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分式的基本性质
人教版八年级上册
复习回顾
一般地,用A、B表示两个整式, A÷B可以表示成 的形式，如果B中含有字母，那么称 为分式 . 其中A称为分式的分子，B称为分式的分母，对任意一个分式，分母都不能为零 .
B ≠ 0
B = 0
分式 有意义：
分式 无意义：
A = 0且B ≠ 0
分式 值为零：
分数的约分与通分
1.约分
约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数.
2.通分
先找分子与分母的最简公分母，再使分子与分母同乘最简公分母，计算即可.
如果把分数换为分式，又会如何呢？
复习回顾
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分数的 基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.
　2.这些分数相等的依据是什么？
1. 把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？
探经历类比、归纳分式基本性质的过程，理解并掌握分式的基本性质；
能辨别最简分式，会运用分式的基本性质对分式进行化简；
积累探究代数方面性质的数学活动经验，培养符号意识和严谨的思维模式。
学
习
目
标
重点
难点
素养
课标要求
下列分数是否相等？
　 这些分数相等的依据是什么？
　　分数的基本性质.
　　相等.
分式的基本性质
知识点 1
问题1：
探究新知
分数的基本性质：
　　一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．
你能叙述分数的基本性质吗？
问题2：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}长方形个数
1
2
m
m+n
总面积
总长
宽
2S
2a
S
a
mS
ma
(m+n)S
(m+n)a
示例：
分式的
基本性质
分母乘以x
分子乘以x
分母除以b2
分子除以b2
　　一般地，对于任意一个分数 有
其中a， b， c 是数．
你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？
问题3：
类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？
问题4：
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.
原因：分数的基本性质
即对于任意一个分数 有：
追问1 如何用式子表示分式的基本性质？
其中A，B，C
是整式.
例 填空：
（1） ， ；
【解析】（1）因为 的分母xy除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需要除以x，即. .
所以，括号中应填x2.
x2
?
?
2x
例 填空：

（2） ， .
【解析】（2）因为 的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即.
所以，括号中应填a.
?
?
a
2ab-b2
(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；
(2)所乘(或除以)的必须是同一个整式；
(3)所乘(或除以)的整式应该不等于零.
追问2　应用分式的基本性质时需要注意什么？
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为：
其中A,B,C是整式.
结论
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么?
(1)“都”
(2) “同一个”
(3) “不为0”
例 下列等式成立吗？右边是怎样从左边得到的？
解: (1)成立.
因为
所以
素养考点
分式的基本性质的应用
(2) 成立.
因为
所以
解：(1)正确．分子分母除以x ；
(2)不正确．分子乘x，而分母没乘；
(3)正确．分子分母除以(x -y)．
(1) （2） （3）
下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不正确，说明理由.
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
(1) ； (2) ；(3) ； (4) ．
解：
分式的分子、分母及分式的本身，任意改变其中的两个符号，分式的值不变；若只改变其中的一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．
结论
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号.
(1) (2) (3)
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
做一做
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
解：（1）因为y≠0，所以.
；
（2）因为x≠0，所以.
.
（1）
； （2）
.
例
素养考点
分式的基本性质
方法总结
应用分式的基本性质的两个步骤及三点注意
(1)两个步骤:①观察分析:对式子进行观察、分析,比较变形前后分式的分子或分母发生了怎样的变化,找到同乘(或除以)的_________;?
②应用性质:根据分析的结果,应用分式的基本性质进行变形.
　整式　
(2)三点注意:①注意分式变形前后的值要_________;?
②注意分式的分子和分母要同乘或同除以,不能只对分子或只对分母进行变形;
③所乘(或除以)的整式不能为_______.?
　相等　
　零　
填空：
知识点 2
约分
　　像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式如上例 ，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．　
观察上例中(1)中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？
分式的分子、分母约去公因式，值不变.
问题5：
方法总结
最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式,不能再约分.
判断的方法是把分子、分母分解因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.
在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
议一议：
结论
解：
素养考点
约分的应用
例 约分:
例 ， ；
思考 根据分数的约分，由例你能想出如何对分式进行约分吗？
约分的定义：
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义：
像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．
约分的方法：
①如果分式的分子、分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式；
②如果分子或分母是多项式，就要先对多项式进行因式分解，以便找出分母、分子的公因式，最后约分.
③约分结果为最简分式或整式.
归纳总结
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式.
解：
分式的化简
素养考点
例
化简下列分式:
下列分式中，是最简分式的是:　　　 (填序号).
(2)
(4)
解：
约分：
方法总结
关于约分的三点说明：
(1)根据:分式的基本性质.
(2)关键:确定分式分子与分母的公因式.
确定公因式的步骤:
①确定系数,取分子与分母系数的最大公约数;
②确定字母(因式),取分子与分母中都含有的字母(因式);
③确定字母(因式)的次数,都含有的字母(因式)的指数取次数最低的.
(3)结果:最简分式或整式.
通分
知识点 3
填空：
分母乘以2ac，根据分式的基本性质，分子也乘以2ac.
分母乘以3b，根据分式的基本性质，分子也乘以3b，整理得6ab-3b2
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
1. 通分的依据是什么？
2. 通分的关键是什么？
3. 如何确定n个分式的公分母？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
确定各分式的最简公分母.
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母.
想一想
思考 根据分数的通分，由例你能想出如何对分式进行通分吗？
通分的定义：
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
例 ， ；
为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫最简公分母.
最简公分母
各分母是单项式
3m的因式有3，m；2m2n的因式有2，m2，n。
6
m2
n
示例：
各分母中有多项式
x-y的因式有x-y；2x-2y的因式有2，x-y。
分母可分解因式为2（x-y）
最简公分母
2
（x-y）
解:(1)最简公分母是2a2b2c.
(2)最简公分母是(x + 5)(x－5).
例 通分：
素养考点
通分的应用
1. 通分的步骤
①确定最简公分母，②化异分母分式为同分母分式.
2.确定最简公分母的方法
(1)分母为单项式：①取各分母系数的最小公倍数，②相同字母取次数最高的，③单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式.
(2)分母为多项式：①把各分母分解因式，②把每一个因式看做一个整体，按系数、相同因式、不同因式这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母.
归纳总结
通分：
解：(3)最简公分母是
(3) ， ，
已知?????????????????=3，则代数式????????+??????????????????????????????????????? 的值是(　　) .
A． ?????????? B． ??????????????? C．????????? D. ?????????
?
解析：∵ ??????????????????=3，∴ ??????????????????=3，∴x﹣y=﹣3xy.
则原式= ?????????????+???????????????????????????????= ?????????????+???????????????????????????????????= ?????????????????????????? = ???????? .
?
D
链接中考
我们一起来 吧!
1.化简 的结果是( )
A. B.

C. D.
基础巩固题
D
D
2.下列说法中，错误的是( ).
A. 与 通分后为 .
B. 与 通分后为
与 的最简公分母为m2-n2
的最简公分母为ab(x-y)(y-x)
4.分式 可变形为(　 　)
D
3.已知 =______.?
5．小明在化简分式
时是这样做的：
原式
（第一步）
（第二步）.
他的解法对吗？如果正确，请说明每一步的依据；
如果不正确，错在哪一步？请说明原因.
答：解法不对
错在第一步
分子与分母所乘的不是同一个不为零的整式.
1. 已知 则 的值是( ).
A. B. – C.2 D. –2
能力提升题
D
2.化简： = ．
x+3
3.化简：
x-y+1
4.已知: 求代数式 的值.
解:设t= ≠0,则. x=2t①　y=3t②　z=4t③
将①②③代入代数式 得.

所以,代数式 的值是 .
5.已知y=3xy+x,求代数式 的值.
解:因为y=3xy+x,所以x-y=-3xy.
当x-y=-3xy时,
已知x2-4xy+4y2=0,那么分式 的值等于多少?
解:∵x2-4xy+4y2=0,∴(x-2y)2=0,∴x=2y.

故分式 的值等于
拓广探索题
分式的基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
内容
作用
注意事项
分式约分和通分的依据.
（1）都乘或除以（不是加或减）；
（2）同一个；（3）不为零；（4）整式。
课堂小结
分式的约分与通分
约分
通分
内容
找公因式的方法
（1）找系数的最大公约数；
（2）找分子分母相同因式的最低次幂；
（3）两者的乘积即为公因式.
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。
把一个分式的分子与分母的公因式约去。
内容
确定最简公分母的方法
从系数、相同因式、不同因式三个方面确定，注意多项式要先分解因式。
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢
谢
再 见
下课了!
谢谢观看
初中数学人教版八年级上册

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