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15.4　二次根式的混合运算
第十五章　二次根式
冀教版（2024）数学八年级上册
1.了解二次根式混合运算时的运算顺序.(重点)
2.会进行二次根式的混合运算.(难点)
3.掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法.(难点)
学习目标
情境引入
母亲节快到了，为了表示对妈妈的爱意，嘉琪同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，她想，如果把壁画的边包上金色彩带应该会更漂亮，她手上现有1.2 m长的金色彩带，请你帮嘉琪算一算，她的金色彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色彩带？
一、二次根式的混合运算
问题　(1)二次根式的乘法法则是什么？
提示　·=(a≥0，b≥0).
(2)二次根式的除法法则是什么？
提示　=(a≥0，b>0).
(3)二次根式的加减法则的实质是什么？
提示　合并被开方数相同的最简二次根式.
(4)整式与分式的混合运算顺序是什么？
提示　运算顺序：先乘除，后加减.有括号，先算括号里面的.
知识梳理
二次根式的混合运算：
(1)运算种类：二次根式的加、减、乘、除的混合运算.
(2)运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的.
注意点：二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式)的形式并且分母中不含二次根式.
例1
　　(课本P113例1)计算下列各式：
(1)×(-)；
解　×(-)
=-
=4-2.
还可以这样计算：
×(-)
=×(2-)
=4-2.
(2)(+)÷.
解　(+)÷
=+
=+
=2+5.
还可以这样计算：
(+)÷
=(2+5)÷
=2+5
=2+5.
反思感悟
二次根式的混合运算，一般先将各二次根式化为最简二次根式，再类比多项式的乘除法法则展开计算，最后将结果中的每一项化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.注意：能合并的要合并.
跟踪训练1
　　 　(1)化简+的结果为
A. B.5 C.5 D.6
√
解析　+=+=3+2=5.
(2)计算--=　　 　.
-
解析　--
=2--
=2--
=-.
(3)计算：
①(+)×；
解　(+)×
=+
=3+2.
②(4-3)÷2；
解　(4-3)÷2
=4÷2-3÷2
=2-.
③(+6)(3-)；
解　(+6)(3-)
=3-5+18-6
=13-3.
④+-|-2|.
解　+-|-2|
=+-2
=2+2-2
=2.
二、二次根式混合运算中的运算律
知识梳理
1.二次根式混合运算的一般步骤：
2.二次根式混合运算中的运算律：
(1)实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
(2)在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律.
例2
　　计算下列式子的值：
(1)；
解　=
==.
(2)；
解　=
==.
(3)(+)(-)+；
解　(+)(-)+
=5-2+3-4+4
=10-4.
(4).
解　=
==.
反思感悟
(1)在进行分母有理化时，应先将二次根式化简，找分母有理化的最简因式；
(2)+与-，a+c与a-c，c+d与c-d互为有理化因式；
(3)计算或化简结果要化为最简形式.
跟踪训练2
　　 　计算：
(1)(2-1)2+(-2)(+6)；
解　(2-1)2+(-2)(+6)
=12-4+1+3-2+6-12=4.
(2)(+)2 026×(-)2 025；
解　(+)2 026×(-)2 025
=(+)2 025×(-)2 025×(+)
=(+)[(+)(-)]2 025
=(+)×12 025
=+.
(3).
解　==
==.
1.计算×(-)的结果是
A.2+2 B.2-2 C.2+2 D.2-2
√
解析　×(-)=-=-=2-2.
2.下列各数中，与3-的积是有理数的是
A.3+ B.3-
C.-3+ D.
√
3.已知x=+，y=-，则代数式x2-2xy+y2的值为
A.28 B.20 C.4 D.4
√
解析　∵x=+，y=-，
∴x-y=+-(-)=2，
∴x2-2xy+y2=(x-y)2==20.
4.计算：(1)(+1)(-1)=　　；
1
解析　(+1)(-1)=()2-12=2-1=1.
(2)(2+)2=　　　　.
7+4
解析　(2+)2=22+2×2×+()2=7+4.
5.一个梯形的高为(2-)cm，它的上底为(+)cm，下底为 cm，
则它的面积为　　cm2.
解析　根据梯形的面积公式S=(上底+下底)×高÷2可得
S=(++)×(2-)÷2
=(2+)×(2-)÷2
=[(2)2-()2]÷2
=(8-3)÷2=.
6.计算：
(1)÷2；
解　÷2
=4÷2-4÷2+3÷2
=2-2×+×2
=2-1+3
=2+2.
(2)(+1)(3-)；
解　(+1)(3-)=3-3+3-=2.
(3)(-3+)2.
解　(-3+)2=(-3)2+2×(-3)×+()2
=9-6+2
=11-6.
本课结束

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