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海南省海口市2024-2025第二学期5月初三数学月考试题
全卷满分120分，考试时间100分钟
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
1．如图，数轴上点P表示的相反数可能是（ ）

A．2.5 B．1.6 C． D．1
2．第二十五届中国中部（湖南）农业博览会于2024年11月15日至19日在长沙国际会展中心举办．本届农博会以“办好新农博，奋进新征程”为主题，以举办“安全农博、市场农博、时尚农博、科技农博、开放农博”为重点，聚焦农产品品牌推广、渠道拓展、合作交流、国际贸易．展会吸引观展民众约290000人次，数据290000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．当，时，代数式的值是（ ）
A． B． C．1 D．11
4．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（ ）

A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若一个等腰三角形的顶角度数为y（度），底角度数为x（度），则它们的函数表达式应是（　　）
A．y＝1802x（0＜x＜90） B．y＝90x
C．y＝180x（0＜x＜90） D．y＝90x
7．在平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点，若反比例函数（）的图象经过点A，则k的值是（ ）
A．1或 B．2 C． D．1
8．若方程＝0有增根，则增根是（　　）
A．0或2 B．0 C．2 D．1
9．如右图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使得，，
则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，小亮和小明分别用尺规作的平分线，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（ ）
A．小亮、小明均正确 B．只有小明正确
C．只有小亮正确 D．小亮、小明均不正确
11．如图，AB是半圆O的直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上，已知点Q在上且∠APQ＝110°，则点Q所在的弧是（ ）
A．AP B．PC C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，将该正方形绕着点A顺时针旋转得到正方形，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题满分9分，每小题3分）
13．因式分解： ．
14．如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ．
15．如图，矩形中，，，、分别是直线、上的两个动点，，沿翻折形成，连接、，则 ，的最小值是 .
三、解答题（本大题满分75分）
16．（本大题满分12分，每小题6分）
（1）计算：； （2）解不等式组：．
17．（本大题满分10分）某商场经销两种不同的商品．在春节期间，该商场对这两种商品进行如优惠活动：
打折前一次性购物金额 不超过500元 超过500元但不超过800元 超过800元
优惠措施 按总价打九折 按总价打八折 其中800元部分打七折，其余部分打六折
（1）张明买了实际付款644元的商品，求商品的原价．
（2）在（1）的条件下，第二天张明买了另外一个商品，实际付款608元．如果这两种商品原价之和大于1300元，那么将这两个商品合为一起付款是否更划算？若是，请求出划算的价格．
18．（本大题满分10分）据观察，很多同学的草稿本没有用完便被扔掉，造成了较大的纸张浪费．学期末某“数学兴趣”小组为了解本学期七年级学生草稿本的使用情况，随机抽查了一个班进行调查，经过数据整理，学生的草稿本使用情况大致可分为下面四类：A．全部用完；B．剩约；C．剩约一半；D．基本未用．兴趣小组成员根据统计结果绘制了如下两个不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)这个班共有___________人，在图2中D所在扇形的圆心角是___________度，“数学兴趣”小组采用的调查方式是___________；
(2)请补全图1中条形统计图；
(3)七年级共有560人，若每本草稿本以50页纸张计算，试估算七年级学生中使用草稿本“剩约一半”的同学本学期剩余的纸张共有___________张．
(4)学校随机抽取7位同学草稿本的使用情况（单位：本），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是___________
(5)若从对节约资源达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加“节约资源，从我做起”知识竞赛，则恰好抽到1个男生和1个女生的概率是___________．
19. （本大题满分9分）在中，，，过点A作于点D．的反向延长线交的延长线于点E，为的外接圆（以为直径）．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
20．（本大题满分10分）无影塔位于河南汝南城南，俗传夏至正午无塔影，故称无影塔．某数学兴趣小组在学习完锐角三角函数后，分成A，B两个小组利用无人机测量无影塔的高度．如下是两个小组设计的两种测量方案．
课题 测量无影塔的高度
方案 A组方案 B组方案
测量示意图
方案说明 点A为塔的最高点，点B为塔底座的最右端，无人机在点C处测得塔顶端A处的俯角为，测得点B处的俯角为（A，B，C三点在同一竖直平面内） 点A为塔的最高点，点B，C在同一水平线上，在点B处测得塔顶端A处的俯角为，在点C处测得塔顶端A处的俯角为（A，B，C三点在同一竖直平面内）
测量数据 ，，无人机距离塔底端所在水平地面的距离为36m ，，点B，C之间的距离为28m，无人机距离塔底端所在水平地面的距离为38m
参考数据 ，，， ，，
（1）他们在计算过程中发现___________组的方案误差小.
（2）请结合（1）中你所选的方案，求该塔的高度．
21．（本大题满分12分）2025年春晚舞台运用了大量AR/VR、全息投影等高科技手段打造沉浸式视觉体验。假设舞台有一个虚拟的动态光影图案，其轮廓曲线可以用函数来近似表示，如图，已知抛物线（是常数）与轴分别交于点，（点位于点的左侧），与轴的负半轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线对称轴上存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，求出点坐标；
（3）点是轴下方的抛物线上的一个动点，点横坐标为，连接，设所得的面积为．
①求关于的函数解析式；
②探究：若的面积为整数，则这样的共有多少个．
（本大题满分12分）如图，在矩形中，E是边上一点，连接，过点D作交于点F，连接．
（1）若，求证：．
（2）若E恰好是边的中点，试探究的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，当时，直接写出的值．
海南省海口市2024-2025第二学期5月初三数学月考试题
参考答案
1．【答案】C
解：由数轴可知，点P在表示与的两个点之间，因此点P表示的数大于且小于，
观察四个选项中的数据可知，只有在与之间，所以的相反数是1.6
2．【答案】A
解：
3．【答案】B
解：当，时，
4．【答案】D
解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即

5．【答案】B
解：A. 不是同类项，无法计算，不符合题意；
B. ，符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
6．【答案】A
解：∵三角形内角和是180°，且等腰三角形两底角相等，
∴顶角度数y与底角度数x之间的函数关系式为：y=-2x+180；
其中x的取值范围是：07．【答案】C
解：因为将点A向右平移3个单位长度得到点
所以A（），将A点代入反比例函数中，
8．【答案】C
解：（解法一）分式方程，
最简公分母x（x﹣2），
去分母得：4﹣x2＝0，
整理得：x2＝4，
解得：x＝±2，
把x＝2代入x（x﹣2）＝0，
则x＝2是原分式方程的增根，原分式方程的解为﹣2．
（解法二）：两个分式的分母中，公共因式为（x﹣2），则x＝2是原分式方程的增根
9．【答案】D
解：过点作，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴的度数为．
10．【答案】A
解：如图，
，
；
小亮作图正确；
由作图可知，
C是线段垂直平分线，
，
，
，
小明作图正确；
11．【答案】D
解：∠APQ＝110°，
所对应的优弧的圆心角为220°，
所对应的劣弧的圆心角∠AOQ为140°，
点C、D将分成相等的三段弧，
,故点Q所在的弧是，
12．【答案】D
解：如图，过作轴，垂足为D，
∵将该正方形绕着点A顺时针旋转，
∴，，
又，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴边长，则，
∴，
∴，即，
13．【答案】/
14．【答案】
解：∵直线与直线交于点，
∴将代入，有：，
解得：，
即直线解析式为：，
当时，，即，
∵点在线段上，点在直线上，
∴，，且，
∴，
∵，
∴当时，的值最小，且为
15．【答案】 1 4
解：如图，作点关于的对称点，连接，．
在中，，，
，
，
，
是定值，
当、、、共线时，定值最小，最小值，
的最小值为4，
16.【答案】
（1）解：原式 ；
（2）解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∴不等式组的解集为．
17.【答案】
（1）设商品的原价是x元，
∵（元），，
∴．根据题意得：，
解得：．
答：商品的原价是940元；
（2）设第二天张明购买商品的原价是y元，
∵（元），（元），，
∴．
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元），
∵（元），，
∴将这两个商品合为一起付款更划算；
当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元），
∵（元），，
∴将这两个商品合为一起付款更划算．
答：将这两个商品合为一起付款更划算，划算的价格是1100元或1172元．
18.【答案】
（1）解：这个班的总人数为：（人）
在图2中D所在扇形的圆心角为度数为：，
“数学兴趣”小组采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：48，30，抽样调查；
（2）解：C所代表的人数为：（人）
条形统计图如下：
（3）解：（张）
故答案为：3500．
（4）解：7，5，6，8，9，9，10中9出现次数最多，因此众数为9；
从小到大进行排序为5，6，7，8，9，9，10，中间位置的数为8，因此中位线是8．
（5）画树状图得：

∵可能的情况一共有种，抽到“一男一女”学生的情况有种，
∴抽到“一男一女”学生的概率是：．
19.【答案】
解：（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，．
20.【答案】
（1）解： A组的方案测得塔底端的俯角不是塔底正中心的，故B组方案的误差较小．
（2）记塔底端中心为点D，连接并延长交于点E，如解图所示，则，．
设．
在中，∵，
∴．
在中，∵，
∴．
∴，
解得．
∴．
答：该塔的高度约为26m．
21.【答案】
（1）解：把点的坐标为代入，得
，解得：，∴抛物线解析式为；
（2）解：存在点M，使得是以BC为直角边的直角三角形，理由如下：
∵，∴对称轴是直线，∴可设．
当时，，
解得，
∴．当时，，∴，
∴，，．
①当时，如图所示：
，
解得： ∴点；
②当时，如图所示：
，
解得：，
∴点；
综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，点或；
（3）解：①设直线的解析式为，把，代入，得
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
过点P作轴，交于点M，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
②∵的面积为整数，，
∴m为整数．
∵，
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意．
综上可知，则这样的共有3个．
22.【答案】
（1）解：∵， ∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）是等腰三角形，理由如下：
如图，延长、交于点M，
在矩形中，，
∴，，
∴E点为的中点， ∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴C是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）如图，连接，
∵，
∴，而，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴

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