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(共28张PPT)
第七章 证明
7.2认识证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解定义、命题的概念，能区分命题与非命题；掌握命题 “条件—结论” 的结构，能将非规范形式命题转化为 “如果… 那么…” 形式；能判断命题真假并构造反例；
01
通过辨析生活与数学语句、拆分命题结构，经历 “概念建构—辨析应用—验证反思” 的过程，提升逻辑分析能力；
02
发展推理意识，初步形成 “先明确定义、再分析命题、后判断真假” 的逻辑思维路径；
03
体会数学定义的严谨性与命题的逻辑性，感受 “反例” 在反驳假命题中的简洁价值，培养科学的认知态度。
04
02
新知导入
复习回顾：
请观察这两个场景：
(1)为什么生活对话会有争议，数学对话能达成共识？
生活场景中 “笔” 的描述无统一标准(定义)，
数学场景中 “直角三角形” 有明确定义，定义能规范术语含义，避免争议；
02
新知导入
(2)请判断以下语句是否对 “事情作出了判断”：
①“什么是直角三角形？”
②“直角三角形有一个角是 90°”
③“画一个直角三角形”；
对事情作出判断的语句有什么作用？
①是疑问句(未判断)、②是判断句(作出判断)、③是祈使句(未判断)；
对事情作出判断的语句(如②)是后续分析、证明的基础。
03
新知探究
为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义(definition).
例如:“具有中华人民共和国国籍的人,叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义。
“两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。
“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义。
“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。
03
新知探究
下列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？
(1)任何一个三角形一定有一个角是直角：
(2)对顶角相等；
(3)无论n为怎样的自然数，式子的值都是质数；
(4)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(5)你喜欢数学吗？
(6)作线段AB=CD。
03
新知探究
下列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？
(1)任何一个三角形一定有一个角是直角：
(2)对顶角相等；
(3)无论n为怎样的自然数，式子的值都是质数；
(4)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(5)你喜欢数学吗？
(6)作线段AB=CD。
解：上面语句中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断；语句(5)(6)没有对事情作出判断.
03
新知探究
判断一件事情的句子,叫作命题。
概括
例如上面语句中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断，它们就是命题；
如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题,如(5)(6)。
03
新知探究
注意: (1)只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题。如:相等的角是对顶角。
(2)如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。如:画线段AB=CD。
03
新知探究
共同特征：都是由两部分组成，都是“如果……那么……”的形式．
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结构特征呢？与同伴进行交流。
(1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
(2)如果,那么;
(3)如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。
03
新知探究
一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论。
概括
命题的组成:
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？
(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；
(2)如果a≠b, b≠c，那么a≠c；
(3)全等三角形的面积相等；
(4)三角形三个内角的和等于180°.
例
分析
根据命题的定义将下面的命题分成条件和结论两部分，然后根据由条件能否得到结论判断正确与否.
03
新知探究
解析
解：(1)中的条件是两个角相等，结论是它们是对顶角；
(2)中的条件是a≠b, b≠c，结论是a≠c；
(3)中的条件是两个三角形全等，结论是它们的面积相等；
(4)中的条件是有一个三角形，结论是它的内角和等于180°.
命题(1)(2)是错误的，举一个反例即可判断．
03
新知探究
03
新知探究
正确的命题称为真命题(true proposition),不正确的命题称为假命题(alseproposition ).
要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例(counter example)。
概括
04
巩固训练
1.对于命题“如果a2>b2,那么a>b”,下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题的是 (　　)
A.a=3,b=-2 B.a=-2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=-3,b=2
D
2.下列语句中,是定义的是 (　　)
A.连接A,B两点 B.等角的余角相等吗
C.内错角相等,两直线平行 D.整数与分数统称为有理数
D
3.能说明命题:“若两个角α,β互补,则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是　　　　　　　。
α=90°,β=90°
4.把下列命题写成“如果……,那么……”的形式,并判断其真假。
(1)等角的补角相等;
(2)不相等的角不是对顶角;
(3)相等的角是内错角。
解:(1)如果两个角相等,那么这两个角的补角也相等。该命题是真命题。
(2)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角。该命题是真命题。
(3)如果两个角相等,那么这两个角是内错角。该命题是假命题。
04
巩固训练
5.判断下列命题是真命题还是假命题,是假命题的举反例加以说明。
(1)如果AB=2BC,那么C是AB的中点;
(2)三条线段分别为a,b,c,如果a+b>c,那么这三条线段一定能组成三角形;
(3)三角形的内角和等于180°;
(4)如果|a|=|b|,那么a=b。
解:(1)假命题,如:当点C在AB的延长线上,且AB=2BC,C不是AB的中点。
(2)假命题,如:当a=5,b=1,c=3时,5+1>3,但长为5,1,3的三条线段不能组成三角形。
(3)真命题。
(4)假命题,如:当a=2,b=-2时,
|a|=|b|,但a≠b。
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
定义：对术语含义的明确规定，规范认知，避免歧义(如 “有两边相等的三角形叫等腰三角形”)；
命题：判断一件事情的句子，分命题(判断句)与非命题(疑问句、祈使句等)；
命题结构：由条件(已知事项)和结论(推断事项)组成，可转化为 “如果… 那么…” 形式；
命题分类：真命题(正确命题)、假命题(错误命题)，假命题可通过反例(满足条件但不满足结论的实例)反驳。
1.下列语句是命题的是(　 　)
A.你喜欢数学吗？ B.小明是男生 C.太和香椿 D.加强体育锻炼
06
作业设计
基础达标：
B
2.下列语句中，不是命题的是(　 　)
A.两点确定一条直线 B.垂线段最短
C.作角A的平分线 D.内错角相等
C
3.下列四个命题中，是真命题的是(　 　)
A.三角形中至少有两个锐角 B.内错角相等
C.三角形的一个外角大于任何一个内角 D.两直线平行，同旁内角相等
A
4.下列命题中，说法错误的个数有(　 　)
①等角的余角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③相等的角是对顶角；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫做这个点到这条直线的距离.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
06
作业设计
D
基础达标：
5.对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是(　 　)
A.a＝2 B.a＝－3 C.a＝－ D.a＝0
06
作业设计
能力提升：
6.对于命题“若m2＞9，则m＞3”，下列m的值能说明该命题是假命题的是(　 　)
A.m＝－4　　 B.m＝－3　 C.m＝3　　 D.m＝4
B
A
7.给出下列语句：①如果两个角都是50°，那么这两个角是对顶角；②直角三角形一定不是轴对称图形；③画线段AB＝5 cm；④延长线段AB至点C，使AB＝BC；⑤明天下雨吗？其中是命题的个数为　 　.
2
06
作业设计
能力提升：
8.判断下列命题是真命题，还是假命题？如果是假命题，举一个反例.
(1)若a2＞b2，则a＞b；
(2)一个角的余角小于这个角.
解：(1)假命题，例如，(－2)2＞12，但－2＜1.
解：(2)假命题，例如，30°角的余角是60°，而60°＞30°.
06
作业设计
能力提升：
9.指出下列命题的条件和结论.
(1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
(2)两条直线平行时没有交点；
(3)锐角小于它的余角.
解：(1)条件为两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论为这两条直线平行.
(2)条件为两条直线平行，结论为这两条直线没有交点.
(3)条件为这个角是锐角，结论为这个角小于它的余角.
06
作业设计
迁移拓展：
10.对于一个任意的四位数M，若M的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”.例如：四位数3 197，因为3＋7＝1＋9，所以四位数3 197是稳定数.
(1)填空：2 025　 　稳定数(填“是”或“不是”)；
(2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；
(3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由.
解：(1)∵2＋5＝7≠0＋2，
∴2 025不是稳定数.
不是
06
作业设计
迁移拓展：
(2)设十位数字为a，个位数字为b，
根据题意，得1＋b＝9＋a，
∴b－a＝8，∴或
∴所求的稳定数为1 908或1 919.
(3)是假命题，反例如下：四位数2 817与2 222都是稳定数，它们的和等于5 039，
然而四位数5 039不是稳定数，
∴“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题.
Thanks!
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7.2认识证明第1课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 七单元
课题 7.2认识证明第1课时 课时 1
课标要求 本节课需落实 “图形与几何” 领域核心素养：理解定义的内涵与作用(规范术语含义)，掌握命题的概念及 “条件 — 结论” 的结构特征；能区分命题与非命题，判断命题真假并构造反例反驳假命题；经历 “辨析语句 — 拆分命题 — 验证真假” 的过程，发展推理意识与逻辑思维能力；为后续学习证明的规范表达、基于基本事实推导结论奠定基础，契合新课标 “从概念建构到逻辑推理” 的初中数学思维进阶要求，培养学生 “重定义、明命题、辨真假” 的严谨认知习惯。
教材分析 本节课是第七章 “证明” 的基础概念课，承接上一节 “证明的必要性”，聚焦 “证明的前提 —— 明确定义与命题”。教材以 “共同认知需规范术语” 为起点，先引入 “定义” 概念，再通过 “语句辨析” 引出 “命题” 定义，进而拆解命题 “条件 — 结论” 的结构(重点突破非 “如果… 那么…” 形式命题的转化)，最后通过 “真假命题判断” 与 “反例构造”，完善命题认知体系。既是对 “为什么要证明” 的回应(证明需基于明确命题)，也是后续 “如何证明” 的逻辑前提，体现新课标 “概念先行、逻辑递进” 的编写理念。
学情分析 学生已知道 “证明需有理有据”，但存在三大认知空白：一是对 “定义” 的 “规范性” 认识不足，易将日常描述与数学定义混淆；二是难以区分 “命题” 与非命题，且对 “全等三角形面积相等” 这类无 “如果… 那么…” 形式的命题，拆分 “条件”与 “结论”时易出错；三是构造反例的能力薄弱，如判断 “两个角相等则是对顶角” 为假命题时，想不到 “两直线平行时的同位角” 这一反例，个体差异集中在 “命题结构拆分” 与 “反例构造” 上。
教学目标 1.理解定义、命题的概念，能区分命题与非命题；掌握命题 “条件—结论” 的结构，能将非规范形式命题转化为 “如果… 那么…” 形式；能判断命题真假并构造反例； 2.通过辨析生活与数学语句、拆分命题结构，经历 “概念建构—辨析应用—验证反思” 的过程，提升逻辑分析能力； 3.发展推理意识，初步形成 “先明确定义、再分析命题、后判断真假” 的逻辑思维路径； 4.体会数学定义的严谨性与命题的逻辑性，感受 “反例” 在反驳假命题中的简洁价值，培养科学的认知态度。
教学重点 1.理解命题的概念，能区分命题与非命题，准确拆分命题的条件与结论； 2.能判断命题的真假，并为假命题构造合理的反例。
教学难点 将 “同位角相等”“矩形的对角线相等” 等非 “如果… 那么…” 形式的命题，转化为规范的 “如果… 那么…” 形式，准确识别其中的条件与结论。
教法与学法分析 教法采用 “案例辨析法 + 结构化拆解”：以生活语句与数学语句对比辨析命题，用 “划线标注法”(条件下划线、结论波浪线)拆解命题结构；学法以 “自主判断 + 小组合作” 为主，如独立区分命题与非命题、小组讨论非规范命题的转化方法，在互动中突破难点，契合新课标 “学生主体、实践辨析” 理念。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景创设 展示两组对话：① 生活场景：甲说 “那个东西是‘笔’”，乙说 “我觉得它像‘筷子’” ② 数学场景：甲说 “这个图形是‘直角三角形’”，乙说 “它有一个角是 90°，肯定是” (1)为什么生活对话会有争议，数学对话能达成共识？ (2)请判断以下语句是否对 “事情作出了判断”：①“什么是直角三角形？”②“直角三角形有一个角是 90°”③“画一个直角三角形”； 对事情作出判断的语句有什么作用？ 答案 生活场景中 “笔” 的描述无统一标准(定义)，数学场景中 “直角三角形” 有明确定义，定义能规范术语含义，避免争议； ①是疑问句(未判断)、②是判断句(作出判断)、③是祈使句(未判断)； 对事情作出判断的语句(如②)是后续分析、证明的基础。 展示生活与数学对话对比，提问争议原因及语句判断作用，引导聚焦 “定义规范” 与 “判断语句”。 发现生活对话无统一标准，数学对话因定义达成共识，区分判断与非判断语句，感知判断语句的证明价值。 以认知冲突引入，初步建立 “定义规范认知、判断语句为证明基础” 的意识。
探究活动一： 为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义(definition). 例如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义。 “两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。 “无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义。 “有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。 讲解定义的内涵(规范术语含义)，结合实例说明定义的作用，引导归纳定义的核心特征。 分析实例，理解定义对术语的明确规定，明确定义是共识的前提，避免认知歧义。 落实 “定义” 概念，为后续命题分析奠定规范术语基础。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 尝试思考： 下列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？ (1)任何一个三角形一定有一个角是直角： (2)对顶角相等； (3)无论n为怎样的自然数，式子的值都是质数； (4)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (5)你喜欢数学吗？ (6)作线段AB=CD。 解：上面语句中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断；语句(5)(6)没有对事情作出判断. 归纳总结：判断一件事情的句子，叫作命题。 例如上面语句中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断，它们就是命题； 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题，如(5)(6)。 注意： (1)只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题。如：相等的角是对顶角。 (2)如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。如：画线段AB=CD。 呈现语句辨析任务，引导判断是否对事情作判断，归纳命题定义，强调 “判断对错不影响命题属性”。 区分命题与非命题，明确疑问句、祈使句非命题，判断句(无论对错)均为命题。 突破 “命题识别” 重点，建立 “命题即判断句” 的核心认知。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 思考交流： 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结构特征呢？与同伴进行交流。 (1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； (2)如果a=b，那么; (3)如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。 共同特征：都是由两部分组成，都是“如果……那么……”的形式． 归纳总结：一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 命题的组成： 展示规范命题，引导观察 “如果… 那么…” 结构，拆解条件与结论，示范非规范命题的转化方法。 掌握 “如果” 后为条件、“那么” 后为结论，尝试将 “对顶角相等” 等转化为规范形式，准确拆分结构。 突破 “非规范命题转化” 难点，掌握命题的核心组成。
环节四：拓展应用 探究活动四： 例题精： 指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？ (1)如果两个角相等，那么它们是对顶角； (2)如果a≠b， b≠c，那么a≠c； (3)全等三角形的面积相等； (4)三角形三个内角的和等于180°. 解：(1)中的条件是两个角相等，结论是它们是对顶角；(2)中的条件是a≠b， b≠c，结论是a≠c；(3)中的条件是两个三角形全等，结论是它们的面积相等；(4)中的条件是有一个三角形，结论是它的内角和等于180°. 命题(1)(2)是错误的，举一个反例即可判断． 归纳总结： 正确的命题称为真命题(true proposition)，不正确的命题称为假命题(alseproposition ). 要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例(counter example)。 布置命题真假判断任务，引导用反例反驳假命题，归纳真 / 假命题定义及反例作用。 判断命题真假，为假命题构造反例，理解反例的否定价值。 落实 “真假命题判断” 重点，培养用反例验证的推理意识。
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.对于命题“如果a2>b2，那么a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 (　　) A.a=3，b=-2B.a=-2，b=3C.a=3，b=2D.a=-3，b=2 2.下列语句中，是定义的是 (　　) A.连接A，B两点 B.等角的余角相等吗 C.内错角相等，两直线平行D.整数与分数统称为有理数 3.能说明命题：“若两个角α，β互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是　　　　　　　。 4.把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并判断其真假。 (1)等角的补角相等; (2)不相等的角不是对顶角; (3)相等的角是内错角。 5.判断下列命题是真命题还是假命题，是假命题的举反例加以说明。 (1)如果AB=2BC，那么C是AB的中点; (2)三条线段分别为a，b，c，如果a+b>c，那么这三条线段一定能组成三角形; (3)三角形的内角和等于180°; (4)如果|a|=|b|，那么a=b。 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 定义：对术语含义的明确规定，规范认知，避免歧义(如 “有两边相等的三角形叫等腰三角形”)； 命题：判断一件事情的句子，分命题(判断句)与非命题(疑问句、祈使句等)； 命题结构：由条件(已知事项)和结论(推断事项)组成，可转化为 “如果… 那么…” 形式； 命题分类：真命题(正确命题)、假命题(错误命题)，假命题可通过反例(满足条件但不满足结论的实例)反驳。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 7.2认识证明第1课时 定义： 命题： 命题的组成：题设和结论 命题的分类：真命题与假命题 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.下列语句是命题的是(　 　) A.你喜欢数学吗？ B.小明是男生 C.太和香椿 D.加强体育锻炼 2.下列语句中，不是命题的是(　 　) A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.作角A的平分线 D.内错角相等 3.下列四个命题中，是真命题的是(　 　) A.三角形中至少有两个锐角 B.内错角相等 C.三角形的一个外角大于任何一个内角 D.两直线平行，同旁内角相等 4.下列命题中，说法错误的个数有(　 　) ①等角的余角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③相等的角是对顶角； ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫做这个点到这条直线的距离. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 能力提升： 5.对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是(　 　) A.a＝2 B.a＝－3 C.a＝－ D.a＝0 6.对于命题“若m2＞9，则m＞3”，下列m的值能说明该命题是假命题的是(　 　) A.m＝－4　　 B.m＝－3　 C.m＝3　　 D.m＝4 7.给出下列语句： ①如果两个角都是50°，那么这两个角是对顶角；②直角三角形一定不是轴对称图形； ③画线段AB＝5 cm；④延长线段AB至点C，使AB＝BC；⑤明天下雨吗？ 其中是命题的个数为　 　. 8.判断下列命题是真命题，还是假命题？如果是假命题，举一个反例. (1)若a2＞b2，则a＞b； (2)一个角的余角小于这个角. 9.指出下列命题的条件和结论. (1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行； (2)两条直线平行时没有交点； (3)锐角小于它的余角. 拓展迁移： 10.对于一个任意的四位数M，若M的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”.例如：四位数3 197，因为3＋7＝1＋9，所以四位数3 197是稳定数. (1)填空：2 025　 　稳定数(填“是”或“不是”)； (2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数； (3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由.
教学反思 本节课通过生活与数学场景对比，有效帮助学生理解定义的规范性与命题的判断属性，多数学生能区分命题与非命题、判断简单命题的真假。但存在两点不足：一是非规范命题的转化仍有困难，如 “对顶角相等” 转化为 “如果两个角是对顶角，那么它们相等” 时，部分学生误将 “相等” 当作条件；二是反例构造不够精准，如判断 “a ＞b 则 a＞b” 为假命题时，仅举 “a=-3，b=2” 却未说明 “(-3) =9＞4=2 ，但 - 3＜2” 的逻辑链。后续需设计 “命题转化专项练习”、“反例构造模板”(先满足条件、再否定结论、最后验证)，强化逻辑表达，进一步夯实命题认知，为下节课证明规范铺垫。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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分课时学案
课题 7.2认识证明第1课时 单元 第七单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解定义、命题的概念，能区分命题与非命题；掌握命题 “条件—结论” 的结构，能将非规范形式命题转化为 “如果… 那么…” 形式；能判断命题真假并构造反例； 2.通过辨析生活与数学语句、拆分命题结构，经历 “概念建构—辨析应用—验证反思” 的过程，提升逻辑分析能力； 3.发展推理意识，初步形成 “先明确定义、再分析命题、后判断真假” 的逻辑思维路径； 4.体会数学定义的严谨性与命题的逻辑性，感受 “反例” 在反驳假命题中的简洁价值，培养科学的认知态度。
重点 1.理解命题的概念，能区分命题与非命题，准确拆分命题的条件与结论； 2.能判断命题的真假，并为假命题构造合理的反例。
难点 将 “同位角相等”“矩形的对角线相等” 等非 “如果… 那么…” 形式的命题，转化为规范的 “如果… 那么…” 形式，准确识别其中的条件与结论。
教学过程
导入新课 情景创设 展示两组对话：① 生活场景：甲说 “那个东西是‘笔’”，乙说 “我觉得它像‘筷子’” ② 数学场景：甲说 “这个图形是‘直角三角形’”，乙说 “它有一个角是 90°，肯定是” (1)为什么生活对话会有争议，数学对话能达成共识？ (2)请判断以下语句是否对 “事情作出了判断”：①“什么是直角三角形？”②“直角三角形有一个角是 90°”③“画一个直角三角形”； 对事情作出判断的语句有什么作用？
新知讲解 探究活动一： 为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的_____________ 例如:“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义。 “两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“ ”的定义。 “无限不循环小数称为无理数”是“ ”的定义。 “有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“ ”的定义。 探究活动二： 尝试思考： 下列语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？ (1)任何一个三角形一定有一个角是直角： (2)对顶角相等； (3)无论n为怎样的自然数，式子的值都是质数； (4)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (5)你喜欢数学吗？ (6)作线段AB=CD。 归纳总结: 命题：_______________________________________________________ 探究活动三： 思考交流： 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结构特征呢？与同伴进行交流。 (1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； (2)如果a=b，那么; (3)如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。 探究活动四： 尝试思考： 指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？ (1)如果两个角相等，那么它们是对顶角； (2)如果a≠b， b≠c，那么a≠c； (3)全等三角形的面积相等； (4)三角形三个内角的和等于180°.
课堂练习 巩固训练 1.对于命题“如果a2>b2，那么a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 (　　) A.a=3，b=-2B.a=-2，b=3C.a=3，b=2D.a=-3，b=2 2.下列语句中，是定义的是 (　　) A.连接A，B两点 B.等角的余角相等吗 C.内错角相等，两直线平行D.整数与分数统称为有理数 3.能说明命题:“若两个角α，β互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是　　　　　　　。 4.把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并判断其真假。 (1)等角的补角相等; (2)不相等的角不是对顶角; (3)相等的角是内错角。 5.判断下列命题是真命题还是假命题，是假命题的举反例加以说明。 (1)如果AB=2BC，那么C是AB的中点; (2)三条线段分别为a，b，c，如果a+b>c，那么这三条线段一定能组成三角形; (3)三角形的内角和等于180°; (4)如果|a|=|b|，那么a=b。
作业布置 基础达标： 1.下列语句是命题的是(　 　) A.你喜欢数学吗？ B.小明是男生 C.太和香椿 D.加强体育锻炼 2.下列语句中，不是命题的是(　 　) A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.作角A的平分线 D.内错角相等 3.下列四个命题中，是真命题的是(　 　) A.三角形中至少有两个锐角 B.内错角相等 C.三角形的一个外角大于任何一个内角 D.两直线平行，同旁内角相等 4.下列命题中，说法错误的个数有(　 　) ①等角的余角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③相等的角是对顶角； ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫做这个点到这条直线的距离. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 能力提升： 5.对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是(　 　) A.a＝2 B.a＝－3 C.a＝－ D.a＝0 6.对于命题“若m2＞9，则m＞3”，下列m的值能说明该命题是假命题的是(　 　) A.m＝－4　　 B.m＝－3　 C.m＝3　　 D.m＝4 7.给出下列语句： ①如果两个角都是50°，那么这两个角是对顶角；②直角三角形一定不是轴对称图形； ③画线段AB＝5 cm；④延长线段AB至点C，使AB＝BC；⑤明天下雨吗？ 其中是命题的个数为　 　. 8.判断下列命题是真命题，还是假命题？如果是假命题，举一个反例. (1)若a2＞b2，则a＞b； (2)一个角的余角小于这个角. 拓展迁移： 9.指出下列命题的条件和结论. (1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行； (2)两条直线平行时没有交点； (3)锐角小于它的余角. 10.对于一个任意的四位数M，若M的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”.例如：四位数3 197，因为3＋7＝1＋9，所以四位数3 197是稳定数. (1)填空：2 025　 　稳定数(填“是”或“不是”)； (2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数； (3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由.
参考答案：
巩固训练：
1.D　解析:因为当a=-3，b=2时，满足a2>b2，但不满足a>b，所以利用a=-3，b=2可说明这个命题是假命题。故选D。
2.D　解析:A.连接A，B两点，不是定义，不符合题意;B.等角的余角相等吗，不是定义，不符合题意;C.内错角相等，两直线平行，不是定义，不符合题意;D.整数与分数统称为有理数，是定义，符合题意。故选D。
3.α=90°，β=90°　解析:若两个角α，β互补，则这两个角不一定是一个锐角一个钝角，如α=90°，β=90°。
4.解:(1)如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等。该命题是真命题。
(2)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。该命题是真命题。
(3)如果两个角相等，那么这两个角是内错角。该命题是假命题。
5.解:(1)假命题，如:当点C在AB的延长线上，且AB=2BC，C不是AB的中点。
(2)假命题，如:当a=5，b=1，c=3时，5+1>3，但长为5，1，3的三条线段不能组成三角形。
(3)真命题。
(4)假命题，如:当a=2，b=-2时，
|a|=|b|，但a≠b。
作业设计：
1.B　2.C　3.A　4.D　5.B　6.A　7.2
8.解：(1)假命题，例如，(－2)2＞12，但－2＜1.
解：(2)假命题，例如，30°角的余角是60°，而60°＞30°.
9.解：(1)条件为两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论为这两条直线平行.
解：(2)条件为两条直线平行，结论为这两条直线没有交点.
解：(3)条件为这个角是锐角，结论为这个角小于它的余角.
10.解：(1)∵2＋5＝7≠0＋2，∴2 025不是稳定数.
解：(2)设十位数字为a，个位数字为b，
根据题意，得1＋b＝9＋a，
∴b－a＝8，∴或
∴所求的稳定数为1 908或1 919.
(3)是假命题，反例如下：四位数2 817与2 222都是稳定数，它们的和等于5 039，
然而四位数5 039不是稳定数，
∴“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题.
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