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第十七章 因式分解
17.1用提公因式法分解因式
知识讲解
01
知识点1 因式分解的定义
把一个多项式化成了几个 的 的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
整式的计算
因式分解
(x＋2)(x－2)＝
3(x ＋ y)＝
3x ＋ 3y
3x ＋ 3y＝
＝ (x＋2)(x－2)
整式
乘积
3(x ＋ y)
多项式中各项都有的公共的 叫作这个多项式各项的公因式．
知识点2 公因式
因式
知识点3 提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．
知识点4 提公因式的方法三步骤
①一看系数（系数取他们的最大公因数）
②二看字母（找相同字母）
③三看指数（ 指数取最低的）
例：找 的公因式
系数3：最大公约数
字母x：相同的字母
指数2：相同字母的最低次幂
例题讲解
02
考点1、因式分解的定义
例1、下列各式从左到右，属于因式分解的是（　B　）
A． 2a(m＋n)＝2am＋2an
B． a2－b2＝(a－b)(a＋b)
C． m(a＋b＋c)＝am＋bm＋cm
D． x2＋6x＋16＝x(x＋6)＋16
B
例2、对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，①属于 ，②属于 ．
(填“因式分解”或“整式乘法”)
考点1、因式分解的定义
因式分解
整式乘法
考点2 公因式
例1、填空
　　(1)多项式ma+mbc的公因式是 ；
　　(2)多项式a2b+a－6ac的公因式是 .
(3)多项式25a2 －5ab的公因式是 ；
　　(4)多项式4x2y＋4xy－2y2的公因式是 .
m
a
5a
2y
考点3、提公因式法进行简单的因式分解
例1、分解因式：
(1)ax－ay＝ ；
(2)x2＋3x＝ ；
(4)a2bc＋abc2－b＝ ；
(5)xyz－2y2＋yz＝ ．
a(x － y)
x(x＋3)
b(a2c＋ac2 － 1)
y(xz－y＋z)
考点3、提公因式法进行简单的因式分解
例2、分解因式：
　　(1)m2－12m; (2)ab2＋5a2b－b.
(1)解：原式＝m·m－m·12
＝m(m－12)．
(2)解：原式＝b·ab ＋ b·5a2 － b·1
＝b(ab ＋ 5a2 － 1)．
考点3、提公因式法进行简单的因式分解
例3、利用因式分解计算：
　　25×3.14＋85×3.14－31.4.
解：原式＝ 25×3.14＋85×3.14－3.14×10
＝3.14×(25＋85－10)
＝3.14×100＝314.
考点4、提公因式法进行复杂的因式分解
例1、分解因式：
　　 (1)4xy2 － xy；(2)6x3－4x2＋2x ；(3)4a3b2－12ab3c＋2a2b3.
解（1）原式＝xy·4y － xy·1
（2）原式＝2x·3x2－2x·2x＋2x·1
＝2x(3x2－2x＋1)．
（3）原式＝2ab2·2a2－2ab2·6bc＋2ab2·ab
＝2ab2(2a2－6bc＋ab)．
考点4、提公因式法进行复杂的因式分解
例2、分解因式：
(1)6(y－x)2＋3(y－x)3； (2)x(y2＋z2)－y(z2＋y2)；
(3)6a2(b－c)2＋8a(b－c)2 ； (4)2a(b－c)－3(c－b)；
解（1）原式＝3(y－x)2·2＋3(y－x)2·(y－x) ＝3(y－x)2(2＋y－x)．
（2）原式＝(y2＋z2)(x－y)．
（3）原式＝2a(b－c)2·3a＋2a(b－c)2·4＝2a(b－c)2(3a＋4)．
（4）原式＝2a(b－c) ＋ 3(b－c) (b－c)(2a＋3)．
考点4、提公因式法进行复杂的因式分解
例3、分解因式：
　　 (1)2xy(a－2)3 ＋2y(2－a)3；
(2)a2(6b－3)＋a(3－6b)．
解（1）原式＝2y(a－2)3·x － 2y(a－2)3·1
＝2y(a－2)3(x －1)．
（2）原式＝a2(6b－3)－a(6b－3)
＝3a(2b－1)·a－3a(2b－1)·1
＝3a(2b－1)(a－1)．
课堂总结
03
一、确定一个多项式公因式的方法：
①一看系数（系数取他们的最大公因数）
②二看字母（找相同字母）
③三看指数（ 指数取最低的）
二、利用提公因式法分解因式时应注意：
①公因式要提尽
②整项提出留下1
③提出负号要变号
课后作业
04
1、下列各式从左到右，属于因式分解的是（　B　）
B
A． x(x－y)＝x2－xy
B． x2－4＝(x＋2)(x－2)
C． 3(x－1)＝3x－3
D． (x＋1)2＝x2＋2x＋1
一、选择题
A
2、用提公因式法因式分解2x2－3xy时，应提取的公因式是（　A　）
A． x B． xy C． x2 D． 2y
二、填空题
1、下列式子中， 是因式分解， 是整式乘法．
(填序号)
①(x＋1)2＝x2＋2x＋1；②x＋12xy＝x(1＋12y)；
③a2－16＝(a＋4)(a－4)；④m2＋3m－2n＝m(m＋3)－2n；
⑤m2＋21m－3＝m(m+21- ) .
②③
①
2、(1)多项式6m2－22m3的公因式是 ；
　 (2)多项式3x2y2－18x2y4－6x3y3的公因式是 ；
　 (3)多项式2x(a－5)－y(5－a)的公因式是 ．
(4)如果多项式－ abc＋ ab2－a2bc的一个因式是－ ab，那么另
一个因式是 ．
（5）已知a，b分别是长方形的长和宽，且长方形的周长为12，面
积为8，则 a2b＋ ab2的值为 .
2m2
3x2y2
a－5或5－a
c－b＋5ac
24
三、解答题
1、分解因式：
(1)－9x2y＋36xy2－3xy；
(2)2x(x－y)2－(x－y)3；
(3)2a(x－y)－2b(y－x)．
解（1）原式＝－3xy(3x－12y＋1)．
（2）原式＝(x－y)2·2x－(x－y)2·(x－y)
＝(x－y)2(2x－x＋y)
＝(x－y)2(x＋y)．
（3）原式＝2a(x－y)＋2b(x－y) ＝2(x－y)(a＋b)．
2、先分解因式，再求值．　　
9a(a－b)－a(b－a)2，其中a＝－1，b＝2.
解：原式＝a(a－b)·9－a(a－b)·(a－b)
＝a(a－b)(9－a＋b)．
当a＝－1，b＝2时，
原式＝－1×(－1－2)×[9－(－1)＋2]＝－1×(－3)×12＝36.
3、若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等腰三角形．
理由如下：整理，得a＋2ab－c－2bc＝0.
∴(a－c)＋2b(a－c)＝0.
∴(a－c)(1＋2b)＝0.
∴a－c＝0或1＋2b＝0.
∴a＝c或b＝－ (舍去)．
∴△ABC是等腰三角形．
4、若20252 025－20252 023＝2026×2024×2025n，求n的值．
解：2 0252 025－2 0252 023＝2 0252 023×(2 0252－1)．
2026×2024×2 025n＝(2 025+1)×(2 025-1)×(2 02 ) ＝(2 0252－1)×2 025n.
∴2 0252 023×(2 0252－1)＝(2 0252－1)×2 025n.
∴2 0252 023＝2 025n.
∴n＝2 023.
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