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福建省莆田第十五中学2026届高三上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为等差数列，为其前项和若，公差，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.函数在区间内的零点个数为( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，对于任意的且，都有，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上奇函数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，若，则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.已知向量，，与不共线，向量，平分，则下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C. 向量，在上的投影向量相等
D.
11.已知定义在上的函数满足：，则( )
A. 是奇函数
B. 若，则
C. 若，则为增函数
D. 若，则为增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线在点处的切线过原点，则 ．
13.已知，则 ．
14.记表示，，中最小的数．设，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为数列的前项和，已知．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
证明：当时，．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
在边上取一点，使得，求的值．
18.本小题分
在平面四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
求证：；
若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 ： ： ： ： ： ： ： ： ：
水深米
已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，画出函数图象，并求出函数解析式；
现有一艘货船的吃水深度船底与水面的距离为米，安全条例规定至少要有米的间隙船底与海底的距离，该船何时能进入港口？参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
，
所以
故
所以
，
．

16.【详解】函数的定义域为，，
设，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
所以函数的增区间为，无减区间．
当时，要证，即证，
令，其中，则，
故函数在上单调递增，则，即，
故原不等式得证．

17.【详解】方法一：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以．
由正弦定理得．
方法二【最优解】：几何法
过点作，垂足为在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
方法一：两角和的正弦公式法
由于，，所以．
由于，所以，所以．
所以
．
由于，所以．
所以．
方法二【最优解】：几何法两角差的正切公式法
在的方法二的图中，由，可得，从而．
又由可得，所以．
方法三：几何法正弦定理法
在的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
方法四：构造直角三角形法
如图，作，垂足为，作，垂足为点．
在的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．

18.【详解】平面平面，平面平面，，平面，
平面，又平面，
．
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
由题意得，，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，即
令，解得，
所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．

19.【详解】由表中数据可画出函数图象如下．
由图象可知，，
函数的最小正周期为，可得，则，
又因为时取最大值，即，可得，则，
因为，故，故．
货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港．
令，可得，
所以，解得，
当时，；当时，，
所以该船在或时可以进入港口．

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