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第十八章 分式
18.3 分式的加法与减法
（第1课时）
1．掌握同分母的分式加减法的法则，能熟练地进行同分母的分式加减法的运算．
2．会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减．
1．什么是分式的通分？
2．什么是几个分式的最简公分母？
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母．
与类比分数的乘法与除法学习分式的乘法与除法一样，我们类比分数的加法与减法，学习分式的加法与减法．
思考：观察下列分数加减运算的式子．
，，
，．
分数的加减法法则：
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减．
你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
分式的加减法与分数的加减法实质相同．类似分数的加减法，分式的加减法法则是：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
上述法则可用式子表示为
，
．
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
例1：计算．
（1）； （2）．
解：（1）
＝
＝
＝；
结果要化成最简分式或整式．
　　分母互为相反数，可先同时改变分式及分母的符号，变成同分母分式，再按照法则计算．
例1：计算．
（1）； （2）．
解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝1．
例1：计算．
（1）； （2）．
解：（1）
＝
＝
＝；
例2：计算．
（1）； （2）．
解：（1）＝＝；
（2）＝
＝
＝＝
＝
＝．
计算异分母的分式相加减的步骤
（1）通分：将异分母的分式转化成同分母的分式；
（2）加减：写成分母不变、分子相加减的形式；
（3）合并：分子去括号、合并同类项；
（4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．
【知识技能类练习】必做题：
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：(1)； (2)．
解：（1）原式
.
（2）原式
【知识技能类练习】选做题：
4．八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ．
2
【综合拓展类练习】
5．下面是老师出示的一道习题及其举出的错误的解答过程．
计算：
①
②
③
(1)该过程是从第________（填序号）步开始出现错误的；
(2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值．
①
【综合拓展类练习】
解：（2）
，
分式的分母不为，
，
，
当时，
原式 ．
分式的加减
异分母分式的加减法
同分母分式的加减法
分式的加减法法则
【知识技能类作业】必做题：
1．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．如果，那么代数式与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：(1)； (2)．
解：（1）
；
（2）
．
【知识技能类作业】选做题：
4．是物理学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与分支电阻的关系，其中表示总电阻，表示分支电阻．若用表示，则 ．
【综合拓展类作业】
5．下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题：
小明的作业
第一步
第二步
第三步
第四步
(1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________；
二
漏掉了分母
(2)已知，求的值．
【综合拓展类作业】
解：（2）



，
由 得
故原式．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第六课时《18.3 分式的加法与减法（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 “分式的加法与减法”是人教版八年级上册第18章第3节的核心内容，在初中数学代数运算体系中承上启下、至关重要。从知识衔接看，它以学生已掌握的分数加减法、分式基本性质及因式分解为基础，既是对分数运算的拓展与深化，也延续了分式乘除法“类比分数运算”的学习逻辑，完善了分式运算的知识框架，为后续学习分式混合运算、分式方程及反比例函数相关计算奠定关键运算基础。从能力培养看，本节课通过“异分母分式通分转化为同分母分式”的过程，强化学生“转化与化归”的数学思想，提升代数式变形与逻辑推理能力，这些能力是后续学习二次根式运算、一元二次方程等内容的必备核心素养。同时，作为初中阶段代数式运算的重要组成，分式加减法也是解决实际问题中复杂数量关系的重要工具，直接关联数学知识与现实应用的衔接。
学习者分析 学生已掌握分数加减法法则、分式基本性质及因式分解基础，具备“类比旧知学习新知”的认知经验，能较快理解同分母分式加减法法则，这是学习本课的有利条件。但学生也存在明显认知难点：一是易混淆分数与分式的运算差异，可能忽略分式分母不能为零的限制；二是异分母分式通分时，寻找最简公分母尤其含多项式分母时需结合因式分解，学生易因因式分解不熟练或符号处理不当出错；三是运算过程中易出现分子相加减时漏括号、通分后分子化简不彻底等细节问题，需在教学中通过针对性示例与练习强化纠错，帮助学生突破认知障碍。
教学目标 1．掌握同分母的分式加减法的法则，能熟练地进行同分母的分式加减法的运算． 2．会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减．
教学重点 分式的加减法法则．
教学难点 异分母分式的加减法．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握同分母的分式加减法的法则，能熟练地进行同分母的分式加减法的运算． 2．会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是分式的通分？ 答案：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分． 2．什么是几个分式的最简公分母？ 答案：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母． 导言：与类比分数的乘法与除法学习分式的乘法与除法一样，我们类比分数的加法与减法，学习分式的加法与减法．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习分式的通分及最简公分母，为学习分式的加减法做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考：观察下列分数加减运算的式子． ，， ，． 你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？ 预设：分数的加减法法则： 同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减． 讲解：分式的加减法与分数的加减法实质相同．类似分数的加减法，分式的加减法法则是： 分式的加减法与分数的加减法实质相同．类似分数的加减法，分式的加减法法则是： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 上述法则可用式子表示为 ， ． 例1：计算． （1）；（2）． 解：（1） ＝ ＝ ＝； 注意：结果要化成最简分式或整式． 分析：分母互为相反数，可先同时改变分式及分母的符号，变成同分母分式，再按照法则计算． 解:（2） ＝ ＝ ＝ ＝1． 例2：计算． （1）； （2）． 解：（1）＝＝； （2）＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝． 归纳：计算异分母的分式相加减的步骤 （1）通分：将异分母的分式转化成同分母的分式； （2）加减：写成分母不变、分子相加减的形式； （3）合并：分子去括号、合并同类项； （4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．学生活动3： 活动意图说明： 通过思考分数的加减法运算，引导学生类比得出分式加减法的运算法则，并通过例题，提高学生的计算能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：18.3分式的加法与减法（第1课时）一、同分母分式的加减法 二、异分母分式的加减法教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算：（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．计算的结果是（ ）． A． B． C． D． 答案：D 3．计算： (1)； (2)． 解：（1）原式 . （2）原式 . 选做题： 4．八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 答案：2 【综合拓展类练习】 5．下面是老师出示的一道习题及其举出的错误的解答过程． 计算： ① ② ③ (1)该过程是从第________（填序号）步开始出现错误的； (2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值． 解：（1）去分母是解方程的变形方法，在整式加减法中应该通分，化为同分母分式进行加减，所以第①步中使用了去分母错误， 故答案为：①； （2） ， 分式的分母不为， ， ， 当时， 原式 ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算的结果为（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如果，那么代数式与之间的关系是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．计算： (1)； (2)． 解：（1） ； （2） ． 选做题： 4．是物理学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与分支电阻的关系，其中表示总电阻，表示分支电阻．若用表示，则 ． 答案： 【综合拓展类作业】 5．下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 第一步 第二步 第三步 第四步
(1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 解：（1）根据题意，得第二步出现错误，漏了分母， 故答案为：二；漏掉了分母． （2） ， 由 得 故原式．
教学反思 本节课通过类比分数加减法引入分式运算法则，契合八年级学生认知特点，多数学生能掌握同分母分式加减运算，但异分母分式通分仍是难点．教学中虽分层示范了通分步骤，却忽略部分学生因式分解基础薄弱的问题，导致其寻找最简公分母时受阻，且分子相加减漏括号、符号处理失误等细节错误频发．课堂练习分层不足，未能兼顾不同层次学生需求．后续需课前铺垫因式分解知识，设计易错点专项练习，优化练习梯度，强化规范运算意识，提升教学实效．
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同步探究学案
课题 18.3 分式的加法与减法（第1课时） 单元 第十八章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．掌握同分母的分式加减法的法则，能熟练地进行同分母的分式加减法的运算． 2．会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减．
重点 分式的加减法法则．
难点 异分母分式的加减法．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是分式的通分？ 2．什么是几个分式的最简公分母？
新知探究 本节课来研究： 本节我们我们类比分数的加法与减法，学习分式的加法与减法。 思考：观察下列分数加减运算的式子． ，， ，． 你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？ 归纳：分式的加减法与分数的加减法实质相同．类似分数的加减法，分式的加减法法则是： 分式的加减法与分数的加减法实质相同．类似分数的加减法，分式的加减法法则是： 同分母分式相加减，分母_______，把分子相________； 异分母分式相加减，先________，变为同分母的分式，再________． 上述法则可用式子表示为 ， ． 例1：计算． （1）； （2）． 分析：（1）结果要化成最简分式或整式．（2）分母互为相反数，可先同时改变分式及分母的符号，变成同分母分式，再按照法则计算． 例2：计算． （1）； （2）． 归纳：计算异分母的分式相加减的步骤 （1）通分：将异分母的分式转化成同分母的分式； （2）加减：写成分母不变、分子相加减的形式； （3）合并：分子去括号、合并同类项； （4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算：（ ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（ ）． A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)． 选做题： 4．八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 【综合拓展类练习】 5．下面是老师出示的一道习题及其举出的错误的解答过程． 计算： ① ② ③ (1)该过程是从第________（填序号）步开始出现错误的； (2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算的结果为（ ） A． B． C． D． 2．如果，那么代数式与之间的关系是（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)． 选做题： 4．是物理学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与分支电阻的关系，其中表示总电阻，表示分支电阻．若用表示，则 ． 【综合拓展类作业】 5．下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 第一步 第二步 第三步 第四步
(1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值．
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