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(共63张PPT)
用提公因式法分解因式
人教版八年级上册
复习回顾
2.填空：
1.说一说单项式乘以多项式的计算法则？
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
导入新课
春暖花开的时刻，外出游玩的人越来越多了！皮皮家的凉皮店的生意也异常火爆，最受欢迎的自然是“XX套餐”了！皮皮特意计算了“XX套餐”一小时的营业额：
将1小时分前、中、后20分钟的销量进行统计，列出17×32+17×31+17×37，你会如何计算？
理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式,会利用因式分解进行简便计算.
培养学生分析、类比的思想，积累确定公因式的初步经验，体会因式分解的应用价值.
学
习
目
标
重点
难点
素养
课标要求
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法

知识点 1
因式分解的概念
探究新知
1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x–1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 –1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 –1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x–1
a+b
都是多项式化为几个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
合作探究
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
像这样， 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法有什么关系？
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
是互为相反的变形，即。
x2–1 (x+1)(x–1)
因式分解
整式乘法
x2–1 = (x+1)(x–1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积。
整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即。
想一想
例 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
素养考点
因式分解变形的识别
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2–1=(x+1)(x–1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
观察下列多项式的结构有什么共同特点？
知识点 2
公因式
① ②
③ ④
多项式的各项都含有相同的因式.
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如：就是多项式各项的公因式.
结论
pa+pb+pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式p
观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2＋x
相同因式x
问题：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
如何确定多项式的公因式？
系数的最大公因数
相同字母
字母的最小指数
∴公因式是.
问题：
找出 3x 2 – 6xy 的公因式.
系数：最大公约数.
3
字母：相同的字母.
x
所以这个算式的公因式是3x.
指数：相同字母的最低次数.
1
如何确定一个多项式的公因式？
问题：
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数
相同字母
最低指数
2.请大家讨论确定公因式的方法，并在班内交流！
合作探究
确定公因式的方法：
①定系数：
②定字母：
③定指数：
1.请尝试指出下列多项式的公因式：
取各项系数的最大公因数；
取各项中都含有的字母；
取相同字母的最低指数.
找出多项式的公因式的正确步骤：
3.定指数：相同字母（或相同因式）的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数（包括常数项）的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母（或相同因式）.
归纳总结
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
–2xy
(1) 3x+6y
(2)ab–2ac
(3) a 2 – a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5)9 m 2n–6mn
(6) –6 x 2 y–8 xy 2
找出下列各式的公因式:
（1）
（2）
（3） .
；
；
.
注意：公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式.
议 一 议
1. 多项式中各项的公因式是什么？
2. 你能尝试将多项式因式分解吗 同伴交流.
3. 在解决问题2时用到了什么方法？
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
知识点 3
提公因式为单项式的因式分解
字母表示：
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例 把下列各式分解因式.
分析：提公因式法步骤(分两步)
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) – 3(b+c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
素养考点
利用提公因式法分解因式
解：(1) 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c，
它还有公因式是b.
提公因式要尽量提，提彻底。
(2) 2a(b+c)–3(b+c)
=(b+c)(2a–3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)–3(b＋c)；
(3) (a＋b)(a–b)–a–b.
(3)原式＝(a＋b)(a–b–1)．
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；
(2)原式＝(2a–3)(b＋c)；
提公因式为单项式的因式分解
素养考点
解：
把下列各式因式分解：
例
; ；
注意：公因式要提尽.
易错点1：因式分解时分解不彻底.
把12x2y+18xy2分解因式.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式2.
注意：公因式要提尽.
正解：原式=6xy(2x+3y).
小明的解法有误吗？
解：
注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
易错点2：提公因式时漏项.
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
错误
注意：某项提出莫漏1.
解：原式 =x(3x–6y).
把3x2 – 6xy+x分解因式.
正解：原式=3x·x–6y·x+1·x
=x(3x–6y+1)
小亮的解法有误吗？
解：
.
注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.
易错点3：提取“-”号时，括号内变错符号.
提出负号时括号里的项没变号.
错误
把 – x2+xy–xz分解因式.
解：原式= – x(x+y–z).
注意：首项有负常提负.
正解：原式= – (x2–xy+xz)
= – x(x–y+z)
小华的解法有误吗？
提取公因式分解因式的技巧：
①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；
⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.
归纳总结
例 计算：
(1)39×37–13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)
＝2016.
＝13×20＝260；
解：(1)原式＝3×13×37–13×91
＝13×(3×37–91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
素养考点
利用因式分解进行简便运算
=259
= 9900
(1)
992＋99
(2)
= 99 ×(99+1)
简便计算.
解：原式=259
解：原式=99 ×99+99
(3) 13.8×0.125+86.2×
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
=12.5
例 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4.
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
素养考点
利用因式分解求整式的值
变式训练
已知，求代数式的值.
解：
∵
∴原式.
知识点 4
因式是多项式提公因式法
因式分解：
（1）多项式的公因式是什么？
（2）如何将多项式因式分解？
分析：设，则原式变形为
∴ .
即
可将看做整体.
整体思想
因式分解：
解：
因式分解
多项式乘多项式
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
因式分解：
例
解：
提公因式为多项式的因式分解
素养考点
将分解因式，应提出的公因式是（ ）.
A. B.
C. D.
B
变式训练
知识点 5
符号不同的多项式的关系
因式分解：
解：
转化思想
请在下列各等号右边的括号前填入“”或“”，使等式成立.
(1) ； (2)
(3) (4) ；
；(6)-s2+t2= （s2-t2）.
观察：以上各多项式有什么特点？
只有符号不同
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
(1)当相同字母前的符号相同时,两个多项式相等.
如: 和，即 ；
(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.
如: 和 ，即 .
结论
对于底数不同的多项式，乘方等式规律如下：
（1）与互为相反数：
与互为相反数：
（2）与互为相同数：
结论
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数)
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数)
(a+b)n = (b+a)n (n是整数)
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数)
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数)
提符号不同的多项式的因式分解
例
因式分解：
解：
素养考点
把下列各式因式分解：
解：(1)；
(2)
(1)； (2)；
变式训练
解：
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
(3)； (4)
(5)； (6).
整体思想
素养考点
例 分解因式
解：
（1）因式分解: .
变式训练
（2）已知，则 .
1.（南通）分解因式： .
连接中考
2.（株洲）分解因式： .
3.（铜仁市）分解因式： .
4. 分解因式：a2–5a=_________　．
5. 若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=　　．
解析：∵a+b=4，ab=1.
∴a2b+ab2=ab(a+b)
=1×4
=4．
a(a–5)
4
6.（聊城）分解因式： .
解：
=
=
我们一起来 吧!
1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　)
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2
2. 把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(　　)
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是(　　)
A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)
C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a)
B
C
D
基础巩固题
4.把下列各式分解因式：
(1)分解因式：m2–3m=　 　．
(2)12xyz–9x2y2=_____________；
(3)因式分解：(x+2)x–x–2=___________　．
(4) –x3y3–x2y2–xy=_______________；
3xy(4z–3xy)
–xy(x2y2+xy+1)
(5)(x–y)2+y(y–x)=_____________.
(y–x)(2y–x)
5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________.
3a(x–y)2
m(m–3)
(x+2)(x–1)
6.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013–20142;
(3)(–2)101+(–2)100.
(2) 原式=2013 ×(2013+1) –20142
=2013×2014 –20142=2014×(2013–2014)
= –2014．
解：(1) 原式=1.99 ×(1.99+0.01)=3.98；
(3)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100.
1.若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则的值为 .
120
2.多项式的公因式是（ ）.
A. B. C. D.
D
能力提升题
解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
(2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)]
=(2x+1)(2x+1–2x+1)=2(2x+1).
3.(1)已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
(2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x= .
当x= 时
原式=2×(2× +1)=4.
1.已知：多项式.
（1）请将A进行因式分解；
（2）若且，求的值．
解：
（1） ；
（2）∵ ，∴ .
解得或.
∵ ，∴ ，即.
则原式 .
拓广探索题
2.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等腰三角形．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab–c–2bc＝0.
(a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0.
∴a–c＝0或1＋2b＝0.
即a＝c或b＝–0.5(舍去).
提公因式法分解因式
定义
am+bm+mc=m(a+b+c)
方法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数.
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号.
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢
谢
再 见
下课了!
谢谢观看
初中数学人教版八年级上册

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