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15.3　二次根式的加减运算
第十五章　二次根式
冀教版（2024）数学八年级上册
1.理解被开方数相同的最简二次根式.
2.理解二次根式的加减运算的算法.(重点)
3.知道二次根式加减法的运算步骤，会正确的进行二次根式加减法的计算.(难点)
学习目标
情境引入
一辆货车从车库出发，向东行驶了千米到达了商场，装载物资后又向东行驶了2千米到达了送货地点，那么货车共行驶了多少千米呢？
一、被开方数相同的最简二次根式
问题　下列3组二次根式，各有什么共同特征？
(1)，3，-2，15，…
(2)，-5，6，17，…
(3)，…
提示　经过化简后，二次根式被开方数相同.
知识梳理
可合并的二次根式必须同时满足最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的数字因数无关.
例1
　　下列二次根式中，能与合并的是
A. B.
C. D.
√
反思感悟
在判断几个二次根式在加减运算中是否可以合并时，一定要看它们是否是最简二次根式，注意不要被表面上的被开方数所迷惑.
跟踪训练1
　　 　(1)下列二次根式中，与可以合并的根式是
A. B. C. D.
√
解析　原式=3，与不能合并，故A选项错误；
原式=2，与不能合并，故B选项错误；
原式=，与不能合并，故C选项错误；
原式=，与能合并，故D选项正确.
(2)与最简二次根式可以合并，则m=　　.
1
解析　化为最简二次根式得2，
根据同类二次根式得到m+1=2，
∴m=1.
(3)若最简二次根式与可以合并，求a，b的值.
解　由题意可得
解得
二、二次根式的加减
知识梳理
二次根式的加减运算的一般步骤：
(1)将每个二次根式化为最简二次根式；
(2)找出其中被开方数相同的二次根式；
(3)合并被开方数相同的最简二次根式.
例2
　　(课本P110例1)计算下列各式：
(1)2-3+5；
解　(1)2-3+5
=2-6+15
=11.
(2)+-.
解　+-
=2+-
=2+-+
=-.
例3
　　(课本P111例2)计算下列各式：
(1)2-3-；
解　2-3-
=4--3
=0.
(2)(-10)-3.
解　(-10)-3
=4-10×-3
=4-2-9+
=5-11.
反思感悟
二次根式的加减法运算：
(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；
(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的最简二次根式进行合并.
跟踪训练2
　　 　(1)(2025·邯郸广平县期末)下列计算正确的是
A.4-2=2 B.+=
C.-= D.3+2=5
√
解析　4-2=(4-2)=2，正确，A选项符合题意；
与被开方数不同，不能合并，错误，B选项不符合题意；
-=-2=(1-2)=-，错误，C选项不符合题意；
3与2不能合并，错误，D选项不符合题意.
(2)若3-=a-=b，则a+b的值为　　.
11
解析　∵3-=3×2-=6-=5，
∴a=6，b=5，
∴a+b=6+5=11.
(3)计算：
①9+7-5+2；
解　9+7-5+2
=9+14-20+
=
=.
②2+3--.
解　2+3--
=4+2--
=2.
1.下列各式化简后，能与合并的是
A. B. C. D.
√
解析　=2，与被开方数不同，不可以合并，A选项不符合题意；
=3，与被开方数不同，不可以合并，B选项不符合题意；
=2，与被开方数相同，可以合并，C选项符合题意；
=2，与被开方数不同，不可以合并，D选项不符合题意.
2.下列计算正确的是
A.+=3 B.+=3
C.=3 D.-=
√
解析　与被开方数不同，不能直接相加，+≠3，A选项错误；
和被开方数不同，不能合并，+≠3，B选项错误；
根据=，得===3，C选项正确；
与被开方数不同，不能直接相减，-，D选项错误.
3.如图，若a+=，则表示实数a的点会落在数轴的
A.段①上
B.段②上
C.段③上
D.段④上
√
解析　∵a+=，
即a=-，
∴a=-=3-2=，
∵<<，
∴1<<2，
即14.若最简二次根式3与5可以合并，则m=　　.
4
解析　由题意得2m+5=4m-3，解得m=4.
5.计算：
(1)-；
解　-=5-2=3.
(2)+；
解　+=+=.
(3)-3+；
解　-3+=5-6+3=2.
(4)--.
解　--
=--2+2×
=
=-.
本课结束

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