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第1课时　二次根式
第十五章　15.1　二次根式
冀教版（2024）数学八年级上册
1.了解二次根式的概念.
2.理解，()2，(a≥0)的意义.
3.理解和掌握二次根式的性质，并能利用它们进行化简或计算.
学习目标
情境引入
学校要修建一个占地面积为b m2的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环形绿化带，那么所成大圆的半径应为多少米？
一、二次根式的定义
问题1　2，18，的算术平方根是怎样表示的？
提示　.
问题2　非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
提示　
知识梳理
我们把形如_________的式子叫作二次根式.
注意点：二次根式需满足两个条件：一是含有二次根号“”，二是被开方数大于或等于0，这两个条件缺一不可.
(a≥0)
例1
　　在式子，-(y>0)，(x<0)，和a2-1中，是二次根式的有
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
√
解析　a2-1不含根号，的根指数不是2，所以它们都不是二次根式；的被开方数是负数，所以它不是二次根式；的被开方数a+1不能确定其是不是非负数，所以它也不一定是二次根式；其余5个式子含有二次根号“”，且被开方数均是正数，所以它们都是二次根式.
跟踪训练1
　　 　(1)下列各式：，其中是二次根式的有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
解析　都是二次根式，共3个.
(2)下列各式中不一定是二次根式的是
A. B.
C. D.
√
解析　，b2+1>0，故此二次根式一定有意义，A项不符合题意；
，当a<0时，无意义，B项符合题意；
一定有意义，C项不符合题意；
，(a-b)2≥0，故此二次根式一定有意义，D项不符合题意.
二、二次根式有意义的条件
问题3　(1)正数的平方根有　　个，它们互为相反数；0的平方根是　　；在实数范围内，　　　没有平方根；
(2)根据二次根式的意义，二次根式有意义的条件有哪些？
两
0
负数
提示　被开方数是非负数，含有二次根号.
知识梳理
当a≥0时，有意义，是二次根式；当a<0时，没有意义，不是二次根式.
例2
　　当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)+(x+5)0；
解　要使+(x+5)0有意义，
则必有
∴x≤-3且x≠-5.
(2)-；
解　要使-有意义，
则必有
∴2≤x≤5.
(3)；
解　要使有意义，
则必有∴x>-.
(4).
解　要使有意义，
则必有
∴x≥-4且x≠2.
反思感悟
求使含有字母的式子有意义的字母的取值范围的方法：
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数.
(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不等于0.
(3)如果一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0.
跟踪训练2
　　 　(1)若式子有意义，则m的取值范围是
A.m≤ B.m≥-
C.m≥ D.m≤-
√
解析　∵式子有意义，
∴2m-3≥0，解得m≥.
(2)当a取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
①；
解　由题意，得10-3a≥0，
解得a≤，
即当a≤时，式子在实数范围内有意义.
②；
解　由题意，得-(a-2)2≥0，即(a-2)2≤0.
又因为(a-2)2≥0，
所以a-2=0，a=2，
即当a=2时，式子在实数范围内有意义.
③；
解　由题意，得≥0且a-2≠0，
所以a>2，
即当a>2时，式子在实数范围内有意义.
④+.
解　由题意，得
解得-3≤a≤3，
即当-3≤a≤3时，式子+在实数范围内有意义.
三、二次根式的基本性质
性质1：≥0(a≥0)，即二次根式具有双重非负性.
性质2：()2=a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
性质3：=|a|，即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.
知识梳理
注意点：()2与的异同点.
()2
不同点 意义不同 表示非负数a的算术平方根的平方 表示实数a的平方的算术平方根
a的取值 范围不同 a只能取非负数，即a≥0 a可以取全体实数
运算顺 序不同 先求非负数a的算术平方根，然后再进行平方运算 先求实数a的平方，再求a2的算术平方根
运算依 据不同 根据开平方与平方互为逆运算得到的 根据算术平方根的定义得到的
相同点 (1)都要进行平方和开平方两种运算； (2)运算的结果都是非负数，即()2≥0，≥0
例3
　　(1)已知a为实数，那么等于
A.a B.±1 C.-1 D.0
√
解析　根据二次根式的被开方数是非负数，
故-a2≥0，故a=0，
所以==0.
(2)若实数x，y满足y=+-1，则x-y的值是
A.1 B.-6 C.4 D.6
√
解析　∵x-5≥0，5-x≥0，
∴x≥5，x≤5，∴x=5，
∴y=-1，∴x-y=5-(-1)=5+1=6.
(3)化简：①；
解　==.
②；
解　=4.
③；
解　=62×=9.
④.
解　=(-14)2×=64.
反思感悟
(1)当互为相反数的两个数同时作为二次根式的被开方数时，这两个被开方数都为0.
(2)二次根式的性质：=a(a≥0)，可以正用，也可以逆用，正用时去掉根号，起到化简的作用，逆用可以把一个非负数写成完全平方的形式.
(3)应用公式=进行化简时，一定要先确定a的取
值范围，不要忽略此条件而导致得出错误结论.的运算结果与a 的取值有关，可简记为“平方在外面，直接去根号；平方在里面，得到绝对值，分类来讨论”.
跟踪训练3
　　 　(1)计算：下列四个等式中正确的是
①=4；②(-)2=16；③()2=4；④=-4.
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
解析　①==4，正确；
②(-)2=(-1)2×()2=1×4=4≠16，不正确；
③()2=4，符合二次根式的性质，正确；
④==4≠-4，不正确；故①③正确.
√
(2)+=0，则xy=　　.
-5
(3)计算：
①；
解　=.
②；
解　==6.
③；
解　==10-1=.
④(-2)2；
解　(-2)2=(-2)2×()2=8.
⑤.
解　==π-3.14.
1.下列各式是二次根式的有
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
√
2.代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为
解析　由题可知x-1>0，解得x>1.
在数轴上表示为 .
√
3.若2A.5-2a B.1-2a
C.2a-1 D.2a-5
√
解析　因为2所以-
=a-2-(3-a)=a-2-3+a=2a-5.
4.(2025·廊坊市安次区期中)化简结果是　　.
2
解析　===2.
5.若x，y都是实数，且y=++1，求+3y的值.
解　由题意得
解得x=4，则y=1，
+3y=2+3=5.
6.计算：
(1)；
解　=|-0.2|=0.2.
(2)；
解　===.
(3)-；
解　-=-=-.
(4).
解　=|2-3|=3-2.
本课结束

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