资源简介

一、等差数列
1．等差数列的概念
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，a1为首项，d为公差．
(2)前n项和公式Sn＝或Sn＝na1＋n(n－1)d.
(3)等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．
(4)判断一个数列是等差数列的方法
①定义法判定等差数列：an＋1－an＝d（n∈N*，d是常数） {an}是等差数列．
②通项公式an＝an＋b {an}是等差数列．
③前n项和公式Sn＝an2＋bn {an}是等差数列．
④用中项法判断等差数列：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列．
2．等差数列的常用性质
(1)若数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}，{pan}（p是常数）都是等差数列．
(2)在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等差数列，公差为kd.
(3)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*).
(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(5)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则{}是等差数列；Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列．
(6)Sn最值的求值：①若已知Sn，可用二次函数配方法求最值(n∈N*)；②若已知an，求Sn取最值时n的值(n∈N*)可按如下方法确定或
二、等比数列
1．等比数列的概念
(1)等比数列的通项公式：an＝a1qn-1，a1为首项，q为公比．
(2)等比数列的前n项和公式Sn＝Sn＝
(3)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝ab.
2．等比数列的常用性质
(1)若数列{an}是等比数列，则数列{pan}和{}（p≠0是常数）都是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)an＝amqn－m(n，m∈N*).
(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq.
(5)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．
三、数列通项的求法与求和公式
1．数列通项的求法
(1)公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
(2)已知Sn，求an用作差法：an＝
(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，求an用作商法：an＝
(4)若an＋1－an＝f(n)，求an用累加法．
(5)已知＝f(n)，求an用累乘法．
(6)已知数列递推式求an，用构造法（构造等差或等比数列）.
①构造法：形如an＋1＝pan＋q的递推式，设an＋1＋k＝p(an＋k)（其中k可用待定系数法确定），可转化为{an＋k}为等比数列求解．
形如an＋2＝pan＋1＋qan的递推式，设an＋2－kan＋1＝h(an＋1－kan)，比较系数得h＋k＝p，－hk＝q，可解得h，k，于是{an＋1－kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an＋1＝pan＋q型．
形如an＋1＝pan＋f(n)的递推式，两边同时除以pn+1可得到＝＋，令＝bn，则bn＋1＝bn＋，求出bn之后得an＝pnbn.
②取倒数法：形如an－1－an＝pan－1an（p为常数且p≠0）的递推式，两边同除以an－1an，得－＝p，求出的表达式，再求an.
形如an＋1＝的递推式，采用取倒数方法转化成＝·＋形式，化归为an＋1＝pan＋q型求出的表达式，再求an.
2．数列求和的方法
(1)公式法：利用等差数列求和公式和等比数列求和公式.
(2)分组求和法：某些数列通过适当分组，可以得到两个或多个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得到该数列的和．例如：若{an}是等差数列，前n项和为Sn；{bn}是等比数列，前n项和为Tn，则{an＋bn}的前n项和的求法用分组求和法为Sn＋Tn.
(3)倒序相加法：倒序相加法是将数列的各项顺序倒写，然后求和的方法．若数列{an}中满足ap＋an－p＝常数，则用倒序相加法求和．
(4)错位相减法：若{an}是等差数列，公差为d；{bn}是等比数列，公比为q，则{an·bn}的前n项和的求法用错位相减法，如{(2n－1)}．
具体做法为：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.
qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbnq，
两式相减，得
(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbnq
＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbnq
＝a1b1＋d－anbnq.
故Sn＝＋.
(5)裂项相消法
①常见裂项公式
＝－；
＝（－）；
＝[－]；
＝－.
②常见放缩公式
2（－）＝<<＝2（－）.

展开更多......

收起↑