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第2课时　二次根式的性质
第十五章　15.1　二次根式
冀教版（2024）数学八年级上册
1.经历探究二次根式的性质的过程.(重点)
2.了解最简二次根式的概念.(重点)
3.会利用二次根式的性质，把二次根式化成最简二次根式.(难点)
学习目标
课堂引入
对于二次根式，有
(1)(a≥0)是一个非负数；(2)()2=a(a≥0)；(3)=a(a≥0).
一、积的算术平方根
问题1　(1)与是否相等？
提示　相等，
因为==6，=2×3=6，
所以=.
(2)与呢？
提示　相等.
因为==35，=5×7=35，
所以=.
(3)当a≥0，b≥0时，对和·的关系提出你的猜想，并说明理由.
提示　=·，
因为当a≥0，b≥0时，
()2=a·b，(·)2=()2·()2=a·b，
所以=·.
知识梳理
积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的 ，即=_______ (a≥0，b≥0).
积
·
例1
　　(课本P104例2)化简：(1)；
解　===3.
(2).
解　===5.
反思感悟
当被开方数是一个数或几个因数(或因式)积的形式时，把数(或因式)中能写成平方形式的写成平方形式，再开平方即可.当被开方数是和(或差)的形式时，要把被开方数写成一个数或分解因式，再化简.
跟踪训练1
　　 　(1)若=·成立，则
A.a≥0，b≥0 B.a≥0，b≤0
C.ab≥0 D.ab≤1
√
(2)下列各式正确的是
A.=
B.=
C.=
D.=
√
解析　中被开方数为负数，无意义，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误.
(3)化简下列各式：
①；
解　===4.
②；
解　====13.
③；
解　===11×6=66.
④.
解　===5×3=15.
二、商的算术平方根
问题2　(1)与是否相等？
提示　相等，
因为==，
所以=.
(2)与呢？
提示　相等，
因为==，
所以=.
(3)当a≥0，b>0时，对和的关系提出你的猜想，并说明理由.
提示　=，理由如下：
因为当a≥0，b>0时，
===，
所以=.
知识梳理
商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的 ，即=(a≥0，b 0).
注意点：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，可以确定a≥0，b≥0.又由于分数的分母不等于0，故有b≠0，所以有a≥0，b>0.
商
>
例2
　　(课本P104例3)化简：(1)；
解　====.
(2)；
解　====.
(3).
解　=====.
反思感悟
(1)当分母不是平方数时，要给分母凑成最小的平方数；
(2)当被开方数是小数时，先将小数化为分数.
跟踪训练2
　　 　(1)(2025·唐山三模)化简的结果为
A. B. C. D.
√
解析　==.
(2)化简：①；
解　===.
②；
解　===.
③.
解　====.
三、最简二次根式
知识梳理
最简二次根式：(1)被开方数的因数是 ，因式是 ；
(2)被开方数中不含 的因数或因式.
注意点：二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.
简记：根号下不含分母、不含小数、不含平方.
整数
整式
能开得尽方
例3
　　下列二次根式是最简二次根式的是
A. B. C. D.
√
解析　=，故A不符合题意；
=，故B不符合题意；
=2，故C不符合题意；
是最简二次根式，故D符合题意.
反思感悟
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；③若被开方数是和(或差)的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判定，若无法写成积(或一个数)的形式，则为最简二次根式.
跟踪训练3
　　 　 (1)下列二次根式中是最简二次根式的是
A. B. C. D.
√
解析　是最简二次根式，故A选项正确；
=3不是最简二次根式，故B选项错误；
=3不是最简二次根式，故C选项错误；
=2不是最简二次根式，故D选项错误.
(2)把下列二次根式化成最简二次根式：
①；
解　==.
②；
解　==.
③.
解　==.
1.在下列根式：4中，最简二次根式有
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
√
2.若=·，则x的取值范围是
A.x≥-3 B.x≥2
C.x>-3 D.x>2
√
3.化简所得结果是
A.3 B. C.3 D.±3
√
解析　===3.
4.若二次根式是最简二次根式，则a的最小正整数值是　　.
2
5.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简.
(1)；
解　=3，含有能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式.
(2)；
解　=，被开方数中含有分母，因此不是最简二次根式.
(3)；
解　的被开方数为整数，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此是最简二次根式.
(4)；
解　==，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式.
(5).
解　==，被开方数中含有分母，因此不是最简二次根式.
6.====2，这个计算过程正确吗？如果不正确，请改正.
解　计算过程错误，
===2.
本课结束

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