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第2章　圆
2．1 圆的对称性
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D
1．下列说法中，错误的有(　　)
①弦是直径；②长度相等的两条弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④直径是圆的对称轴；⑤圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合；⑥优弧一定比劣弧长．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．[2025永州月考]如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB＝40°，则∠C的度数为(　　)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
C
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3. 如图，在⊙O中，弦有________，直径是________，劣弧有______________________，优弧有___________________________，半圆有____________，若图中最长的弦为12，则⊙O的面积为________．
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AC，CB
CB
36π
4. 我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”(即直角形状的曲尺，如图①所示)的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图②所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，
则“矩”的顶点C的运动
路线将会是一个圆．
依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：______________________
________________．
圆是所有到定点的距离等
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于定长的点的集合
5. 如图所示的三个圆是同心圆，那么图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
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6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，CD⊥AB于点D.
(1)若以点C为圆心，6为半径作⊙C，试判断点A，D，B与⊙C的位置关系；
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(2)若以点C为圆心作⊙C，使A，D，B三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙C的半径r的取值范围．
7. 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是(　　)
A．菱形、平行四边形
B．矩形、正方形
C．正方形、菱形
D．矩形、平行四边形
B
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【答案】 C
【点易错】连接OA，OF.∵点A、点F都在半圆O上，∴OA＝OF.∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，∴∠ABC＝∠DCB＝∠FEC＝90°，BC＝CD＝AB＝3，CE＝EF＝2.设OC＝x，则BO＝3－x，OE＝
x＋2.在Rt△ABO和Rt△EFO中，AB2＋BO2＝AO2，
OE2＋EF2＝OF2，
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【答案】 B
10. 已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为m，且二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有2个交点，则点P与⊙O的位置关系为______________．
点P在⊙O内
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12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD.
(1)过点D作DF⊥AC于点F，过点A作AE⊥BD于点E，求AE，AF的长；
(2)以点A为圆心画圆，使B，C，D，E，F 5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，并求⊙A的半径r的取值范围．
【证明】画图答案不唯一，如图所示．
由(1)可得AE＜AB＜AF＜AD＜AC.
若以点A为圆心画圆，B，C，D，E，F 5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，则点E必在圆内，点D，C必在圆外．
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13．【问题提出】如图①，在△ABC与△ADE中，AB＝2AC，AD＝2AE，∠BAC＝∠DAE，若BD＝7，则CE＝________；
【问题解决】如图②，市政部门计划修建四边形绿地ABCD，要求AB＝100米，∠BCD＝90°，CB＝CD，∠ADC＝135°，在四边形绿地ABCD中修建直道AC，将绿地分为两个三角形区域，E为AB的中点，以BE为斜边在△ABC内部修建一个等腰直角三角形水池EFB用作放养锦鲤，△ABC内部其他区域种植鲜花，△ADC内
部铺设草坪作为宠物活动区．
①求鲜花区的最大面积．
②在①的条件下，计算宠物活动区△ADC的占地面积．
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第2章　圆
2．4 过不共线三点作圆
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D
1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
C
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3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(3，6)，B(1，4)，C(1，0)，则△ABC外接圆圆心的坐标是(　　)
A．(4，2)
B．(4，3)
C．(5，3)
D．(5，2)
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D
4．如图，A，O在网格中小正方形的顶点处，每个小正方形的边长为1，在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B，C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是________．
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【点方法】三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部
6．已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为________时，过P，A，B不能作出一个圆．
(2，－2)
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7．如图是一个破损的轮子，已知弧上三点A，B，C.
(1)画出该轮子的圆心；
【解】如图所示，分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心.
(2)若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16 cm，腰AB＝10 cm，求该轮子未破损前的面积．
【解】如图，连接AO，OB，
设AO与BC交于点D.
易知OA垂直平分BC.
∵BC＝16 cm，∴BD＝8 cm.
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【点易错】利用等腰三角形的性质，结合勾股定理计算时，要就外心是否在三角形内部进行分类讨论，否则就会漏解．
【答案】 C
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【答案】 A
6
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11．BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆．
(1)如图①，点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．
【解】点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上．
理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
∴点D，E都在以BC为直径的圆上．
又∵M是BC的中点，
∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上．
(2)如图②，若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．
【解】如图，连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH.
∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，
∴CE⊥AB，易得AG⊥BC.
∵BH是⊙O的直径，
∴∠BAH＝∠BCH＝90°.
∴BA⊥AH，BC⊥CH.∴AG∥CH，AH∥CE.
∴四边形AFCH是平行四边形．∴AH＝CF＝6.
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12. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F.
(1)求证：BD＝BC；
【证明】如图，连接DC，
则∠BDC＝∠BAC＝45°.
∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，
∴∠BCD＝90°－∠BDC＝ 45°.
∴∠BCD＝∠BDC.∴BD＝BC.
(2)若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长．
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13. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．例：已知PA＝PB，则点P为△ABC的准外心(如图①)．
(2)如图③，若△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，准外心P在AC边上，试探究PA的长．
【解】∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴AC＝12.
若PB＝PA，连接PB.设PB＝PA＝x，则CP＝12－x，
在Rt△PBC中，PB2＝CP2＋BC2，即x2＝(12－x)2＋52，
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第2章　圆
*2.3 垂径定理
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A
1． 下列命题正确的有(　　)
①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；
②垂直于弦的直线平分弦；
③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；
④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；
⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(　　)
A．61°
B．63°
C．65°
D．67°
B
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D
4. 如图， AB是 ⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OB＝5，OC＝3，则 AP的长可能是______________．(写出一个符合条件的数值即可)
5(答案不唯一)
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5．[2025首师大附中月考]如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A过原点O，分别交y轴、x轴于点B，C.若点B的坐标为(0，6)，AB＝5，则点C的坐标为________．
(8，0)
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6. ⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为________．
7或1
【点拨】当AB，CD在点O异侧时，如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO，交CD于点F，连接OA，OC, 则AE＝BE.∵AB∥CD，∴OF⊥CD.∴CF＝DF.∵AB＝6，CD＝8，∴AE＝3，CF＝4.
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【点易错】在无图的题目中，要根据题意画出图形，思考要全面，避免忽略图的对称性而漏解．
7. 平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图，它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个弓形后与
矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN，
若⊙O的半径为25，AB＝36，BC＝14，
MN＝30，求该平底烧瓶的高度．
【解】如图，连接OB，OM，过点O作EF⊥BC，
交BC于点E，交MN于点F，则BE＝CE.
∵BC∥MN，∴EF⊥MN.∴MF＝NF.
∵BC＝14，MN＝30，∴BE＝7，MF＝15.
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【点拨】当题中未给出条件而给出的图形比较特殊时，不能想当然地认为结论成立．如本题图中看似CD平分线段OB，但并不能默认OE＝BE.
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【答案】C
5
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11. 根据素材解决问题．
设计货船通过拱桥的方案
素材1：有一座拱桥，如图①是其圆弧形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16 m，拱顶离水面的距离CD＝4 m.
　　
问题解决
任务1：求圆弧形桥拱的半径长.
设圆弧形桥拱的半径为r m，
则OD＝(r－4)m，
∴(r－4)2＋82＝r2，解得r＝10，
即圆弧形桥拱的半径长为10 m.
任务2：根据图②中的状态，货船能否通过拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
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12．如图，已知AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN为直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F.
(1)连接AM，则AM＝______，EF＝______．
7
(2)若点P是MN上一动点，试求PA＋PC的最小值．
【解】如图，作CH⊥AB于点H，连接BC交MN于点P′，连接P′A.易知PA＋PC的最小值为P′A＋P′C的值，即BC的长．
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(3)当点P在AB上运动时，(2)中的结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围．
【解】(2)中的结论不改变．
当点P在OB上时，作OH⊥MN于点H，连接OM，如图②，
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第2章　圆
2．2 圆心角、圆周角
2.2.2　圆周角
第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形的性质
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1. 小华用自制的“直角尺”检验半圆形工件是否合格，其中检验操作正确且半圆形工件合格的是(　　)
B
2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为(　　)
A．70°
B．60°
C．50°
D．30°
B
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3. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，PC是⊙O的直径，连接PA，PB，点M在AB的延长线上，若∠APC＝20°，则∠PBM＝(　　)
A．115° B．70° C．120° D．110°
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D
【答案】B
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5．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，∠BAC＝38°，则∠D的度数为________．
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128°
6. 如果一个圆的内接四边形的三个内角度数之比为1∶3∶5，则第四个内角的度数是_____________．
90°或157.5°
【点拨】设三个内角的度数为x，3x，5x，根据圆内接四边形的对角互补，得x＋5x＝180°，∴x＝30°.∴第四个内角的度数是180°－3x＝90°；或3x＋5x＝180°，∴x＝22.5°.∴第四个内角的度数是180°－x＝157.5°.
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(1)求证：BD＝ED；
(2)若∠ABC＝60°，AD＝5，求⊙O的半径．
【解】如图，连接DO并延长交⊙O于点F，连接CF，则∠FCD＝90°.
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∵AB＝2，AD＝1，∴AD＝OD＝OA＝1.∴△OAD为等边三角形．∴∠OAD＝60°.∴∠CAD＝∠CAB＋∠OAD＝30°＋60°＝90°；当AD与AC在直径AB的同侧，即点D在点D′处时，连接OD′.易知△OAD′为等边三角形，则∠OAD′＝60°，∴∠CAD′＝∠OAD′－∠CAB＝60°－30°＝30°.综上，∠CAD＝30°或90°.故选D.
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【点易错】在圆中根据已知弦长和弦的一个端点作这条弦时，往往有两条，分别位于已知的另一条弦的两侧，本题易因对弦的位置未分类讨论而致错．
【答案】 D
10．设圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直，对角线交于点E，圆心为点O，半径为13，OE＝2，则AC2＋BD2＝________.
1 336
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15°，1
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12. 如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE.
(1)求证：AC＝BC；
【证明】∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B，
∴∠B＝∠ACE.
∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE.
∴∠B＝∠BAC.∴AC＝BC.
(2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长．
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13．“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
(1)如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在
⊙O外，线段AD，CD分别与⊙O交于
点E，F，试猜想：∠B＋∠ADC_______
180°(填“>”“<”或“＝”)．
＜
【点拨】连接CE，如图①.∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠AEC＝180°.∵∠AEC>∠ADC，∴∠B＋∠ADC<180°.
(2)如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，此时(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明．
【解】 (1)中猜想的结论不成立，
此时∠B＋∠ADC＞180°.
证明：延长AD交⊙O于点E，连接CE，如图②.
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠E＝180°.
∵∠ADC>∠E，∴∠B＋∠ADC>180°.
(3)如图③，在凸四边形ABCD中，对角线BD的长为8，∠A＝30°，∠C＝150°，请直接写出四边形ABCD面积的最大值．
【解】四边形ABCD面积的最大值为64.
【点拨】∵四边形ABCD的内角和为360°，∠BAD＋∠BCD＝30°＋150°＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∴A，B，C，D四点共圆．作⊙O，如图③，连接OB，OD.∵∠BAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°.又∵OB＝OD，∴△BDO为等边三角形．
∴OB＝OD＝BD＝8.分别过点A，
C作AM⊥BD于点M，CN⊥BD于点N，
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第2章　圆
2．2 圆心角、圆周角
2.2.2　圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论1
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C
1．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(　　)
A．∠ADE
B．∠AFE
C．∠ABE
D．∠ABC
2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC＝18°，则∠A的度数为(　　)
A．18°
B．36°
C．72°
D．144°
C
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3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是(　　)
A．45°
B．60°
C．65°
D．70°
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【答案】D
4. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan ∠ADC的值为________．
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5．如图是一个直径为AB的量角器(半圆O)，零刻度落在点A，等腰直角三角形PQB如图放置，若点C在量角器上的读数为26°，则点D在量角器上的读数为________．
116°
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【点拨】如图，连接OC，OD.∵△PBQ是等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，∴∠PBQ＝45°，∴∠COD＝2∠PBQ＝90°.∵点C在量角器上的读数为26°.
∴∠AOC＝26°，
∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝116°，
∴点D在量角器上的读数为116°.
6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC.
(1)求证：AC＝CG；
【证明】∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°.
又∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G.
∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G.∴AC＝CG.
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7．如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，P为OB上一点(P不与B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是(　　)
A．70°
B．105°
C．125°
D．155°
【答案】D
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【答案】A
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9．某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔A，B，通告所有船只不要进入以AB为弦的弓形区域(阴影部分)内(含边界)，以免触礁．如图所示，现有一艘货轮P正向暗
礁区域靠近，当∠APB________时，
才能避开暗礁．
<55°
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10．如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→B→O的路线匀速运动，设∠APD＝y°，那么y与点P运动的时间x(s)的关系图是________．(填序号)
②
【点拨】当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y＝90，当点P在点C的位置时，易知y＝45，∴y由90逐渐减小到45；当点P沿C→B运动时，根据圆周角定理，可得y＝45，不变；当点P沿B→O运动时，y由45逐渐增加到90.
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11．如图所示，点A，B，C在⊙O上，且圆心O在△ABC外部，OD⊥BC交⊙O于点D.则下列结论：①∠ABC＝∠ADC；②BC＝2CD；③AD平分∠BAC；④AB＝CD.其中正确结论的序号是________．
①③
【点拨】根据在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠ABC＝∠ADC，故①正确；如图，设OD，BC的交点为E，∵OD⊥BC，∴∠CED＝∠BED＝90°，∴CD为Rt△CED的斜边，
∴CD>CE.易得BE＝CE，
∴2CD>BC，故②错误；
∵BE＝CE，∠DEB＝∠DEC＝90°，DE＝DE，∴△BDE≌△CDE(SAS)，∴BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC，故③正确；设AD，BC的交点为F，∵∠ABF＝∠CDF，∠BAF＝∠DCF，∴△ABF∽△CDF，故不一定能推出AB＝CD，故④错误．故答案为①③.
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13. 在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC所在直线翻折交AB于点D，连接CD.
(1)如图①，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径；
(2)如图②，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．
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(1)若BD＝5，求BF的长．
(2)设G是BD的中点，探索：在圆O上是否存在一点P(不同于点B)，使得PG＝PF？并说明理由．
【解】在圆O上存在一点P，使PG＝PF.理由：如图，过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P.
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∴PG＝PF，即在圆O上存在一点P，使PG＝PF.(共42张PPT)
第2章　圆
2．2 圆心角、圆周角
2.2.1　圆心角
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B
1．下列图形中的角是圆心角的是(　　)
2．下列说法中，正确的是(　　)
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．相等的圆心角所对的弦相等
D．相等的弦所对的圆心角相等
B
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3．[2025长沙望城区月考]如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于(　　)
A．100°
B．110°
C．120°
D．135°
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C
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，以点C为圆心，BC长为半径的圆分别交AB，AC于点D，E，则弧BD所对的圆心角的度数为________．
40°
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3
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∵OB＝OC，∠BOC＝36°，∴∠OBC＝72°＝∠AOB.∴BC∥AD，故③正确．∵∠AOB＝∠COD＝72°，∴AB＝CD，故④正确．综上，正确结论的个数是3.
6. 如图，点A、点B、点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC.若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝________.
20°
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3
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8．如图，分别过⊙O的直径AB上的点M，N作弦CD，EF，若CD∥EF，AC＝BF.求证：
(2)AM＝BN.
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【答案】 B
D
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【答案】 B
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105°或15°
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点C的位置有两种情况，如图①时，∠BAC＝∠CAO＋∠OAB＝60°＋45°＝105°；如图②时，∠BAC＝∠CAO－∠OAB＝60°－45°＝15°.综上，∠BAC的度数为105°或15°.
13. 如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示的位置，第2秒点P位于点B的位置，…，则第2 025秒点P所在位置的坐标为________．
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14．如图，⊙O的半径为10，A，E，B三点均在圆上，∠AOB＝45°，点C，D分别在OB，OA上．若四边形OCED为菱形，则菱形OCED的面积为____________．
【点拨】如图，连接OE，CD交于点G，过点D作DF⊥OB于点F，则∠DFO＝∠DFC＝90°.∵∠AOB＝45°，∴△ODF是等腰直角三角形．
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【解】如图，作A关于MN的对称点A′，
根据圆的对称性，得A′必在圆上，
连接BA′交MN于P，则PA＝PA′，
∴PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，
此时PA＋PB的值最小，最小值为A′B的长．
连接OA，OA′，OB.
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16．如图，在⊙O中，AB为直径，CD与AB交于点E，CD＝CB，过点O作OF∥CD，交BC于点F.
(1)求证：CO平分∠DCB；
(2)若⊙O的半径为6，CF＝4，求EC的长；
【解】如图，过O作ON⊥BC于N，∴CN＝BN.∵OF∥CD，∴∠DCO＝∠FOC，△BFO∽△BCE.∵∠DCO＝∠BCO，∴∠FOC＝∠FCO，∴CF＝OF＝4.又∵OC＝6，∴42－FN2＝ON2＝62－(4＋FN)2.
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