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(共37张PPT)
第五章　圆
测素质 直线和圆的位置关系
一、选择题(每题5分，共35分)
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，若以点C为圆心，13为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
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【答案】C
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A
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3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径是(　　)
A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.6
B
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4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO＝35°，则∠C的度数等于(　　)
A．35°
B．40°
C．55°
D．65°
C
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为(　　)
A．25°
B．30°
C．45°
D．50°
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【点拨】∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∴∠CAP＝90°，PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.
∵∠BAC＝15°，∴∠PAB＝∠CAP－∠BAC＝75°，
∴∠PBA＝75°，∴∠P＝180°－75°－75°＝30°. 故选B.
【答案】B
6．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为(　　)
A．9 B．7
C．11 D．8
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【点拨】如图，设AB，AC，BC与⊙O的
切点分别是F，G，H，DE切⊙O于K，
则DH＝DK，EG＝EK，BF＝BH，AF＝
AG，∴C△CDE＝CE＋EK＋DK＋CD＝
CG＋CH＝AC＋BC－(AG＋BH)＝AC＋BC－AB.∵AC＝10，AB＝8，BC＝9，∴C△CDE＝10＋9－8＝11.
【答案】C
【点拨】设⊙I与AC相切于E，与AB相切于D.∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，其内切圆的圆心坐标为I(0，1)，∴易得CE＝OC＝OI＝1，OB＝BD，AE＝AD，
∴AB＝AD＋BD＝AE＋OB.
设AE＝x，OB＝y，则AC＝x＋1，BC＝y＋1，AB＝x＋y.
∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2(x＋1)，
∴2(x＋1)＝x＋y，化简得y＝x＋2①.
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【答案】B
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二、填空题(每题5分，共25分)
8．已知⊙O的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2，则d可取_______________.
2.5(答案不唯一)
9．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD，则∠ACD的度数为________．
30°
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11．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C．P是劣弧BC上任意一点(不与B，C重合)，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N，
若AO＝8，BO＝6，则△AMN的周长是
____________，若∠BAC＝40°，
则∠BPC＝________．
110°
【点拨】如图，连接OC.
∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，MN与⊙O相切于点P，∴AB＝AC，OB⊥AB，OC⊥AC，MB＝MP，NC＝NP.
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12．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为________．
【点拨】如图，设AB和BC与⊙O的切点分别为E，F，连接OA，OE，OB，OF，则OE⊥AB，OF⊥BC.
∵OE＝OF，
∴易知BO平分∠ABC.
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°.
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三、解答题(共40分)
13．(12分)如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
(1)若AB＝6，AC＝4，BC＝8，求CE的长；
【解】由切线长定理可知AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设CE＝CD＝x，则BF＝BD＝8－x，AF＝AE＝4－x.
根据题意得8－x＋4－x＝6，解得x＝3.
∴CE＝3.
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(2)若∠A＝70°，求∠BOC的度数．
14．(12分)如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接AC，BC．
(1)求证：CF＝EF；
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15．(16分)如图①，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．
(1)求证：AB与⊙O相切；
【证明】如图①，
连接OE，过点O作OG⊥AB于点G.
∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD.
∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°.∴OE＝OG.
∴OG为⊙O的半径，∴AB与⊙O相切.
【解】如图②，连接FN，ON，设CM＝k.
∵CM∶FM＝1∶4，∴CF＝5k，
∴OC＝ON＝2.5k，∴OM＝OC－CM＝1.5k，
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第五章　圆
测素质 圆与圆的基本性质
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一、选择题(每题3分，共30分)
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为(　　)
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
B
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2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝(　　)
A．72°
B．62°
C．52°
D．28°
B
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3．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OB，OC，若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为(　　)
A．95°
B．100°
C．105°
D．130°
B
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4．下列说法正确的是(　　)
A．半圆或直径所对的圆周角是直角
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的弦所对的弧相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
A
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B
【点拨】过点O作OD⊥BC于点D，连接OB，OC，易知BC＝2＝OD，BD＝CD＝1.
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠BOC＝2∠BOD＝2∠COD.
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠BOD，
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【答案】B
【点拨】延长AB，DC交于点E，如图所示．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝90°，∠ADC＝90°.
∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝180°－120°＝60°，
∠E＝120°－90°＝30°.
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【答案】D
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【答案】A
【答案】C
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【答案】D
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二、填空题(每题5分，共20分)
11．已知⊙O中最长的弦是12 cm，弦AB＝6 cm，则∠AOB＝________．
60°
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12．已知⊙O的面积是16π，点P到圆心O的距离d为方程 x2－4x－5＝0的一个根，则点P与⊙O的位置关系为______________．
点P在⊙O外
13．等腰三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为10 cm，△ABC的底边长为12 cm，则这个等腰三角形的腰长AB＝______________cm．
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14．[2025北京西城区月考]如图，在矩形ABCD中， AB＝4，BC＝2，P 是矩形上方一个动点，且满足∠APB＝90°，连接DP，则DP的最大值是________．
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(2)连接OC，求OC的长．
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(1)求∠DAB的度数；
【解】连接BD.
∵∠ACD＝30°，∠B＝∠ACD，∴∠B＝30°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠DAB＝90°－∠B＝60°.
(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F，若AB＝4，求DF的长．
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(1)求证：△ACD∽△ECB；
(2)若AC＝3，BC＝1，求CE的长．
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18．(14分)2025枣庄模拟如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE＞BE)，连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE．
(2)如图②，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．
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【证明】如图②，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK.
∵BD＝2OE，∴OE＝BK.
∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB，
∴Rt△OEC≌Rt△BKO(HL)，
∴∠COE＝∠OBK，∴BD∥OC.(共38张PPT)
第五章　圆
测素质 与圆有关的计算
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一、选择题(每题5分，共30分)
1．已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的面积是(　　)
A．15π B．10π
C．5π D．2.5π
A
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2．如图，正五边形ABCEF内接于⊙O，点D在⊙O上，则∠D的度数为(　　)
A．45°
B．50°
C．60°
D．72°
D
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【答案】C
4．我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为(　　)
A．18° B．30°
C．36° D．54°
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【答案】B
【点拨】连接BO1，BO2，设AB与O1O2相交于点H，如图.
∵⊙O1和⊙O2是等圆，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，
∴BO1＝BO2＝O1O2.
∴△BO2O1是等边三角形．
∴∠BO2O1＝60°.易知△AHO1≌△BHO2.
∴S△AHO1＝S△BHO2.
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【答案】D
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6．如图，半径为5的半圆形的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆形沿直线b进行无滑动滚动，使半圆形的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长等于(　　)
A．5π B．2.5π
C．5＋2.5π 　 D．10
A
二、填空题(每题6分，共24分)
7．神舟二十号载人飞船飞行任务是中国空间站应用与发展阶段的第5次载人飞行任务，也是载人航天工程第35次飞行任务，神舟二十号飞船进行了多项技术创新．
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8．[2025泰安模拟]如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO＝∠ACO＝15°，BC＝6，若扇形BOC(图中阴影部分)正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为________.
【点拨】如图，连接OA.
∵OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA.
∵∠ABO＝∠ACO＝15°，
∴∠OAB＝∠OAC＝15°.
∴∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝30°.
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°.
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【点拨】如图，设⊙O与AB相交于点E，连接OE，过点O作OF⊥AB于点F.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝60°.
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10．如图①的螺丝钉由头部(看作正六棱柱)和螺纹(看作圆柱)组合而成，其俯视图如图②所示．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交CD于点P，量得PC的长为1 mm，正六边形ABCDEF的边长为4 mm．
(1)AP的长为__________mm；
7
【点拨】如图，设O为圆心，连接OA，OB，AC，则OB⊥AC，AC⊥CD.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°.
(2)Q为圆上一点，则AQ的最小值为________mm．
【点拨】如图，连接OP，由题意得AP
为⊙O的切线，设切点为H，连接OH，
则OH⊥AP，连接OD，DQ，设圆的
半径为R mm，则OH＝R mm.
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三、解答题(共46分)
11．(12分)如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接DG．
(1)求证：DG∥AB；
(2)DG的长为________．
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(1)当⊙O的半径为2时，求这个扇形(阴影部分)的面积(结果保留π)．
(2)当⊙O的半径为R(R>0)时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面，与阴影部分扇形围成一个圆锥？请说明理由．
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13．(18分)如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底截线，弦CD是水位线，连接OD，CD∥AB，AB＝20 m，OE⊥CD于点E．
5 m
(2)当水位的高度比(1)中上升1 m时，有一艘宽(MQ)为10 m，船舱顶部高出水面2 m(MN＝2 m)的货船要经过桥洞(船舱截面为矩形MNPQ)，请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞．
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