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第二十八章　锐角三角函数
28．2.2 应用举例
第2课时　方向角、坡度问题
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A
1.
如图，小宇为了测量某河流的宽度，他在河岸边相距200米的P，Q两点分别测量对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽(PT的长)为(　　)
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2.
137
[教材P77练习T1变式]如图，小晨为了测量宿舍楼与食堂的距离，在宿舍楼A处测得食堂B位于北偏东60°方向，他向南走50 m到达D点，测得食堂B位于北偏东45°方向，则宿舍楼与食堂之间的距离AB约为________m．
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3.
14
如图，点A在点B北偏东30°方向上，且A，B之间的距离为100 m，已知点C在点B的西北方向，在点A的正西方向，则点A，B到点C的距离差约为________m．
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4.
D
如图，小宇徒步拉练时来到了坡度i＝1∶2.4的山坡下，小宇沿着该山坡前进了130米(即AP＝130米)，则小宇现在所在的位置相对于前进前升高了(　　)
A．120米
B．100米
C．80米
D．50米
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5.
31
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝4 m，
AF＝DE＝6 m，斜面坡度i＝1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平面宽度BF的比，斜面坡度i＝1∶3是指DE与CE的比，则BC的长为________m.
6.
(4分)如图，小宇在徒步拉练时行走的山坡AB(坡度i＝1∶2.4)上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC为13米，在距点A的水平距离为4米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD所在直线与山坡AB的剖面，点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，求古树CD的高度．
(结果保留整数，参考数据：sin 48°≈0.74，
cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11)
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7.
[2025扬州中考改编]如图①，棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7 cm.将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其从正面看到的图形如图②所示，则tan α＝________.
8.
(8分) 随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题．某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库．如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡AB的坡角为20°，水平线AC＝12 m，CD⊥AC，CD＝1.5 m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入．请求出限制高度为多少米．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36)
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9.
(8分)[2024重庆中考]如图，A，B，C，D分别是某公园的四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．
解：如图，过点B作BE⊥AC于点E.
由题意，得∠CAB＝90°－30°＝60°，
∠ABC＝90°－15°＝75°，
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝45°.
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝2千米，
(1)求BC的长度(结果精确到0.1千米)；
解：如图，过点C作CF⊥AD于点F.
在Rt△ABE中，
AE＝AB·cos∠BAE＝2×cos 60°＝1(千米)，
∵在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，∠BCE＝45°，
(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为D－C－B，乙选择的路线为D－A－B.请计算说明谁选择的路线较近.
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第二十八章　锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
第3课时　特殊角的三角函数值
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C
1.
tan 30°的值为(　　)
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2.
B
若锐角α＝30°，则cos α的值是(　　)
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3.
C
如图是一块三角尺ABC，其中∠B＝30°，∠C＝90°，则sin A的值为(　　)
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4.
A
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5.
(12分)计算：
(1)tan 45° cos 45°－cos 30° sin 45°；

(2)sin230°＋sin260°＋1－tan 60°；
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6.
A
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7.
30°
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8.
9.
(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD边上取一点E，使AE＝AB，求∠DAE的度数.
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10.
B
用科学计算器求cos 9°7′的值，下列按键顺序正确的是(　　)
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11.
D
已知sin A＝0.981 6，运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)，按下的第一个键是(　　)
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12.
C
计算：sin 20°－cos 20°的值约为(精确到0.000 1)(　　)
A．－0.597 6
B．0.597 6
C．－0.597 7
D．0.597 7
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13.
54°12′
已知tan A＝1.386 4，则锐角A≈________(精确到1′).
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14.
B
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15.
等腰直角
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16.
如图，一束平行于主光轴的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝150°，∠2＝30°，则∠3的余弦值为________.
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17.
18.
(8分) 【阅读与探究】
小宇学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，求tan 22.5°的值．小宇通过查找资料，获得了以下解题思路．请仔细阅读，并完成探究．
思路：先画出Rt△ABC(如图①)，22.5°虽然不是特殊角，但22.5°是45°的一半，于是在CB上截取CD＝CA，再连接AD，构造出等腰三角形ABD(如图②)．
(1)【实践应用】按照上面的解题思路，得到tan 22.5°的值为________；
(2)【尝试应用】如图③，仿照上述方法，求tan 15°的值.
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第二十八章　锐角三角函数
28．2.2 应用举例
第1课时　仰角、俯角问题
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1.8
1.
[2025眉山中考]人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB，AC的长都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度约是________m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)
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2.
C
桔槔俗称“吊杆”“称杆”，是我国古代农用工具，桔槔示意图如图所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝130°.此时，点A到地面的距离为(　　)
A．7米 B．5米
C．(3＋4sin 40°)米
3.
(8分)如图，旗杆AB部分用AC，AD两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，AB⊥CD，
BC＝2 m，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°.
(1)求旗杆AB部分的长；
(2)求钢丝的总长度．(结果保留根号)
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4.
C
如图，AC，BD表示两栋楼房，则下列说法正确的是(　　)
A．两楼之间的距离是AD
B．从点C看点D的仰角是∠ADC
C．从点A看点D的仰角是∠DAB
D．从点D看点A的俯角是∠ADB
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5.
490
如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为 500 m，从点A观测点P的仰角为α，cos α＝0.98，则A处到B处的距离为________m.
6.
(4分)[2025成都中考]在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60 m到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离．
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7.
A
如图，在小山的东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以20 m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，15 min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A，B两点间的距离为(　　)
8.
(8分) 图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，图②为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为160 cm.人笔直站在离摄像头水平距离100 cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过多少厘米？(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)
解：如图，过点B作BC⊥AF，垂足为C，延长BC交AD于点E，
易得∠AOB＝∠OBC＝∠ACB＝90°，
∴四边形AOBC是矩形，
∴BC＝OA＝160 cm，AC＝OB＝100 cm，
在Rt△ACE中，∠EAC＝15°，
∴EC＝AC·tan 15°≈100×0.27＝27(cm)，
∴EB＝EC＋CB≈27＋160＝187(cm)，
∴若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过187 cm.
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9.
(8分) 某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
【自制测角仪】
利用量角器制作的测角仪如图①，其中目标P的仰角为∠POC.
(1)【实地测量】
如图②，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH.
(2)【拓展探究】
如图③，公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH，同学们在水平地面上选取观测点E，F(E，F，H在同一直线上)，分别测得点P的仰角为α，β，再测得E，F间的距离为m米，点O1，O2到地面的距离O1E，O2F均为1.5米，求PH(用含α，β，m的式子表示).
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第二十八章　锐角三角函数
28．2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
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B
1.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，欲求∠A的度数，最适宜的做法是(　　)
A．根据tan A的值求出∠A
B．根据sin A的值求出∠A
C．根据cos A的值求出∠A
D．根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出∠A
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2.
C
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3.
30°
10
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4.
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5.
B
[2025邢台期末]在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若b＝c◆，则“◆”表示(　　)
A．sin A
B．sin B
C．cos B
D．tan A
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6.
B
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7.
A
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8.
D
如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢(　　)
9.
(8分)(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC ＝3，∠B＝45°，求AB和AC的长；
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10.
B
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11.
D
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12.
长为6 m的梯子搭在墙上与地面成30°角，若调整为45°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了___________m．(结果保留根号)
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13.
2或14
14.
(2)求cos ∠MNO的值.
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15.
(2)求sin ∠CDB的值.
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16.
(8分)【探究】如图①，在△ABC中，∠A＝α(0°＜α＜90°)，AB＝c，AC＝b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积；
【应用】如图②，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠DOC＝α，若AC＝a，BD＝b，试用含a，b，α的式子表示 ABCD的面积.
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第二十八章　锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
第2课时　余弦、正切
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B
1.
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2.
B
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cos B的值是(　　)
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3.
4
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4.
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5.
C
在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A的值是(　　)
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6.
A
如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝6，则tan∠1的值是(　　)
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7.
[2025承德期末]如图，AD是△ABC的高．若BD＝4，CD＝2，tan C＝2，则边AB的长为________.
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8.
(4分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝12，AC＝9，求tan B，tan C的值.
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9.
B
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为边AB上一点，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则下列结论中正确的是(　　)
10.
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11.
D
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos A的值，错误的是(　　)
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12.
D
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13.
14.
(2)若BD＝2CD，求sin B的值.
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第二十八章　锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
第1课时　正弦
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B
1.
[2025广西中考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，
AC＝3，则sin B＝(　　)
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2.
A
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则sin C的值为(　　)
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3.
A
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AC＝3，则∠A的正弦值为(　　)
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4.
如图，已知∠B的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，其顶点B的坐标为(－1，0)，则sin B的值是________.
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5.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是______.
6.
(4分)[教材P64练习T1变式]分别求出图①、图②中∠A，∠B的正弦值.
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7.
(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，求sin A和sin B的值.
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8.
12
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9.
6
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10.
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11.
C
如果将Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的3倍，那么锐角∠A的正弦值(　　)
A．扩大到原来的3倍
B．扩大到原来的6倍
C．没有变化
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12.
D
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13.
D
如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为(　　)
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14.
四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则sin α的值为________.
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15.
16.
(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边上一点，若∠ADC＝45°，BD＝2DC.
(1)求sin∠ABC的值；
(2)求sin∠BAD的值.
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17.
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，延长EA′，若EA′的延长线恰好过点C，则sin ∠ABE的值为________.

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