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(共61张PPT)
分式的乘法与除法
人教版八年级上册
导入新课
想一想：
（1）一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少
长方体容器的高为
水高为
（2）大拖拉机m天耕地a hm2,小拖拉机n天耕地b hm2,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
大拖拉机的工作效率是 hm2/天,小拖拉机的工作效率是 hm2/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍.
掌握分式的乘除运算法则.掌握分式乘方的运算法则，并能灵活运用法则进行分式乘方的运算.
能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算.
能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题．
学
习
目
标
重点
难点
素养
课标要求
下列分数是否相等？
　 这些分数相等的依据是什么？
　　分数的基本性质.
　　相等.
分式的基本性质
知识点 1
问题1：
探究新知
想一想：
类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
1.填空：
知识点 1
分式的乘除
探究新知
你会下列计算吗？
思考一 ：你能用语言描述分 的乘、除法法则吗？
思考二： 你能用字母表示上述运算法则吗？
两个分 相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
式
数
式
式
数
数
两个分 相除，把除 的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
法则
数
式
类似于分数，分式有。
乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.　　
除法法则：
两个分式相乘，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.　
上述法则用式子表示为：
结论
例 计算：
2
2
素养考点
利用分式的乘除法法则进行单项式的计算
2
解法一:
解法二:
2
分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
对于 ，小明是这样计算的。
他的计算过程正确吗？为什么？
乘除属于同级运算，应按从左向右的顺序计算.
想一想：
1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.
2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)
分式乘除法的解题步骤
结论
计算：
在分式的运算中，结果通常要化成最简分式或整式.
解：
分式的乘除
素养考点
例
（1）
（2）
计算：
例
解：原式
注意：
分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤：
①把分式除法运算变成分式乘法运算；
②求分式的积；
③确定积的符号；
④约分.
化除法为乘法
分式的分子和分母是多项式，先要对分子和分母进行因式分解。
约分化为
最简分式
解：原式
一定要注意符号变化呦！
注意：
分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤是：
①除法转化为乘法；　
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③约去分子与分母的公因式.
1
1
1
1
1
解：原式
计算:
(1)
1
1
1
1
(2)
解：原式
计算:
解：
变式训练
（1）
（2）
(1)
解：原式
变式训练
；
；
(2)
解：原式
.
.
例 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a–1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
素养考点
分式的乘除法法则的实际应用
∵0＜(a–1)2＜ a2–1
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
∴
解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2–1)m ，单位
面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是
(a–1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2.
(2)
分式乘除混合运算的计算方法：
(1)分式乘除混合运算，先依据分式的乘除法法则，把分式乘除法统一成乘法.
(2)当分式的分子分母为多项式时，应先进行因式分解，然后约去分子分母的公因式，计算结果应为最简分式或整式.
分式乘除的混合运算
知识点 2
例 计算：
解：
素养考点
分式乘除的混合运算
计算：
解：原式
1.根据乘方的意义计算下列各式：
知识点 3
分式的乘方
2.类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？
10个
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．
即
一般地，当n 是正整数时.　　
分式的乘方法则
乘方符号法则：奇负偶正
归纳总结：
分式的乘方，把分子分母分别乘方，再算积的乘方、幂的乘方.也可以先确定符号，再把分子、分母分别乘方.
目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？
(1) am·an ＝am+n ；
(2) am÷an＝am-n；
(3) (am)n＝amn；
(4) (ab)n＝anbn；
想一想：
(5)
分式的乘方法则
理解要点：
（1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把 写成 .
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.
（3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.
×
√
结论
解：
例　计算：　　　
素养考点
分式乘方的混合运算
归纳总结：
分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号先算括号内的.
例 化简:
解：原式=
计算：
解:原式
解:原式
下列运算中正确的是 (　 　)
D
变式训练
分式的乘除法应用
素养考点
做一做:
购买西瓜时, 人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并且西瓜瓤的分布是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为 (其中R为球的半径),那么。
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算 与同伴交流.
解：（1）西瓜瓤的体积:
整个西瓜的体积:
（2）
（3）买大西瓜合算.
一条船往返于水路相距100 km的A,B两地之间，已知水流的速度是每小时2 km，船在静水中的速度是每小时x km（x>2），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流航行的时间比是______.
解析：顺流速度为（x+2）km/h，逆流速度为。
（x-2）km/h，由题意得。
变式训练
.
1.计算（1+ ）÷ 的结果是（　　）
A.x+1 B. C． D．
2.化简： ．
解：原式= = .
B
链接中考
3.（随州） 的计算结果为(　 )
A.　　 B. C.　　 D.
B
我们一起来 吧!
1.化简 的结果是(　 　)
A. 　　　 　 B. x-1
C. x+1 D. x
C
基础巩固题
2.计算 等于（ ）
A. B. C. D.
C
3.化简的结果是( )
A. B.a C.a–1 D.
基础巩固题
B
4.计算： =__________________.
5.计算：
解：原式=
原式=
基础巩固题
6.化简:
解:
基础巩固题
7.先化简,再求值: 其中a=2 019.
解:原式=
=(a-1)· =a+1
当a=2 019时,原式=2 020.
基础巩固题
8. 计算下列各题.
1.(1)已知x=-1,求(x-2)÷ 的值.
(2)已知a=5,求 的值.
解:(1)当x=-1时
原式=(x-2)· =-(x+2)=-1.
(2)当a=5时 原式= ·(a-3)· =8.
能力提升题
2. 先化简 然后从–1，1，2中选取一个数作为x的值代入求值.
解:(1)原式＝
因为分母x–1≠0，x+1≠0.
所以x≠1且x≠ – 1.
所以取x=2 所以
能力提升题
3.已知(x2+2x+2)(x+3y)=0(y≠0),
求 ·(x-y)的值.
解:∵(x2+2x+2)(x+3y)=0, x2+2x+2=(x+1)2+1>0.
∴x+3y=0,即x=-3y.
原式=
能力提升题
4.先化简再求值： .
其中a= .
当a = 时
能力提升题
1.计算.
拓广探索题
2.课堂上,老师给大家出了这样一道题,“当x分别取3,- ,7+ 时,求分式 的值,”小明一看,“太复杂了,怎么算呢 ”你能帮小明解决这个问题吗 请你写出具体的解题过程.
解:原式=
所以分式的值与x的取值无关.
故不需要将x的值代入计算,直接化简分式即可.
拓广探索题
分式乘除运算
乘除法运算
注意
(1)分子分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式.
除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算.
(2)分子分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则进行.
(3)运用法则时要注意符号的变化.
课堂小结
分式混合运算
混合运算
应用
关键是明确运算种类及运算顺序
明确运算顺序
1.同级运算自左向右进行；
2.运算律可简化运算.
明确运算方法及运算技巧
技巧
注意
分式的乘方
分式乘方的法则
1.掌握分式乘方的运算法则；
2.熟练地进行分式乘方的运算.
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢
谢
再 见
下课了!
谢谢观看
初中数学人教版八年级上册

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