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(共39张PPT)
第七章 证明
7.2认识证明第2课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解基本事实、定理、证明的概念，能识别8条已学基本事实；掌握 “已知—求证—证明” 的规范格式，能为简单几何证明补充推理依据；
01
通过分析 “对顶角相等” 的证明过程，经历 “文字命题转化—确定依据—分步推理” 的过程，提升逻辑推理与数学语言转化能力；
02
发展逻辑推理能力，初步形成 “每步推理必对应基本事实 / 定义 / 定理” 的严谨思维；
03
体会欧几里得几何体系的严谨性，感受 “依据—推理—结论” 的逻辑之美，培养尊重数学规则的科学态度。
04
02
新知导入
复习回顾：
小明想证明 “对顶角相等”，
步骤如下：
“因为直线 AB 和 CD 相交于 O，
所以∠AOC=∠BOD”。
他的证明有问题吗？若有，问题在哪？
要让证明成立，每一步都需要什么 “支撑”？
小明的证明有问题，步骤跳跃且无依据；证明的每一步都需要 “公认的真命题(基本事实)、定义或已证过的真命题(定理)” 作为支撑.
03
新知探究
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？
03
新知探究
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得(Euclid,约前330一前275)编写了一本书，书名为《原本》(Elements)。为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理(xiom)。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。
1.原名：
2.公理：
3.证明：
4.定理：
某些数学名词称为原名.
公认的真命题称为公理.
演绎推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理.
不需要证明 公理=基本事实
除了公理外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.
03
新知探究
03
新知探究
本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条：
1.两点确定一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
(简述为：同位角相等，两直线平行)。
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
8.三边分别相等的两个三角形全等。
九条基本事实（公理）
1.两点确定一条直线.（直线公理）
A
B
2.两点之间线段最短.（线段公理）
A
B
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
P
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行).
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
P
l1
l2
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）
8.三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）
另外一条将在后面的学习中认识.
03
新知探究
此外，
数与式的运算律和运算法则、
等式的有关性质，
以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。
例如，如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”。又如，如果a>b,b>c,那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据。
03
新知探究
从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了。
例如，我们可以证明下面的定理：
定理：同角(或等角)的补角相等。
定理：同角(或等角)的余角相等。
定理：三角形的任意两边之和大于第三边。
（1）已知：∠B和∠C是∠A的余角，求证：∠B=∠C.
证明：∵∠B和∠C是∠A的余角，
∴∠B=90°-∠A，
∠C=90°-∠A，
∴∠B=∠C（等量代换），
∴同角的余角相等.
（2）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的余角，求证：∠C=∠D.
证明：∵∠C和∠D分别是∠A、
∠B的余角，
∴∠C=90°-∠A，
∠D=90°-∠B，
∵∠A=∠B（已知），
∴∠C=∠D（等量代换），
∴等角的余角相等.
定理：同角（或等角）的余角相等.
“∵”读作“因为”，
“∴”读作“所以”.
证明
定理：同角（或等角）的补角相等.
（3）已知：∠B和∠C是∠A的补角，求证：∠B=∠C.
证明：∵∠B和∠C是∠A的补角，
∴∠B=180°-∠A，
∠C=180°-∠A，
∴∠B=∠C（等量代换），
∴同角的补角相等.
（4）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角，求证：∠C=∠D.
证明：∵∠C和∠D分别是∠A、
∠B的补角，
∴∠C=180°-∠A，
∠D=180°-∠B，
∵∠A=∠B（已知），
∴∠C=∠D（等量代换），
∴等角的补角相等.
我们可以用该定理证明“对顶角相等”。
分析
在基本事实和已证定理中，有同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等可以判断两个角相等.
已知:如图7-5所示,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证:∠AOC=∠BOD。
例
03
新知探究
解析
证明:∵直线AB与直线CD相交于点O(已知),
∴∠AOB与∠COD都是平角(平角的定义)。
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)。
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)。
03
新知探究
03
新知探究
由上面的例题,我们可以得到定理:
定理 对顶角相等。
概括
应用格式：
∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC
请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明。
已知：如图，△ABC的三条边分别为AB、AC、BC 。
求证：AB＋AC＞BC； AB＋BC ＞AC； AC＋BC＞AB。
证明：∵BC是以点B、点C为端点的线段，
∴AB＋AC＞BC（两点之间线段最短）。
同理，得AB＋BC ＞AC； AC＋BC ＞AB。
∴三角形的任意两边之和大于第三边。
03
新知探究
分析
因为∠AOB和∠COD都含有∠BOC，同时减去∠BOC就可以得到∠1＝∠2.
已知：如图，∠AOB＝∠COD.
求证：∠1＝∠2.
例
03
新知探究
解析
证明：∵∠AOB＝∠COD（已知），
∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB（等式的性质），
即∠1＝∠2（等量代换）.
03
新知探究
证明依据：仅用基本事实、定义、已证定理；
书写要求：已知→求证→证明，每步都要有依据。
方法总结
03
新知探究
04
巩固训练
1.下列说法正确的是 (　　)
A.命题一定是正确的 B.不正确的判断就不是命题
C.公理都是真命题 D.真命题都是定理
C
2.下列语句中,属于定理的是 (　　)
A.在直线AB上取一点E
B.如果两个角相等,那么这两个角是对顶角
C.内错角相等
D.同角的补角相等
D
3.如图,有以下三个条件:①AC=AB,②AB∥CD,③∠1=∠2。从这三个条件中任选两个作为条件,另一个作为结论,则组成真命题的个数为　　　　。
3
证明:∵DE∥BC,∴∠1=∠2。
∵∠1=∠3,∴∠2=∠3。∴CD∥FG。
∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°。
∴∠BFG=∠BDC=90°。
∴FG⊥AB。
4.如图,DE∥BC,∠1=∠3,CD⊥AB。
求证:FG⊥AB。
04
巩固训练
解:(答案不唯一)①②③　④
证明:∵BF=CE,
∴BF+CF=CE+CF,即BC=EF。
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
5.在数学课上,林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B,F,C,E在同一直线上),并写出四个条件:①AB=DE;②BF=CE;③∠B=∠E;④∠1=∠2。
请你从这四个条件中选出三个作为条件,另一个作为结论,组成一个真命题,并给予证明。条件:　　　　;结论:　　　　。(均填写序号)
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
核心概念
基本事实(公理)：公认的真命题(如 “两点确定一条直线”)，是证明的起点；
定理：经证明的真命题(如 “对顶角相等”)，需用基本事实、定义或已证定理推导；
证明：演绎推理的过程，需遵循 “已知 — 求证 — 证明” 格式，每步推理必对应合法依据。
证明依据与规范
合法依据：8 条基本事实、数学定义、已证定理、等式 / 不等式性质等；
规范格式：先写 “已知”(图形条件)、“求证”(结论)，再按逻辑写证明过程，每步标注依据。
典型定理证明
对顶角相等：利用平角定义与 “同角的补角相等” 推导；
同角(等角)的补角 / 余角相等：借助补角 / 余角定义与等量代换证明。
1.下列命题中，不属于基本事实的是(　 　)
A.两点确定一条直线
B.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
06
作业设计
基础达标：
B
2.下列所学过的真命题中，不是公理的是(　 　)
A.对顶角相等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.同位角相等，两直线平行 D.三边分别相等的两个三角形全等
A
3.“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题.正确的反例是(　 　)
A.两个角互为邻补角
B.α＝90°，α的补角β＝90°，β＝α
C.α＝120°，α的补角β＝60°，β＜α
D.α＝80°，α的补角β＝100°，β＞α
06
作业设计
C
基础达标：
4.下列说法不正确的是(　 　)
A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B.定理是命题，而且是真命题
C.“对顶角相等”是命题，但不是定理
D.要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
C
5.证明定理“同角的补角相等”.
已知：∠1和∠2分别是∠3的补角.
求证：∠1＝∠2.
06
作业设计
能力提升：
证明：∵∠1，∠2是∠3的补角(已知)，
∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(补角的定义).
∴∠1＝∠2(等量代换).
6.证明定理“同角的余角相等”.
已知：∠1和∠2分别是∠3的余角.
求证：∠1＝∠2.
06
作业设计
能力提升：
证明：∵∠1，∠2是∠3的余角(已知)，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°(余角的定义).
∴∠1＝∠2(等量代换).
06
作业设计
能力提升：
7.指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例.
(1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角；
(2)同旁内角互补.
解：(1)题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角.这个命题是真命题.
(2)题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，这个命题是假命题.
反例：如图，∠1与∠2是同旁内角，∠1＋∠2≠180°.
06
作业设计
能力提升：
8.已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行”.
(1)写出命题的条件和结论；
(2)画出符合命题的几何图形；
(3)用几何语言叙述这个命题；
(4)判断这个命题的真假并说明理由.
06
作业设计
能力提升：
解：(1)条件：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行.
(2)如图所示：
(3)已知：如图，AB∥CD，GH，MN分别平分∠BGM和∠CMG，求证：GH∥MN.
06
作业设计
能力提升：
(4)真命题，理由：∵AB∥CD，
∴∠BGM＝∠CMG.
又∵GH，MN分别平分∠BGF和∠CMG，
∴∠HGM＝∠BGM，∠NMG＝∠CMG，
∴∠HGM＝∠NMG，
∴GH∥MN.
06
作业设计
迁移拓展：
证明：∵OC平分∠AOB(已知)，
∴∠COP＝∠COQ(角平分线的定义).
∵CP⊥OA，CQ⊥OB(已知)，
∴∠CPO＝∠CQO＝90°(垂直的定义).
∵OC＝OC(公共边)，
∴△CPO≌△CQO(AAS).
∴CP＝CQ(全等三角形的对应边相等).
9.完成下列命题的证明.
命题：角平分线上的点到角两边的距离相等.
已知：如图，OC平分∠AOB，CP⊥OA于点P，CQ⊥OB于点Q.求证：CP＝CQ.
06
作业设计
迁移拓展：
10.已知∠ABC和∠DEF，请根据下面要求解决相应的问题.
如图1，图2所示，当DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P时.
①填空：图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为　 　；
图2中∠ABC与∠DEF的数量关系为　 　；
②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程.
③请用“如果……，那么……”的形式把上述结论表述出来：　 　.
∠ABC＝∠DEF
∠ABC＋∠DEF＝180°
06
作业设计
迁移拓展：
②选择题图1：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BPE(两直线平行，内错角相等).
∵BC∥EF，
∴∠BPE＝∠DEF(两直线平行，内错角相等)，
∴∠ABC＝∠DEF(等量代换).
选择题图2：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BPE(两直线平行，内错角相等).
∵BC∥EF，
∴∠BPE＋∠DEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
Thanks!
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分课时学案
课题 7.2认识证明第2课时 单元 第七单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解基本事实、定理、证明的概念，能识别 8 条已学基本事实；掌握 “已知—求证—证明” 的规范格式，能为简单几何证明补充推理依据； 2.通过分析 “对顶角相等” 的证明过程，经历 “文字命题转化—确定依据—分步推理” 的过程，提升逻辑推理与数学语言转化能力； 3.发展逻辑推理能力，初步形成 “每步推理必对应基本事实 / 定义 / 定理” 的严谨思维； 4.体会欧几里得几何体系的严谨性，感受 “依据—推理—结论” 的逻辑之美，培养尊重数学规则的科学态度。
重点 1.理解基本事实与定理的区别，明确证明的依据只能是基本事实、定义、已证定理； 2.掌握 “已知—求证—证明” 的规范书写格式，能完成简单几何命题的证明。
难点 将 “同角的补角相等”“三角形任意两边之和大于第三边” 等文字命题，准确转化为 “已知”(图形条件)与 “求证”(结论)的数学语言，并梳理出合理的证明思路。
教学过程
导入新课 情景问题 小明想证明 “对顶角相等”，步骤如下：“因为直线 AB 和 CD 相交于 O，所以∠AOC=∠BOD”。他的证明有问题吗？若有，问题在哪？要让证明成立，每一步都需要什么 “支撑”？
新知讲解 探究活动一： 举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？ 公理： ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 演绎推理的过程称为 ，经过证明的真命题称为 。每个定理都只能 来证明。 从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了。 例如，我们可以证明下面的定理： 定理：同角(或等角)的补角相等。 定理：同角(或等角)的余角相等。 定理：三角形的任意两边之和大于第三边。 探究活动二： 例题精讲： 已知：如图7-5所示，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。 求证：∠AOC=∠BOD。 分析：在基本事实和已证定理中，哪些结论可以 断定两个角相等？ 探究活动三： 尝试思考： 已知：如图，∠AOB＝∠COD. 求证：∠1＝∠2.
课堂练习 巩固训练 1.下列说法正确的是 (　　) A.命题一定是正确的 B.不正确的判断就不是命题 C.公理都是真命题 D.真命题都是定理 2.下列语句中，属于定理的是 (　　) A.在直线AB上取一点E B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C.内错角相等 D.同角的补角相等 3.如图，有以下三个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2。从这三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论，则组成真命题的个数为　　　　。 4.如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB。 求证：FG⊥AB。 5.在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B，F，C，E在同一直线上)，并写出四个条件：①AB=DE；②BF=CE；③∠B=∠E；④∠1=∠2。 请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明。 条件：　　　　；结论：　　　　。(均填写序号)
作业布置 基础达标： 1.下列命题中，不属于基本事实的是(　 　) A.两点确定一条直线 B.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 2.下列所学过的真命题中，不是公理的是(　 　) A.对顶角相等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C.同位角相等，两直线平行 D.三边分别相等的两个三角形全等 3.“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题.正确的反例是(　 　) A.两个角互为邻补角 B.α＝90°，α的补角β＝90°，β＝α C.α＝120°，α的补角β＝60°，β＜α D.α＝80°，α的补角β＝100°，β＞α 4.下列说法不正确的是(　 　) A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B.定理是命题，而且是真命题 C.“对顶角相等”是命题，但不是定理 D.要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 能力提升： 5.证明定理“同角的补角相等”. 已知：∠1和∠2分别是∠3的补角. 求证：∠1＝∠2. 6.证明定理“同角的余角相等”. 已知：∠1和∠2分别是∠3的余角. 求证：∠1＝∠2. 7.指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例. (1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； (2)同旁内角互补. 8.已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行”. (1)写出命题的条件和结论； (2)画出符合命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)判断这个命题的真假并说明理由. 拓展迁移： 9.完成下列命题的证明. 命题：角平分线上的点到角两边的距离相等. 已知：如图，OC平分∠AOB，CP⊥OA于点P，CQ⊥OB于点Q.求证：CP＝CQ. 10.已知∠ABC和∠DEF，请根据下面要求解决相应的问题. 如图1，图2所示，当DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P时. ①填空：图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为　 　； 图2中∠ABC与∠DEF的数量关系为　 　； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程. ③请用“如果……，那么……”的形式把上述结论表述出来：　 　.
参考答案：
例题精讲：
例：
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O(已知)，
∴∠AOB与∠COD都是平角(平角的定义)。
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)。
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)。
巩固训练：
1.C　解析：命题包括真命题和假命题，选项A错误；不正确的判断是假命题，选项B错误；选项C正确；真命题可能是公理，选项D错误。故选C。
2.D　解析：同角的补角相等是定理。故选D。
3.3　解析：所有等可能的情况有3种，分别为①② ③，①③ ②，②③ ①，其中组成命题是真命题的情况有①② ③，①③ ②，②③ ①。
4.证明：∵DE∥BC，∴∠1=∠2。
∵∠1=∠3，∴∠2=∠3。∴CD∥FG。
∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°。
∴∠BFG=∠BDC=90°。∴FG⊥AB。
5.解：(答案不唯一)①②③　④
证明：∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
∴∠1=∠2。
作业设计：
1.B　2.A　3.C　4.C
5.证明：∵∠1，∠2是∠3的补角(已知)，
∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(补角的定义).
∴∠1＝∠2(等量代换).
6.证明：∵∠1，∠2是∠3的余角(已知)，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°(余角的定义).
∴∠1＝∠2(等量代换).
7.解：(1)题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角.这个命题是真命题.
解：(2)题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，这个命题是假命题.
反例：如图，∠1与∠2是同旁内角，∠1＋∠2≠180°.
8.解：(1)条件：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行.
解：(2)如图所示：
解：(3)已知：如图，AB∥CD，GH，MN分别平分∠BGM和∠CMG，求证：GH∥MN.
解：(4)真命题，理由：∵AB∥CD，∴∠BGM＝∠CMG.
又∵GH，MN分别平分∠BGF和∠CMG，
∴∠HGM＝∠BGM，∠NMG＝∠CMG，
∴∠HGM＝∠NMG，∴GH∥MN.
9.证明：∵OC平分∠AOB(已知)，
∴∠COP＝∠COQ(角平分线的定义).
∵CP⊥OA，CQ⊥OB(已知)，
∴∠CPO＝∠CQO＝90°(垂直的定义).
∵OC＝OC(公共边)，
∴△CPO≌△CQO(AAS).
∴CP＝CQ(全等三角形的对应边相等).
10.解：(1)①题图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为∠ABC＝∠DEF，
题图2中∠ABC与∠DEF的数量关系为∠ABC＋∠DEF＝180°，
故答案为∠ABC＝∠DEF，∠ABC＋∠DEF＝180°.
②选择题图1：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BPE(两直线平行，内错角相等).
∵BC∥EF，
∴∠BPE＝∠DEF(两直线平行，内错角相等)，
∴∠ABC＝∠DEF(等量代换).
选择题图2：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BPE(两直线平行，内错角相等).
∵BC∥EF，
∴∠BPE＋∠DEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
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7.2认识证明第2课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 六单元
课题 7.2认识证明第2课时 课时 1
课标要求 本节课需落实 “图形与几何” 领域核心素养：理解基本事实(公理)、定理、证明的概念，明确基本事实是证明的 “起点依据”，定理需经证明确认；掌握 “已知 — 求证 — 证明” 的规范书写格式，能为简单几何命题补充推理依据；经历 “提出证实需求 — 明确证明依据—完成规范证明” 的过程，发展逻辑推理能力与严谨思维；为后续平行线性质、三角形全等的证明构建 “依据 — 推理 — 结论” 的认知框架，契合新课标 “从直观感知到理性论证” 的进阶要求，培养 “每步推理必有据” 的数学习惯。
教材分析 本节课是上一课时 “命题真假判断” 的深化，聚焦 “真命题的证实方法与规范表达”，是第七章证明体系的核心奠基课。教材以 “如何证实真命题” 为核心问题，先通过历史背景(欧几里得《原本》)引入 “基本事实(公理)” 的概念，明确其作为证明的 “无证明起点”；再界定 “定理”(经证明的真命题)与 “证明”(演绎推理过程)，并列出 8 条已学基本事实；最后以 “对顶角相等” 为范例，完整呈现 “已知 — 求证 — 证明” 的书写规范，示范 “每步推理对应依据” 的严谨性。既是对 “为什么要证明” 的回应，也是后续复杂几何证明的 “格式模板”，体现新课标 “先建体系、再学应用” 的编写逻辑。
学情分析 学生已掌握 “命题真假判断”，但存在三大认知障碍：一是对 “证明的依据层级” 理解模糊，易将 “未证明的猜想”当作证明依据，不清楚 “只能用基本事实、定义、已证定理”；二是 “文字命题转数学语言” 困难，如将 “对顶角相等” 转化为 “已知：直线 AB 与 CD 交于 O，∠AOC 与∠BOD 是对顶角；求证：∠AOC=∠BOD” 时，易漏写条件或求证对象；三是规范书写不达标，如证明步骤跳跃，或依据表述不严谨。个体差异集中在 “依据筛选” 与 “规范表达” 上。
教学目标 1.理解基本事实、定理、证明的概念，能识别 8 条已学基本事实；掌握 “已知—求证—证明” 的规范格式，能为简单几何证明补充推理依据； 2.通过分析 “对顶角相等” 的证明过程，经历 “文字命题转化—确定依据—分步推理” 的过程，提升逻辑推理与数学语言转化能力； 3.发展逻辑推理能力，初步形成 “每步推理必对应基本事实 / 定义 / 定理” 的严谨思维； 4.体会欧几里得几何体系的严谨性，感受 “依据—推理—结论” 的逻辑之美，培养尊重数学规则的科学态度。
教学重点 1.理解基本事实与定理的区别，明确证明的依据只能是基本事实、定义、已证定理； 2.掌握 “已知—求证—证明” 的规范书写格式，能完成简单几何命题的证明。
教学难点 将 “同角的补角相等”“三角形任意两边之和大于第三边” 等文字命题，准确转化为 “已知”(图形条件)与 “求证”(结论)的数学语言，并梳理出合理的证明思路。
教法与学法分析 教法采用 “历史情境导入 + 范例拆解 + 实操指导”：以《原本》的故事引入基本事实，拆解 “对顶角相等” 证明的 “转化—找依据—写步骤” 三步；学法以 “小组合作 + 模仿实操” 为主，如分组讨论 “证明依据筛选”，独立模仿范例完成 “同角余角相等” 的证明，在实践中强化规范，契合新课标 “学生主体、过程体验” 理念。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景问题 小明想证明 “对顶角相等”，步骤如下：“因为直线 AB 和 CD 相交于 O，所以∠AOC=∠BOD”。他的证明有问题吗？若有，问题在哪？要让证明成立，每一步都需要什么 “支撑”？ 小明的证明有问题，步骤跳跃且无依据；证明的每一步都需要 “公认的真命题(基本事实)、定义或已证过的真命题(定理)” 作为支撑. 呈现小明不完整的 “对顶角相等” 证明，提问问题所在及证明需的 “支撑”，引出证明依据的必要性。 发现证明步骤跳跃、无依据，明确证明每步需基本事实、定义或定理支撑。 以错误案例引发认知冲突，初步感知证明的严谨性与依据的重要性。
探究活动一： 举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？ 其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得(Euclid，约前330一前275)编写了一本书，书名为《原本》(Elements)。为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理(xiom)。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。 演绎推理的过程称为证明(proof)，经过证明的真命题称为定理(theorem)。每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条： 1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行)。 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 8.三边分别相等的两个三角形全等。 另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它。此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。例如，如果a=b，b=c，那么a=c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”。又如，如果a>b，b>c，那么a>c，这一性质同样可以作为证明的依据。 从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了。例如，我们可以证明下面的定理： 定理：同角(或等角)的补角相等。 定理：同角(或等角)的余角相等。 定理：三角形的任意两边之和大于第三边。 结合《原本》历史背景，讲解基本事实(公理)、定理、证明的定义，梳理 8 条已学基本事实，明确证明依据的层级。 理解基本事实是 “无证明起点”，定理需证明确认，能识别 8 条基本事实，区分证明的合法依据。 落实 “证明依据” 的重点，为规范证明奠定理论基础。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 例题精讲： 1.已知：如图7-5所示，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。 求证：∠AOC=∠BOD。 分析：在基本事实和已证定理中，哪些结论可以断定两个角相等？ 证明：∵直线AB与直线CD相交于点O(已知)， ∴∠AOB与∠COD都是平角(平角的定义)。 ∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)。 ∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等)。 由上面的例题，我们可以得到定理： 定理 对顶角相等。 应用格式： ∵直线AB与直线CD相交于点O， ∴∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC 拆解 “对顶角相等” 证明的 “已知 — 求证 — 证明” 步骤，示范每步推理对应依据(如平角定义、同角补角相等)。 跟随拆解过程，理解文字命题转数学语言的方法，掌握 “每步推理必标注依据” 的规范。 以范例突破 “规范书写” 重点，建立证明的格式认知。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 已知：如图，∠AOB＝∠COD. 求证：∠1＝∠2. 分析：因为∠AOB和∠COD都含有∠BOC，同时减去∠BOC就可以得到∠1＝∠2. 证明：∵∠AOB＝∠COD（已知）， ∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB（等式的性质）， 即∠1＝∠2（等量代换）. 总结归纳： 证明依据：仅用基本事实、定义、已证定理； 书写要求：已知→求证→证明，每步都要有依据。 给出 “∠AOB=∠COD，求证∠1=∠2” 的命题，引导分析图形关系，明确推理思路。 自主写出证明过程，用 “等式两边减公共角” 推导结论，标注依据，强化规范表达。 通过简单命题实操，巩固 “已知 — 求证 — 证明” 格式，提升推理与书写能力。
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.下列说法正确的是 (　　) A.命题一定是正确的 B.不正确的判断就不是命题 C.公理都是真命题 D.真命题都是定理 2.下列语句中，属于定理的是 (　　) A.在直线AB上取一点E B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C.内错角相等 D.同角的补角相等 3.如图，有以下三个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2。从这三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论，则组成真命题的个数为　　　　。 4.如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB。 求证：FG⊥AB。 5.在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B，F，C，E在同一直线上)，并写出四个条件：①AB=DE;②BF=CE;③∠B=∠E;④∠1=∠2。 请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明。 条件：　　　　；结论：　　　　。(均填写序号) 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 核心概念 基本事实(公理)：公认的真命题(如 “两点确定一条直线”)，是证明的起点； 定理：经证明的真命题(如 “对顶角相等”)，需用基本事实、定义或已证定理推导； 证明：演绎推理的过程，需遵循 “已知 — 求证 — 证明” 格式，每步推理必对应合法依据。 证明依据与规范 合法依据：8 条基本事实、数学定义、已证定理、等式 / 不等式性质等； 规范格式：先写 “已知”(图形条件)、“求证”(结论)，再按逻辑写证明过程，每步标注依据。 典型定理证明 对顶角相等：利用平角定义与 “同角的补角相等” 推导； 同角(等角)的补角 / 余角相等：借助补角 / 余角定义与等量代换证明。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 7.2认识证明第2课时 1.公理　　　　　　 2.定理 3.八条基本事实 4.定理的证明 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.下列命题中，不属于基本事实的是(　 　) A.两点确定一条直线 B.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 2.下列所学过的真命题中，不是公理的是(　 　) A.对顶角相等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C.同位角相等，两直线平行 D.三边分别相等的两个三角形全等 3.“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题.正确的反例是(　 　) A.两个角互为邻补角 B.α＝90°，α的补角β＝90°，β＝α C.α＝120°，α的补角β＝60°，β＜α D.α＝80°，α的补角β＝100°，β＞α 4.下列说法不正确的是(　 　) A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B.定理是命题，而且是真命题 C.“对顶角相等”是命题，但不是定理 D.要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 能力提升： 5.证明定理“同角的补角相等”. 已知：∠1和∠2分别是∠3的补角. 求证：∠1＝∠2. 6.证明定理“同角的余角相等”. 已知：∠1和∠2分别是∠3的余角. 求证：∠1＝∠2. 7.指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例. (1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； (2)同旁内角互补. 8.已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行”. (1)写出命题的条件和结论； (2)画出符合命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)判断这个命题的真假并说明理由. 拓展迁移： 9.完成下列命题的证明. 命题：角平分线上的点到角两边的距离相等. 已知：如图，OC平分∠AOB，CP⊥OA于点P，CQ⊥OB于点Q.求证：CP＝CQ. 10.已知∠ABC和∠DEF，请根据下面要求解决相应的问题. 如图1，图2所示，当DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P时. ①填空：图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为　 　； 图2中∠ABC与∠DEF的数量关系为　 　； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程. ③请用“如果……，那么……”的形式把上述结论表述出来：　 　.
教学反思 本节课通过《原本》背景与范例拆解，多数学生能理解基本事实的作用及证明的规范格式，但存在两点不足：一是文字命题转化仍有困难，如将 “同角的余角相等” 转化为 “已知：∠1 与∠2 互余，∠1 与∠3 互余；求证：∠2=∠3” 时，部分学生漏写 “互余” 的条件；二是证明依据表述不精准，如将 “两点之间线段最短” 简写成 “线段最短”，或混淆 “定义” 与 “定理”(把 “平角定义” 说成 “平角定理”)。后续需设计 “文字命题转化专项练习”(列表对比文字描述与数学条件)、“依据表述纠错练习”，并提供 “证明依据清单”(8 条基本事实 + 常用定义)，帮助学生夯实基础，为后续复杂证明做好铺垫。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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