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整数指数幂
人教版八年级上册
导入新课
算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质．

（2） = ；
同底数幂的乘法：
（m，n是正整数）
幂的乘方：
（m，n是正整数）
（3） = ；
积的乘方：
（n是正整数）
（4） = ；
同底数幂的除法：
（a≠0，m，n是正整数且m>n ）
乘方：
（b≠0，n是正整数）
（6） = ；
（5） = ；
（ ）
导入新课
情境导入
牛顿
（Newton,1643-1727.)
想一想：am中指数m可以是负整数吗？
理解并掌握整数指数幂的运算性质.
会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题.
学
习
目
标
重点
难点
素养
课标要求
1.甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
解：甲工程队一天完成这项工程的____，
乙工程队一天完成这项工程的_______ ，
两队共同工作一天完成这项工程的 ____________.
知识点 1
同分母分式的加减法法则
探究新知
学习新知
整数指数幂
知识点1
　　将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？
问题 你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？
（1）根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算. ？
问题　am 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？
（2）如果把正整数指数幂的运算性质.
（a≠0，m，n 是正整数，m >n.）中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像 情形也能使用， 如何计算？
想一想：
am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
问题：计算：a3 ÷a5= (a ≠0)
解法1
解法2 再假设正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数，m>n.)中的m>n这个条件去掉，那么a3÷a5=a3-5=a-2.
于是得到：
知识精讲
（3）
→
｝
｝
｝
→
→
（1）
（2）
知识精讲
负整数指数幂的意义
一般地，我们规定：当n是正整数时.
这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数.
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.也就说前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.
知识精讲
数学中规定：当n 是正整数时
这就是说，a-n（a≠0）是an 的倒数．　　　
试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意义？
当m是正整数时， am表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.
当m是负整数时， am表示|m|个 相乘.
例
A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
B
【点睛】关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
典例解析
计算：
(1)(x3y－2)2； (2)x2y－2·(x－2y)3；
例
解析：先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂．
解：(1)原式＝x6y－4
(2)原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y
提示：计算结果一般需化为正整数幂的形式.
典例解析
计算：
(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3； (4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
例
(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3
解：(3)原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7
典例解析
例
解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
典例解析
整数指数幂的性质
知识点2
（m，n 是正整数）这条性质能否推广到m，n 是任意整数的情形？
问题　引入负整数指数和0指数后。
问题 类似地，你可以用负整数指数幂或0 指数幂对其他正整数指数幂的运算性质进行试验，这些性质在整数范围内是否还适用吗？
（1） （m，n 是整数）；
（2） （m，n 是整数）；
（3） （n 是整数）；
（4） （m，n 是整数）；
（5） （n 是整数）．
总结：
问题　能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时.　　　　　， 因此
即同底数幂的除法 可以转化为同底数幂的乘法 ．特别地.
所以
即商的乘方 可以转化为积的乘方
这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1） （m，n 是整数）；
（2） （m，n 是整数）；
（3） （n 是整数）．
强化练习
计算：
计算：
(1)(3x2y－2)2÷(x－2y)3； (2)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
例
(2)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3
解：(1)原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7
典例解析
例
解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
典例解析
科学记数法：绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.
忆一忆：
例如，864000可以写成 .
怎样把0.0000864用科学记数法表示？
8.64×105
想一想：
科学记数法
知识点3
探一探：
因为
所以， 0.0000864=8.64 ×0.00001=8.64 ×10-5.
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10- n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.
知识精讲
算一算：
10－2= ___________; 10－4= ___________;
10－8= ___________.
议一议：
指数与运算结果的0的个数有什么关系？
一般地，10的-n次幂，在1前面有_________个0.
想一想：10－21的小数点后的位数是几位？1前面有几个零？
0.01
0.0001
0.00000001
通过上面的探索，你发现了什么？
n
知识精讲
用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法：
即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1 ≤ <10. n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.
知识精讲
例 用小数表示下列各数：
(1)2×10－7； (2)3.14×10－5； (3)7.08×10－3； (4)2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
典例解析
1.用科学记数法表示：
（1）0.000 03； （2）-0.000 006 4；
（3）0.000 0314；
2.用科学记数法填空：
（1）1 s是1 μs的1 000 000倍，则1 μs＝______s；
（2）1 mg＝______kg；（3）1 μm ＝______m；　　　　　
（4）1 nm＝______ μm ；（5）1 cm2＝______ m2 ；
（6）1 ml ＝______m3.
针对练习
我们一起来 吧!
随堂演练
1.填空：
(1)30= ，3-2= ，(-3)0= ，(-3)-2= .
(2)3-3= ，(-3)-3= .
(3) = , = ， = .
2.若m，n为正整数，则下列各式错误的是( )。
3.下列计算正确的是( )
5.下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数.
（1）2×10－8 （2）7.001×10－6
4.计算：
（1）（2×10－6）× （3.2×103）
（2）（2×10－6）2 ÷ （10－4）3.
答案:（1）0.000 000 02 （2）0.000 007 001
= 6.4×10-3；
= 4
6.比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3
（2）3.01×10－4________3.10×10－4
<
<
7.用科学记数法把0.000 009 405表示成
9.405×10n，那么n= .
-6
8.计算.
9.若 ，试求 的值.
数学中规定：当n 是正整数时，
这就是说，a-n（a≠0）是an 的倒数．　　　
整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1） （m，n 是整数）；
（2） （m，n 是整数）；
（3） （n 是整数）．
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢
谢
再 见
下课了!
谢谢观看
初中数学人教版八年级上册

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