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3.3勾股定理的简单运用之折叠问题
一、单选题
1．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．
2．如图，在直角三角形ABC中，，，，把直角三角形沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）．
A． B．4 C．5 D．8
3．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　）
A． B． C． D．
4．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直角三角形ABC中，，，，，，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处，（ ）
A． B． C．或 D．或
6．如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
二、填空题
7．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将三角形ABC沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ．
9．如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是 ．
10．如图，在中，∠B=90°，点、分别在边、上，连接，将三角形AMN沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ．
11．如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则 ，的面积 ．
12．如图，在三角形ABC中，，点D，E分别在边上，连接，将三角形BDE沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ．
三、解答题
13．如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求和的长．
14．如图，在四边形中，，，在上选取一点，连接，将沿翻折，使点落在上的点处．求：
(1)的长；
(2)的长．
15．同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！
(1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明；
(3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．
16．在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．
(1)如图1，当点E在边上时，求的长度．
(2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长．
(3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长．
17．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至三角形B’CQ的位置（点B落在点处）．
(1)如图1，连接，当点落在上时， ______；
(2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积；
(3)当直线经过点D时，求的长．
18．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长方形纸片进行折纸探究活动．
如图①，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）．
(1)试探究重叠部分三角形ABC的形状，并说明理由；
(2)若，，请直接写出三角形ABC面积的最小值为______．
(3)把长方形纸片对折，折痕为，请你仅用圆规在图③的折痕上找一点，使得三角形DEP为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）．
(4)如图④，若，，在边上找一点，在边上找一点，将三角形FAB沿翻折得．设与边交于点，当点、位置发生变化时，点的位置也跟着变化，试求整个变化过程中最大值与最小值的和．
参考答案
1．C
【详解】解：设，
则，
由折叠的性质可得：，
∵四边形是长方形
∴
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即的长为．
故选：C
2．C
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
根据折叠可知：，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，解得：，
∴．
故选：C．
3．D
【详解】解：∵，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
故选：．
4．C
【详解】解：根据翻折不变性得，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，设，则，
∴，
∴，
解得．
故选：C．
5．D
【详解】解：当点在点左边时，如图所示，
由折叠可得，，，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
当点在点右边时，如图所示，
由折叠可得，，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
综上，或，
故选：．
6．C
【详解】解：∵长方形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
在Rt▲CD’N中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故选：C
7．/
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质，可得，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，即，
解得，
∴．
故答案为：．
8．
【详解】解：由折叠可知，，；
∵点，点，
∴，
则；
∵点，则，
∴；
设，则，
在Rt三角形OCB’中，，
即
解方程得：，即
∵点是上，在轴上，
∴点的坐标为；
故答案为．
9．/
【详解】解：连接，，设与相交于点O，如图所示：
∵四边形是长方形，且，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，
由折叠性质得：，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
由菱形的面积公式得：菱形的面积，
∴，
解得：，
即折痕的长是．
故答案为：．
10．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
11．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，，
设，则，
在Rt▲ABF中，，
，
解得：，即，
，
，即，
，
，
又，
∴▲ABF≌▲AGE（ASA）
，
，
故答案为：，．
12．3
【详解】解：由折叠的性质知，
设，则，
∵，，
∴，即，
解得，
故答案为：3．
13．(1)证明见解析
(2)，
【详解】（1）证明：∵四边形是长方形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：如图，过点作于点，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴四边形是长方形，
∴，，
∵，
∴在中，，
由（1）已证：，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，，
由折叠的性质得：，
∴．
14．(1)
(2)
【详解】（1）解：在中，
∵，
∴，
∵，
∴，（负值已舍），
∴，
∴根据勾股定理得，
∵∠D=90°，
在Rt▲ADC中，，
∴由勾股定理得；
（2）解：设，由翻折的性质得，，
，
在中，由勾股定理得，
故
解得．
故．
15．(1)；
(2)见解析；
(3)．
【详解】（1）解：根据勾股定理得，，
故答案为：；
（2）证明：图②的面积，
又图②的面积，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质得：，
∵四边形是长方形，
∴，
在Rt▲ABF中，，即，
解得：，
∵，
∴，
设，则，
∴，
在Rt▲ECF中，，
即，
解得：，
∴．
16．(1)3
(2)
(3)4或16
【详解】（1）解：根据题意得：，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：；
（2）解：由翻折的性质得：，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
即；
（3）解：当点Q在线段上时，如图：
由翻折的性质得：，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在延长线上时，如图：
由翻折的性质得：，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即；
综上所述，的长为4或16．
17．(1)
(2)
(3)2或8
【详解】（1）解：，，
，
∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）．
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）．
，
，
，
，
，
，
∴重叠部分（阴影）的面积；
（3）解：当在线段上时，
将沿直线翻折至的位置，，，，
，
，
，即：，解得：；
当点D在线段上时，
∵将沿直线翻折至的位置，
，，，
，
，
，
，
；
综上所述：的长为2或8．
18．(1)为等腰三角形，理由见解析
(2)
(3)见解析
(4)
【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下：
∵长方形纸片沿线段折叠，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：由（1）得，
∵的面积，
∴当最小，即最小时，的面积取得最小值，
∴当时，的面积的最小值．
故答案为：．
（3）解：如图，点即为所求：
由折叠可得，，
由作图可得，，
∴，
∴是等边三角形；
（4）解：当点与点重合，点与点重合时，有最大值，
由翻折的性质得，，
∵长方形纸片，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的最大值为；
当点与点重合，点与点重合时，有最小值，
由翻折的性质得，，
∵长方形纸片，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
∴最大值与最小值的和为．

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