代一种远程火攻武器，将藉车置于山坡底部O处，建立平面直角坐标系如图②所示，物体从藉车竖直方向上的点C处被抛出，OC＝
5 m，其飞行路线可看作抛
物线的一部分，当其飞行
的水平距离为50 m时，达
到最大高度25 m.
(1)抛物线的表达式为___________________；
(2)在斜坡(坡比i＝1∶6.25)上的点A处建有防御工事M，其最高点B与O点的水平距离为45 m，与斜坡的竖直距离AB＝16 m，试说明抛出物能否飞越防御工事M.
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11．(8分)2025西安一模如图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6 m的E处，测得桥面到拱桥的距离EF为
1.5 m，以拱桥顶点O为原点，桥面
为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求拱桥顶部O离水面的距离；
(2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1 m.
①求出其中一条钢缆所在抛物线的表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和拱桥之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．
返回(共29张PPT)
第26章　二次函数
26．2二次函数的图象与性质
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第2课时　二次函数y＝a(x－h)2
的图象与性质
y＝(x＋1)2
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1. 将抛物线y＝x2向左平移1个单位得到的抛物线的表达式为________；将抛物线y＝x2向右平移1个单位得到的抛物线的表达式为________，简称为“左______右______”.
y＝(x－1)2
加
减
D
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2．关于抛物线y＝－5(x＋4)2与y＝－5x2，下面说法正确的是(　　)
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相反 D．顶点都在x轴上
3
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3．将抛物线y＝－3(x＋a)2向右平移3个单位，得到抛物线y＝－3x2，则a＝________.
C
返回
D
5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是(　　)
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6．抛物线y＝2(x＋1)2不经过的象限是(　　)
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
C
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7．对于二次函数y＝－(x－1)2，说法错误的是(　　)
A．图象的开口向下
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．图象的顶点坐标为(1，0)
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
返回
D
返回
B
8．若点A(－2，y1)与点B(－3，y2)都在抛物线y＝(x＋1)2上，则y1和y2的大小关系是(　　)
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．不能确定
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9．已知二次函数y＝a(x－1)2，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是__________.
a＜0
返回
10．已知二次函数y＝3(x－a)2，当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_____________．
a≤3
(1)该函数图象的开口向________，顶点坐标为________，对称轴为________；
上
(3，0)
直线x＝3
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(3)根据图象说明：①当x取何值时，y随x的增大而减小？②当x取何值时，y有最大(小)值？最大(小)值是多少？
【解】①当x<3时，y随x的增大而减小．②当x＝3时，y有最小值，最小值为0.
返回
D
12．若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是(　　)
A．(m，n＋1) B．(m＋1，n)
C．(m，n－1) D．(m－1，n)
13．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋h与二次函数y＝a(x－h)2的图象不可能是(　　)
返回
C
返回
C
15.已知抛物线y＝－(x－h)2，当自变量x的值满足3≤x≤7时，与其对应的函数的最大值是－1，则h的值为________.
返回
8或2
4
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(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点B(2，－2)在这个函数图象上吗？若不在，请通过左右平移该函数图象，使它过点B，并写出平移方案.
返回
(1) 写出该抛物线的对称轴及点A，B的坐标；
(2)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
返回(共32张PPT)
第26章　二次函数
26．2二次函数的图象与性质
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象与性质
B
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1. 用配方法将二次函数y＝x2－2x－2化为y＝a(x－h)2＋k的形式为(　　)
A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－1)2－3
C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x－2)2－3
返回
A
返回
3. 抛物线y＝x2＋2x－3的顶点坐标为(　　)
A．(－1，－4)　　 B．(－1，－3)
C．(1，－4)　　　 D．(1，－3)
D
返回
4．关于二次函数y＝－2x2－4x－2，下列说法正确的是(　　)
A．其图象开口向上
B．其图象的对称轴是直线x＝1
C．其图象的最低点的坐标是(－1，0)
D．当x<－1时，y随x的增大而增大
5．[教材P33复习题T10变式]二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
当x＝2时，对应的函数值为(　　)
A．0　　 B．－8　　　 C．－9　　　 D．－5
返回
x … －3 －2 0 1 3 5 …
y … 7 0 －8 －9 －5 7 …
B
6．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a＜0，b＜0，c＜0，此函数的大致图象是(　　)
C
返回
返回
－2
返回
x＝－1
8．抛物线y＝－ax2－2ax＋4的对称轴为直线________.
返回
9．[2025厦门期中抛物线]y＝x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c的值为________.
16
10．(12分)[2025南阳期末]已知抛物线y＝x2－4x＋3.
(1)求该抛物线的顶点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线；
解：y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－4＋3＝(x－2)2－1，
所以该抛物线的顶点坐标为(2，－1)，
画出该抛物线如图所示．
y1＞y2
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(3)当0≤x≤a时，y的最大值为15，求a的值．
解：易知抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，
所以当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，由图象可知，当x＝0时，y＝3，
所以当0≤x≤a时，在对称轴右侧，y才能取得最大值15，
即当x＝a时，y＝15，所以a2－4a＋3＝15，
解得a＝6或a＝－2(舍去)，故a的值为6.
11．[2025成都期末]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，则下列结论中错误的是(　　)
A．abc>0　　　　　
B．b＝－2a
C．c＞－1　　　　　
D．a－b＋c＜0
返回
D
返回
D
13.已知二次函数y＝x2＋(a－1)x－a＋2，当x＜－1时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是________.
返回
a≤3
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋4上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为________.
3
返回
【点拨】因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝BD.
因为y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，所以抛物线的顶点坐标为(1，3)．易知当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为3，所以对角线BD的最小值为3.
(1)b＝________，c＝________；
4
－6
(2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)设对称轴与x轴交于点C，则S△ABC＝________；
6
(4)若点D为抛物线与x轴的另一个交点，M为抛物线上一点，且△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，请求出点M的坐标．
返回
1
0
(3)若对于－2又因为a>0，所以0②若a<0，则二次函数图象开口向下，
若对于－2＜b＜－1，都有y1＜y2，
则易得1＋a≤－2或1＋a≥4，
解得a≤－3或a≥3，又因为a<0，所以a≤－3.
综上所述，a的取值范围为0返回
1．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，则该抛物线的顶点坐标为________．
(1，4)
2．如图，菱形ABCD的三个顶点在抛物线y＝ax2＋2ax＋2上，点A，B分别是抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为________．
＜
4．已知抛物线y＝a(x＋1)2＋4与x轴的两交点的距离为6，则a的值为________．
5．如图，两条抛物线的顶点P，Q在x轴上，平行于x轴的直线与抛物线交于点A，B，C，D, AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ＝________.
8

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