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第十八章 分式
18.2 分式的乘法与除法
第1课时 分式的乘除
目
录
1. 学习目标
4. 知识点1 分式的乘法
6. 课堂小结
3. 新课导入
7. 当堂小练
CONTENTS
8. 对接中考
9. 拓展与延伸
2. 知识回顾
5. 知识点2 分式的除法
1. 通过对分数的乘除法法则的抽象，得到分式的乘除法法则，体会类比、转化思想以及准确的语言表达能力.
2. 能熟练运用分式的乘除法法则进行计算，并能够利用分式的乘除运算解决实际问题，提高应用意识.
学习目标
知识回顾
分式的约分：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
最简分式：
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
分式的通分：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
最简公分母：
通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母.
知识回顾
填空：
1. ________；
2. ________；
3. ；
4. .
你还记得分数的乘除法法则吗？
新课导入
思考
分数的乘法法则：
分数乘分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.
示例：（b， d不为0）.
分数的除法法则：
除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数.
示例：（b， c， d 不为0）.
类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗
新课讲解
知识点1 分式的乘法
分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
用式子表示：
分式的乘法示例：
分母相乘
分子相乘
约分化为最简分式
最简分式
分式的乘法法则：
新课讲解
例
1. 计算：(1) ·； (2) ·(－4xy2)； (3) ·.
解：(1) ·＝＝；
(2) ·(－4xy2)＝－·4xy2＝－；
(3) ·＝·＝.
先确定结果的符号
分子或分母是多项式时，先分解因式.
新课讲解
练一练
1. 计算：(1) ·=________.
(2) ·=________ .
新课讲解
练一练
2. 计算：·.
新课讲解
知识点2 分式的除法
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
用式子表示：
分式的除法示例：
约分化为最简分式（整式）
除号变为乘号
分子、分母颠倒位置
最简分式
分式的除法法则：
新课讲解
1. 分式的除法与分数的除法类似，可类比分数的除法计算.
2. 当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算.
3. 分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式（或被除式）是整式，
可把它看作分母是1的“分式”，然后按分式的乘除法法则运算.
注意
新课讲解
例
2. 计算：(1) ÷； (2) ÷(－2xy2)；
(3) ÷.
解：(1) ÷＝·＝＝－；
(2) ÷(－2xy2)＝·＝－＝－；
(3) ÷＝·
＝＝－.
新课讲解
例
3. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1) m的正方形，两块试验田都收获了500kg小麦.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2，单位面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2，单位面积产量是 kg/m2；
因为a>1，所以(a-1)2-(a2-1)=(a2-2a+1)-(a2-1)=-2(a-1)<0，
即(a-1)2所以 ＜ .
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
新课讲解
例
3. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1) m的正方形，两块试验田都收获了500kg小麦.
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：(2)
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍.
新课讲解
练一练
1. 计算 ÷(－) 的结果为( )
A．a B.－a C. － D.
2. 计算 ÷ 的结果为________.
B
新课讲解
练一练
3. 计算：÷.
新课讲解
分式乘、除运算的步骤：
新课讲解
分式的乘除法重点
1. 分式与分式相乘，①若分子与分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，将结果化为最简分式或整式；②若分子、分母是多项式，则先将分子、分母分解因式，再相乘，且其结果要化简为最简分式或整式.
2. 分式和整式相乘，只需要把整式（看作分母为1的式子）与分式的分子相乘，用其结果作为积的分子，分母不变；当整式是多项式时，同样要先分解因式.
3. 运用分式乘除法法则运算时，运算结果的符号的确定方法与分数的乘除的符号的确定方法相同，且其结果要通过约分化为最简分式或整式.
分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式（或被除式）是整式，可把它看作分母是1的“分式”，然后按分式的除法法则运算.
课堂小结
分式的运算
乘法
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
.
.
当堂小练
1. 计算：(1) (2) (3) (4)
解：(1)
(2)
.
(3)
.
(4)
1.
当堂小练
解：(1) 原式 =
.
2.计算.
(1)； (2) .
(2) 原式 =
.
当堂小练
3. 使式子 有意义的 的值可以是 ( )
C
A.3 B.4
C.5 D.
当堂小练
4. 式子 的值为，当为整数时，整数 的值有 ( )
B
A. 0个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个
解：由题意得
.
为整数，且为整数，
或或或，
或1或4或0或6或或10或.
又且 ，
且
或1或4或0或6或 或10，共有7个.
当堂小练
5. 大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
解：大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍.
当堂小练
则第次的运算结果是_ _________（用含有字母和 的代数式表示）.
解：根据题意，得； ；；…，
根据以上规律可得， .
6. 有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复这种运算的过程如下：
7. 如图，A玉米试验田是半径为 的圆去掉宽为 的环形出水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为 的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收了 .
(1) 哪块玉米试验田的单位面积产量高
(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍
当堂小练
解：(1) A玉米试验田的面积是 ，单位面积产量是 ；
B玉米试验田的面积是.单位面积产量是
，
. 玉米试验田的单位面积产量高.
(2) .
高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍.
(2) 上面的整式乘法的计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含， 的字母表示：________________________________；
对接中考
1. (1) 计算： _______，
_________；
(3) 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是 ( )
A
A. B.
C. D.
(4) 利用所学知识以及(2)所得等式，化简式子 .
解： .
对接中考
解：原式.要使原式有意义，则， .
又 的非负整数解为0，1，2，
只能取1.当时，原式 .
2. 先化简：，然后在不等式 的非负整数解中选择一个合适的数代入求值.
拓展与延伸
1. 在学习了分式的乘除之后，老师出了这样一道题，计算：
，同学们都感到无从下手，小明将变形为 ，然后用平方差公式很轻松地得出了结论.你知道他是怎么做的吗？
解：原式
.
拓展与延伸
2. (1) 计算： _______，
_________；
(2) 上面的整式乘法的计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含， 的字母表示：_________________________________；
(3) 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是 ( )
A
A. B.
C. D.
(4) 利用所学知识以及 (2) 所得等式，化简式子 .
解： .

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