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分式的加法与减法
人教版八年级上册
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想一想：
（1）一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少
长方体容器的高为
水高为
（2）大拖拉机m天耕地a hm2,小拖拉机n天耕地b hm2,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
大拖拉机的工作效率是 hm2/天,小拖拉机的工作效率是 hm2/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍.
理解并掌握分式加减法则，并会运用它们时行分式的加减运算．
通过类比的方法，经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理．
在活动中培养乐于探究、合作学习的习惯，培养“用数学”的意识和能力．
学
习
目
标
重点
难点
素养
课标要求
1.甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
解：甲工程队一天完成这项工程的____，
乙工程队一天完成这项工程的_______ ，
两队共同工作一天完成这项工程的 ____________.
知识点 1
同分母分式的加减法法则
探究新知
2. 2009年，2010年，2011年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
解：2011年的森林面积增长率是___________，
2010年的森林面积增长率是__________，
2011年与2010年相比，森林面积增长率提高____________.
观察下列分数加减运算的式子,你想到了什么？
请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减
1.同分母分数加减法的法则如何叙述？
2.你认为
请计算：
分母不变，把分子相加减.
【同分母的分数加减法的法则】
同分母的分数相加减
【同分母的分式加减法的法则】
同分母分式相加减
分母不变，把分子相加减.
同分母的分式加减法的法则
结论
例 计算：
解：原式
素养考点
同分母分式的加减的计算
归纳总结：
同分母分式的加减，分母不变，分子相加减，当分子是多项式时，先加括号，然后进行计算，结果要化为最简分式或整式.
解:原式
解:原式
注意：把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都要用括号括起来.
注意：结果要化成最简分式！
例
解:原式
解:原式
注意：①把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个 分子都要用括号括起来.
②结果要化成最简分式.
–1
直接说出运算结果.
.
.
.
.
（1）
（2）
（3）
（4）
计算：
解：原式
解：原式
（1）
（2）
方法总结
同分母分式的加减法注意事项.
1.“分子相加减”指将各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是___________时,应先用括号括起来,尤其是分子相减时,应减去分子整体,因此括号不能漏.
2.运算的结果要化成最简分式或整式.
3.分式的分母是互为相反数时，可以将其中一个分母直接提负号，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．
　多项式　
计算：
解：原式=
解：原式=
分母互为相反数时，改变一下运算符号即可变为同分母！
素养考点
可化为同分母分式的加减法
例
计算:
解：
变式训练
例 计算:
解:
化简:
解:
变式训练
小学
异分母分数的加减法
中学
异分母分式的加减法
转化
转化
同分母分式的加减法
类比探索
知识点 2
最简公分母
类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定分式的最简公分母.
小明的转化
小亮的转化
根据分式的基本性质，异分母分式转化为同分母分式，这一过程称为通分.
分式的基本性质
同分母分式相加减
最小公倍数：
4×3×2=24
分数
分式
最小公倍数
最高次幂
单独字母
最简公分母
所有分母必须是公分母的其中一个因数。
如何取最简公分母呢？
不同的因式
最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.
观察上述举例，分析并猜想：
确定分母的最简公分母时，要从 和 分别进行考虑.
数字系数
因式及其指数
数字系数：取各个分母的系数的最小公倍数.
因式及其指数： 最简公分母的因式取相同因式的最高次幂，单独的因式也要成为最简公分母的因式.
定系数定因式
定指数
找最简公分母:
x(x-5)（x+5）
(x+y)2 (x-y)
异分母的分数如何加减？
通分，将异分母的分数化为同分母的分数.
知识点3
异分母分式的加减法的法则
想一想
思考：
请计算 ( )， ( ).
异分母分数相加减：分数的通分
依据：分数的基本性质
转化
同分母分数相加减
异分母分数相加减，先通分.
变为同分母的分数，再加减 .
异分母分式的加减
最小公倍数：
4×3×2=24
分数的通分
分式的通分
分数的基本性质
解：
最简公分母是
异分母分式的加减应该如何进行？
【异分母的分数加减法的法则】
先通分，变为同分母的分数，再加减.
【异分母的分式加减法的法则】
先通分，变为同分母的分式，再加减.
符号表示：
比如：
想一想
先通分，再计算：
5a
（x-3)(x+3)
（a-2)(a+2)
+
-
-
+
转化
最后化为最简分式
例
素养考点
异分母分式的加减的计算
归纳总结：
异分母分式的加减分为两步：第一步通分，化为同分母分式；第二步运用同分母分式的加减法则计算.
解：原式
a2 –4 能分解：
a2 –4 =(a+2)(a–2)
其中 (a–2)恰好为第二个分式的分母，所以 (a+2)(a–2)即为最简公分母.
分子相减时，“减式”要添括号！
解：原式
计算：
=x+y
解：原式
=
解：原式
（1）
（2）
计算：
（1）
（2）
解:原式
解:原式
方法总结
异分母分式的加减法的步骤
(1)正确地找出各分式的最简公分母.
(2)准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式.
(3)通分后进行同分母分式的加减运算.
(4)将得到的结果化成最简分式或整式.
数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？
分式的混合运算顺序：
“从高到低、从左到右、括号从小到大”．　　
知识点4
分式的混合运算
例 计算：　
这道题的运算顺序是怎样的？ 　　　
素养考点
较简单的分式的混合运算
解：
　　对于不带括号的分式混合运算：
(1)运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；
(2)计算结果要化为最简分式．
化简 的结果是( )
A.a–b B.a+b C. D.
B
计算： =( )
A. B. C. D.
A
解：原式=
=
=
注意：(1-x)=-(x-1)
计算：
分母不同，先化为同分母.
知识点 5
较复杂的异分母分式的加减
解：原式=
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.
解：原式=
=
=
注意：分母是多项式先分解因式
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.
=
计算：
法一：
原式=
法二：
原式=
把整式看成分母为“1”的分式
分式的加减法的思路
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
结论
例计算：　　
素养考点
较复杂的分式的混合运算
解:原式
解:原式
注意：分母是多项式先因式分解
确定最简公分母为x(y+1)(y-1)
例
计算：
解：
较复杂的异分母分式的加减
素养考点
把整式看成分母为“1”的式子
（2）解法1：
解法2：
（2）
1.把分母分解因式
分子、分母不能再约分，是最简分式.
1.把分母分解因式；
2.确定最简公分母；
3.正确通分；
4.转化为同分母分式相加减。
2.确定最简公分母(a+3)(a-3)
3.正确通分
4.转化为同分母分式相加减
　　对于带括号的分式混合运算：
(1)将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；
(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号内的；
(3)计算结果要化为最简分式或整式．
归纳总结
思考：如何计算 ？
　　请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.　　　
分式的混合运算
知识点 6
解：
先乘方，再乘除，最后加减.
分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
结论
分式的混合运算
（1）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算.
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综合性强.
注意：
解：
分式混合运算
素养考点
例
计算：
方法总结
分式混合运算应注意的四个方面
(1)有理数的运算律对于分式同样适用.
(2)注意运算顺序,结果一定要化为最简分式或整式.
(3)分子或分母的系数是负数时,要把“-”提到分式的前面.
(4)当分式的分子、分母是多项式时,可先将分子、分母因式分解,再运算.
=
解：(按运算顺序) 原式
=
(利用乘法分配律)
原式
用两种方法计算：
例根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长
1120m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期，假设原计划每天修建盲道x m，那么。
(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
(1)原计划修建这条盲道需多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
解析：(1)原计划修建需 天.
实际修建需
天.
(2)实际修建比原计划缩短了 (天).
素养考点
利用分式的混合运算解决问题
在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1 km，下坡时的速度为每小时v2 km，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( ).
A. km B. km
C. km D.无法确定
C
1.化简(a–1)÷( –1) a的结果是(　　)
A.–a2 B.1 C.a2 D.–1
A
2.化简：
.
链接中考
1.计算 ，结果正确的是(　　)
A．1 B．x C． D．
2. 化简+ 结果是 ．
A
链接中考
我们一起来 吧!
1.化简代数式 的结果是(　 　)
A. x+1 B. x-1
C. D.
A
2.计算: =________.
基础巩固题
3.计算:
解:
基础巩固题
解：原式=
=
=
=
4.计算：
基础巩固题
=
=
=
解：原式=
5.计算:
解:
基础巩固题
6.分式 的最简公分母为__________.
　2y3-8y　
7.化简 的结果是________.
基础巩固题
8.计算：
基础巩固题
9.计算:
解:原式=
基础巩固题
1.计算：
解：原式=
能力提升题
2.若 对任意正整数n都成
立,则a-b=______.
　1　
能力提升题
解：原式=
3.计算：
能力提升题
1.先化简，再求值：
其中x=3.
∵x=3
∴原式=
解：原式=
拓广探索题
2.繁分式的化简：
解法1:原式
拓广探索题
解法2：
分式的加减法法则
注意事项：
①若分子是多项式，则加上括号，然后再加减；
②计算结果一定要化成最简分式或整式.
课堂小结
2.分式的混合运算法则
先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
1.分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢
谢
再 见
下课了!
谢谢观看
初中数学人教版八年级上册

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