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第十五章　二次根式
冀教版（2024）数学八年级上册
15.2　二次根式的乘除运算
1.了解二次根式乘除法法则，能够熟练应用二次根式乘除法法则进行运算.(重点)
2.经历由特殊到一般的探究过程，归纳二次根式的乘除法法则.
3.会逆用二次根式乘除法法则，熟练地将二次根式化简.(重点)
4.会将分母中含有简单二次根式的式子进行分母有理化.(难点)
学习目标
情境引入
学校教学楼前有一矩形花坛(长宽如图所示)，现在学校根据需要，要把它改建为草坪.若全部铺满，请同学们预算一下，需购买多少平方米的草皮呢？
一、二次根式的乘法
问题1　计算下列各式，并观察计算结果，你能发现什么规律？
(1)=　　，=　　；
(2)=　　，=　　；
(3)=　　，=　　.
6
6
20
20
30
30
提示　规律：=；
=；
=.
知识梳理
二次根式的乘法法则：算术平方根的乘积，等于 ，即·=(a≥0，b≥0).
注意点：(1)a≥0，b≥0是公式成立的必要条件.
(2)公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的.
(3)此法则也可以推广为···=(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0).
(4)二次根式的乘法与积的算术平方根是互逆运算关系.
乘积的算术平方根
例1
　　 (课本P107例1)计算下列各式：
(1)；
解　==.
(2)；
解　===16.
(3).
解　===10.
反思感悟
(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方.
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，如a·c=ac(b≥0，d≥0)，即将根号外的因数(式)与根号外的因数(式)相乘的积作为积的系数，被开方数与被开方数相乘的积作为积的被开方数.
跟踪训练1
　　 　 (1)(2025·邯郸期中)下列运算正确的是
A.·= B.9=
C.=12 D.·=6
√
解析　·=，故A选项错误；
9=9=9×=3，故B选项错误；
=2，故C选项错误；
·==6，故D选项正确.
(2)(2025·衡水武邑县模拟)若·的值是整数，则n的值可以是
A.25　　　B.20　　　C.15　　　D.2
√
解析　∵·的值是整数，
∴是一个整数，
∴n=5k2(k为整数)，
∴各选项中只有B选项满足题意.
(3)计算：①；
解　==.
②；
解　===10.
③(a≥0)；
解　===3a2.
④-×2.
解　-×2
=×2×
=×18
=16.
二、二次根式的除法
问题2　计算下列各式，并观察计算结果，你能发现什么规律？
(1)=　　，=　　；
(2)=　　，=　　；
(3)=　　，=　　.
提示　规律：=；=；=.
知识梳理
二次根式的除法法则：算术平方根的商，等于 ，即==)(a≥0，b>0).
商的算术平方根
例2
　　 (课本P108例2)计算下列各式：
(1)；
解　===.
(2)；
解　=====.
(3).
解　=====.
反思感悟
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简.
跟踪训练2
　　 　(1)下列运算错误的是
A.=2 B.=
C.= D.=1
√
解析　===2，运算正确，A项不符合题意；
==，运算正确，B项不符合题意；
==，运算正确，C项不符合题意；
==≠1，运算错误，D项符合题意.
(2)已知长方形的面积为 cm2，其中一边长为 cm，那么另一边长为
_____cm.
解析　易知另一边长为===(cm).
(3)计算：
①；
解　==或==.
②；
解　====.
③；
解　===5.
④-.
解　-=-=-=-=-3.
三、分母有理化
知识梳理
将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子.像这样，把分母中的二次根式化去，叫作 .
注意点：(1)分母有理化的结果是化为最简二次根式，分母中不能含有二次根式.(2)若分母中含有一个带根号的无理数，则可以通过分子与分母同乘这个二次根式，将分母变为有理数.
分母有理化
例3
　　将下列各式分母有理化：
(1)；
解　==.
(2).
解　===.
反思感悟
分母有理化的一般步骤：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外；
“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；
“三化”，即化简计算.
跟踪训练3
　　 　 (1)下列各数中，与的积为有理数的是
A. B.3
C.2 D.2-
解析　A项，=，为无理数；
B项，3=3，为无理数；
C项，2=6，为有理数；
D项，(2-)×=2-3，为无理数.
√
(2)化简：①；
解　==.
②；
解　===.
③-.
解　-=-=-=-2.
1.下列各式计算正确的是
A.=9 B.=
C.=4 D.=3
√
解析　===3，故A错误；
==，故B正确；
==，故C错误；
====2，故D错误.
2.已知△ABC的面积为12 cm2，底边为2 cm，则底边上的高为
A.3 cm B.6 cm
C. cm D.12 cm
√
解析　∵△ABC的面积为12 cm2，底边为2 cm，
∴底边上的高为12×2÷2=6(cm).
3.(2025·唐山丰润区期中)计算：=　　　.
解析　==.
4.计算：
(1)；
解　==.
(2)；
解　===6.
(3)-2；
解　-2=2=2=2=10.
(4).
解　===.
本课结束

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